高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则教案 北师大版选修2-2

-1-高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则教案北师大版选修2-2教学设计课题Xx课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课程基本信息1.课程名称：高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则

2.教学年级和班级：高一年级，1班

3.授课时间：2022年10月15日，星期五第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.发展数学抽象能力，通过理解复合函数的求导过程，培养学生对数学概念和运算的抽象思维。

2.培养逻辑推理能力，通过运用求导法则，引导学生进行严密的逻辑推理，提升解决问题的能力。

3.增强数学建模意识，将实际问题转化为数学模型，通过求导法则求解，提高学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。

4.提升数学运算能力，通过练习复合函数的求导，提高学生计算准确性和运算速度。重点难点及解决办法重点：

1.复合函数求导法则的理解与应用，这是理解导数概念和掌握导数运算的基础。

2.复合函数求导过程中的符号规则和运算技巧，这对于学生进行实际计算至关重要。

难点：

1.复合函数求导法则的推导过程，学生可能难以理解复合函数内部和外部的导数关系。

2.复合函数求导法则在实际问题中的应用，学生可能难以将抽象的法则应用于具体的函数求解。

解决办法：

1.通过实例演示和逐步解析，帮助学生理解复合函数求导法则的推导过程。

2.设计一系列练习题，从简单到复杂，逐步引导学生掌握求导法则的运用。

3.结合实际问题，让学生尝试将求导法则应用于解决实际问题，通过小组讨论和合作学习，共同突破难点。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生理解复合函数求导法则的基本概念和推导过程。

2.讨论法：组织学生围绕具体问题进行讨论，鼓励学生提出问题并尝试解决，培养他们的批判性思维。

3.案例分析法：选取典型的复合函数求导案例，引导学生分析问题，应用所学知识解决问题。

教学手段：

1.多媒体教学：利用PPT展示复合函数的图像和求导过程，直观展示数学概念。

2.互动软件：使用数学软件或在线工具，让学生通过实际操作体验求导过程。

3.作业与反馈：通过布置相关作业，及时反馈学生的学习情况，巩固所学知识。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：提出问题：“你们知道在物理学中，速度是如何描述物体运动快慢的吗？”通过这个问题，引导学生思考速度的概念，进而引出导数的概念。

-回顾旧知：简要回顾上节课学习的导数概念，以及导数的基本性质，帮助学生建立新旧知识的联系。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：

a.简要介绍复合函数的概念，通过实例说明复合函数在生活中的应用。

b.详细讲解复合函数的求导法则，包括链式法则和乘积法则，通过步骤分解的方式，让学生理解每一步的逻辑。

-举例说明：

a.以具体的复合函数为例，展示如何运用链式法则和乘积法则进行求导。

b.通过不同的复合函数实例，让学生看到求导法则在不同情况下的应用。

-互动探究：

a.组织学生进行小组讨论，让他们尝试自己应用求导法则解决问题。

b.邀请学生上台展示他们的解题过程，全班共同分析和讨论。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

a.布置一些基础题目，让学生独立完成，巩固所学求导法则。

b.引导学生进行练习，包括简单的复合函数求导和复杂的实际问题。

-教师指导：

a.在学生练习过程中，巡视教室，及时解答学生的疑问。

b.对于学生的错误，不直接给出答案，而是引导学生思考错误的根源。

4.课堂小结（约5分钟）

-总结本节课的主要知识点，强调复合函数求导法则的重要性。

-提出思考问题，引导学生课后复习和思考。

5.布置作业（约5分钟）

-布置课后作业，包括基础练习和拓展练习，让学生进一步巩固所学知识。

-鼓励学生在课后进行自主学习和探究，提高数学思维能力。

6.课堂反思（约5分钟）

-教师对本节课的教学效果进行反思，包括学生对新知识的掌握程度、课堂互动情况等。

-根据反思结果，调整教学方法，以更好地适应学生的学习需求。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《微积分的基本概念》选读：介绍微积分的基本概念，如极限、导数、积分等，帮助学生更深入地理解导数的数学基础。

-《导数在经济学中的应用》摘要：探讨导数在经济学中的实际应用，如边际分析、成本分析等，展示数学在现实生活中的重要性。

-《复合函数求导的实际应用》案例集：收集多个复合函数求导的实际案例，包括物理、工程、经济学等领域，让学生了解求导法则的广泛应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己推导复合函数求导法则的证明过程，加深对法则的理解。

