2023年全国高中数学联合竞赛一试（A）卷参考答案及评分标准

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷9小题410、小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设复数z910i（in满足zn2023，则n的最大值为答案：2．．nnz92n102．因z21812023，而当n3时，解：znn81nzn12023，故n的最大值为2．2.若正实数a,b满足algb2，aablgb5，则(ab)的值为．答案：20．解：因为ba10algbalgb2，所以(ab)(ab)algb(aablgb)algbba52220．3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x,y,z，则事件“Cx7C7yCz”发生的概率为．1答案：．27解：由于1C6C72C5C3C74，因此当x,y,z时，事7777CxC7yCzxyz321概率为．6274.若平面上非零向量,,满足2||3||||的最小值为答案：23．．解：由，不妨设(a,b)，其中a,b0，并设(x,y)，则由2||得by2a，由3||得axb．b2a所以||x2y22223．ab取a3,b2，此时xy6，||取到最小值23．1{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}5.方程sinx2x的最小的20个正实数解之和为．答案：130．解：将2x12sin2x代入方程，整理得(2sinxx0，解得x2k,2k,2k(kZ)．6622k上述解亦可写成x(kZ)k,19对应最小的20个正362k21920实数解，它们的和为20130．36326k06.设a,b,c为正数，aba,b为一元二次方程ax2bxc0的两个根，且a,b,c是一个三角形的三边长，则abc的取值范围是．7答案：,51．8解：由条件知ax2bxca(xa)(xb)ax2(a2ab)xab，比较系a2a4数得ba2ab,ca2b，故b,c，从而1a1aa2a4abcaaa2a3．1aa21由于0aba1bc0a,b,c是一1a2a4a2个三角形的三边长当且仅当acb，即a，即a(a2a0，1a1a1151结合a1，解得a．222令f(x)xx2x3，则abcf(a)．显然当x0时f(x)连续且严格517递增，故abc的取值范围是f,f，即,5．2287.平面直角坐标系中，已知圆与x轴、y轴均相切，圆心在椭圆x2y2:1(ab0)内，且与有唯一的公共点．则的焦距a2b2为．答案：10．P(r,r)(r8)2(r9)2rr52或r29．因为P在内，故r5．89b8x9y椭圆在点A9)处的切线为l:1n,．a2b2a223227由条件，l也是圆n与PA4)．a2b26481又1，解得a2b2135．从而的焦距为2a2b210．a2b22{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}8.八张标有,B,C,D,E,F,G,H的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些如可按D,,B,E,C,F,G,HD,B,,E,C,F,G,H的．ABCDHEFG答案：392．中的mn2阶图G(,n)在mn3时的特殊情况．-m...-2-1012...n-132G(m,n)P01P取卡片（顶点）的规则可解释为：(i)若顶点P(ii)若顶点P未取走，则必为某个G(,n)(,n0)m0，则将P视为1(i)mn0P视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,n1，则当前可取P或m号顶点或n号顶点，分别归结为(i)或G(mn)或G(,n的情形．设G(,n)的符合要求的顶点选取次序数为f(,n)，本题所求即为f．由(i)、(ii)知f(,2m1(m，fn)2n1(n，且f(,n)2mnf(mn)f(,n(,n．由此可依次计算得f，ff(2,，ff60，f(2,72，f(2,f，f，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16:y24xF为的焦点，,B为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点P位于线段Q为线段的另一个三等分点．求点Q的轨迹方程．2122yyA(x,yB(x,y)APPQP,12．11223321x321y2易知F0)．由于点P位于线段上，故2[0,1]，0．3……………4分t221xt2可设yt,yt，则x,2t2．此时有2[0,1]，且由121432,B不重合知t0t22]．……………8分3{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}122312y24设Q(x,y)，则xt2,Qt，有2x．QQQQ34333343注意到xt2，故点Q的轨迹方程为y2x(0x)．Q4232……………16分10.（本题满分分）已知三棱柱:ABCABC的9条棱长均相等．记底111面ABC所在平面为ABC,ABBA,ACCA,BCCB）111111111在上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求的体积．解：设点A,B,C在平面上的投影分别为D,E,F，则面ABC,ABBA,11111111ACCA,BCCB在上的投影面积分别为S,S,S,S．1111由已知及三棱柱的性质，DEF为正三角形，且ABED,ACFD,BCFE均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D位于BAC显然此时有SSS……………5分．EBXCDAF由于S,S,S,S23,33,43,53，故S,S必为23,33的排列，S53S43DEF的边长为4三棱柱的各棱长均为4．……………10分33不妨设S23,S33，则S3,S．2BXCXS28取射线AD与线段BC的交点X，则，故BX．因此S354AXAB2BX22ABBXcos6019，5ADAXSSAD519而．……………15分S8235于是的高hAA2AD2．2又S43的体积VSh615．……………20分（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t：对任意a,bt]，总存在c,dt]，使得(acbd)1．解：记Itt]，S(acbd)．假如t2abtc,dItSt214{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}要求．假如1t，则当ab2t时，对任意c,dI，均有3t22act1，1tbd2．若ac,bdSt1S01满足要求．……………5分3以下考虑t2的情形．为便于讨论，先指出如下引理．215引理：若u,v，且uv，则1．222224243uvuv53事实上，当uv时，uv1．22231132当uv时，uv1．引理得证．222下证对任意a,bI，可取c,dI，使得t11tS(acbd)1．①1111若ab，则取cd1，此时1121(abab)，313152其中1ab,1ba，且a)b)2(ab)，故2222由引理知11．13若ab，则取cdI，此时11t2233Sab，12232323315其中a,b，且abab3，故由引理知S1．21222……………15分a,bIcIac1a时t2t2取c0，当at]时取c1dI，使得