2023年全国高中数学联合竞赛加试（A）卷参考答案及评分标准

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可10一．（本题满分40如图，是以为直径的固定的半圆弧，点A及上另一个定点T的定圆，且的圆心位于内．设P是的弧TB（C,D是C在线段AP上，C,D位于直线的异侧，且CD．记的外心为K．证明：(1)点K在TDP的外接圆上；(2)K为定点．PTCΩABωD证明：(1)易知PCD为钝角，由K为的外心知PKDPCD)ACD．由于，CDACDATD……………10分所以PTDPKDPTAATDACDPTA．又K,T位于PD异侧，因此点K在TDP的外接圆上．……………20分(2)取的圆心O，过点O作的平行线l，则l为CD的中垂线，点K在直线l上．由T,D,P,K共圆及KDKP，可知K在DTP的平分线上，而DTBATDPTB，故TB为DTP的平分线．所以点K在直线TB上．……………30分显然l与TBl与TBK为定点．……………40分PTCΩOKlABωD1{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}（本题满分40正整数nn的正整2n2m数m，均有，这里，表示实数x的小数部分．n2m2证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数．证明：引理：设n是正奇数，且2模n的阶为偶数，则n是好数．引理的证明：反证法．假设n不是好数，则存在异于n的正整数m，使得2n2m2nm2与n为奇数知是既2n2m2n2n约分数，故m2的最大奇因子为n2，从而m的最大奇因子为n．2m22t设m2tn，其中t为正整数（从而m．m2n2可得22t2nn2)，故由n22n22t2nn)．（*）设2模n的阶为偶数d．由（*）及阶的基本性质得mtnd)，故mtn是偶数．但mt是偶数，n是奇数，矛盾．引理得证．……………20分回到原问题．设k22k1(k)k22k11F22kk12模k的阶为2k1，是一个偶数．对正整数l2l12)可知2l1k)2模2的阶被2模k22是好数．……………30分对任意正整数i,jij)(F,F)(i,(2iii1Fj12)，(i,2)1ij故F,F,F,两两互素．所以2,2,2,是两两互素的合数，且均为好数．123……………40分三．（本题满分50分）求具有下述性质的最小正整数k,k中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数x,x,,x满足xxxx，或者存在10个互不相同的蓝色的数1291289y,y,,y满足yyyy．101012129解：所求的最小正整数为408．一方面，若k407时，将,407染为红色，,54染为蓝色，此时最小的8个红数之和为1555661407，最小的9个蓝数之和为231054，故不存在满足要求的9个红数或者10个蓝数．对k407，可在上述例子中删去大于k的数，则得到不符合要求的例子．因此k407不满足要求．……………10分另一方面，我们证明k408具有题述性质．,408R是所有红数的集2{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}合，B是所有蓝数的集合．将R中的元素从小到大依次记为r,r,,r，B中的12m元素从小到大依次记为b,b,,b，mn408．对于R，或者R8，或者12nrrrr；对于B，或者B9，或者bbbb．128m129n在,16中至少有9个蓝色的数或至少有8个红色的数．情形1：,16中至少有9个蓝色的数．此时b16．设区间b]中共有t个R中的元素r,r,,r(0t．9912t1记xrrr，则x12ttt．12t2因为b,b,,b,r,r,,r是b]中的所有正整数，故12912t9b,b,,b,r,r,,r,9t．12912t1于是bbbb12t)xtt)x．（*）n1292……………20分1特别地，b1617136．从而R9．n21对任意iimt)，由（*）知rbitt)xi．从而tin28t1rrrrrxtt)xim1tt182i111ttt)tt)(7t)x21211ttt)tt)(7t)t(t222t2t396407（考虑二次函数对称轴，即知t1……………40分又b136，这与b,r中有一个为408矛盾．nnm情形2：,16中至少有8个红色的数．论证类似于情形1．此时r16．设区间r]中共有s个B中的元素b,b,,b(0s9)．记8812s1ybb，则ys(s．1s2因为b,b,,b,r,r,,r是r]中的所有正整数，故12s1288b,b,,b,r,r,,r,8．12s1281于是rss)y．m21特别地，r1617136．从而B10．m21对任意iins)，有briss)yi．从而sim29s1bbbbbyss)yin1ss192i111sss)s)yss)223{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}1211sss)s)s(sss)227s227s369395（在s2时取得最大，又r136，这与b,r中有一个为408矛盾．mnm由情形1、2知k408具有题述性质．综上，所求最小正整数k为408．……………50分四．（本题满分50分）设a1104．在20232023的方格表的每个小方格中填入区间a]中的一个实数．设第i行的总和为x，第i列的总和为y，iiyyy1i2023．求122023的最大值（答案用含axxx122023yyy解：记n2023，设方格表为ij,1i,jn，1220232023．xx12a的值仅改变x和yi行中除a外其余n1个数的ijijij和为A，第j列中除ij外其余n1个数的和为B，则yBijj．iAij当AB时，关于a递增，此时可将a调整到a,值不减．当AB时，关ijij于aa调整到ijij个小方格中的数均为1或a的情况．……………10分a,1i,jna使得ijijnn达到最大值，并且a最小．此时我们有iji1j1a,xy,ija（*）ijiyj.xya1a改为a,yijijijijyjyja1yj，ia1i与达到最大矛盾，故ija．nnijijij若xyaaa改为1后，aa的选ijiji1j1取矛盾．从而（*）成立．yyy∗a排在112nyyy12nyyy，故每一行中的数全都相等（全为1或全为a）.12n……………20分.设有k行全为a,有nk行全为0kn．此时4{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}(nk)n(nk)nk．(na)knnknank我们只需求,,,中的最大值．01nn(kank1n1a1nnak1k1k1．(nk)nak(annnak因此na1k111akk(anxn11x（记xna）k(xnn1xx2xn11k(xnn1xx2xn1nkxn11x)xxn2)．1xxn1n1(n2)xxn2记上式右边为y,则y．1xxn1下面证明y．……………30分首先证明y1011．y10112022xx20211011xx202210111010x10101012210131010x2021x2022由于1xx2x2022，故．1010111011k)xk1012101010121012k．22k0k0……………40分20212022再证明y1010，等价于证明(2022k)xk1010xk．k0k0由于20212021(2022k)xk(2022k)2023，k0k020221010xk101