-设计一些开放性问题，如“如何求一个由多个函数复合而成的复杂函数的导数？”鼓励学生尝试不同的方法解决问题。

-通过在线资源或图书馆，寻找与复合函数求导相关的视频教程或讲座，帮助学生从不同角度理解这一概念。

-完成课后作业中的拓展题目，如求特定函数的导数，或分析给定函数的极值点。

-学生可以组成学习小组，共同讨论和解决复杂的求导问题，通过合作学习提高解题能力。

-尝试将复合函数求导应用于实际问题，如计算物理中的速度变化率或经济学中的成本变化率。

-通过编写简短的报告或制作演示文稿，分享自己在学习过程中的发现和心得，提高学生的表达和总结能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了复合函数的求导法则，这是导数运算中的重要内容。通过链式法则和乘积法则，我们可以求出由多个函数复合而成的复杂函数的导数。以下是我们本节课的重点内容：

1.复合函数的定义和例子。

2.链式法则的应用，包括内函数和外函数的导数计算。

3.乘积法则的应用，涉及两个函数乘积的导数计算。

4.复合函数求导法则在实际问题中的应用。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握程度，我们将进行以下当堂检测：

1.计算以下复合函数的导数：

a.f(x)=(x^2+3x+2)^3

b.g(x)=e^(x^2-4x+3)

2.应用复合函数求导法则解决实际问题：

a.一个物体的速度v随时间t变化的函数为v(t)=(t+1)^2。求物体在t=2秒时的加速度。

b.一辆汽车行驶的加速度a随时间t变化的函数为a(t)=(2t+1)e^(t-1)。求汽车在t=3秒时的速度。内容逻辑关系①本文重点知识点：

a.复合函数的定义：由两个或多个函数复合而成的函数。

b.链式法则：如果y是u的函数，u是x的函数，那么y关于x的导数可以表示为y'=(dy/du)*(du/dx)。

c.乘积法则：如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的乘积f(x)g(x)的导数可以表示为(fg)'=f'g+fg'。

②本文重点词句：

a.“复合函数的导数可以通过链式法则和乘积法则来求解。”

b.“链式法则适用于内外函数之间存在复合关系的函数求导。”

c.“乘积法则适用于两个函数相乘时的导数求解。”

③本文重点知识点阐述：

①复合函数的求导

-复合函数的定义

-链式法则的应用

-乘积法则的应用

②链式法则的具体应用

-内函数和外函数的导数计算

-复合函数求导的步骤

③乘积法则的具体应用

-两个函数乘积的导数计算

-复合函数求导的特殊情况处理典型例题讲解1.例题：已知函数f(x)=(2x+1)^4，求f'(x)。

解答：应用链式法则，设u=2x+1，则f(x)=u^4。首先求u的导数，du/dx=2。然后求u^4的导数，d(u^4)/du=4u^3。根据链式法则，f'(x)=d(u^4)/du*du/dx=4u^3*2=8(2x+1)^3。

2.例题：已知函数g(x)=(x^2-3x+2)(x+4)，求g'(x)。

解答：应用乘积法则，设f(x)=x^2-3x+2，g(x)=x+4。首先求f(x)的导数，f'(x)=2x-3。然后求g(x)的导数，g'(x)=1。根据乘积法则，g'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=(2x-3)(x+4)+(x^2-3x+2)。

3.例题：已知函数h(x)=e^(3x^2-2x+1)，求h'(x)。

解答：应用链式法则，设u=3x^2-2x+1，则h(x)=e^u。首先求u的导数，du/dx=6x-2。然后求e^u的导数，d(e^u)/du=e^u。根据链式法则，h'(x)=d(e^u)/du*du/dx=e^(3x^2-2x+1)*(6x-2)。

4.例题：已知函数k(x)=sin(x^3-4x+5)，求k'(x)。

解答：应用链式法则，设v=x^3-4x+5，则k(x)=sin(v)。首先求v的导数，dv/dx=3x^2-4。然后求sin(v)的导数，d(sin(v))/dv=cos(v)。根据链式法则，k'(x)=d(sin(v))/dv*dv/dx=cos(x^3-4x+5)*(3x^2-4)。

5.例题：已知函数l(x)=ln(2x-1)^3，求l'(x)。

解答：应用链式法则和乘积法则，设w=2x-1，则l(x)=ln(w^3)。首先求w的导数，dw/dx=2。然后求ln(w^3)的导数，d(ln(w^3))/dw=1/w^2。根据链式法则和乘积法则，l'(x)=d(ln(w^3))/dw*dw/dx=1/w^2*3w^2*2=6(2x-1)。教学反思十、教学反思

今天的课过得还挺顺利，感觉学生们对复合函数求导法则的理解比预期的要好。不过，在教学过程中，我也发现了一些可以改进的地方。

首先，我发现有些学生在理解和应用链式法则时，对内外函数的识别有些困难。在讲解过程中，我可能会更多地强调内外函数的识别技巧，比如通过画图来直观展示函数的复合关系。

其次，我在举例说明时，可能过于依赖单一的函数