人教版七年级上册数学 讲义 第03讲 有理数的四则运算讲义+练习（教师版）

第3讲第3讲讲有理数的四则运算概述概述适用学科初中数学适用年级初一适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点有理数的四则运算教学目标掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单应用问题理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）数学的基本思想——分类思想与数形结合思想的渗透教学重点初步掌握有理数运算法则，并能利用运算律简化运算通过有理数的四则运算，培养学生的运算能力激发学生学习数学的兴趣教学难点对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解【教学建议】有理数五种运算法则的本质是:一确定符号，二计算绝对值.口诀：先看运算再看数，定好顺序不跳步，明确法则符号先，字迹工整要记住有理数加减法运算技巧：同号结合，凑0结合，凑整结合，拆数变形，带分数拆分整数，分数小数统一形式，同分母或便于通分的结合在理解的基础上，把有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算用于新的情境。综合使用已掌握的有理数的运算，选择或创造适当的方法解决问题。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入回顾用正负数表示数量的实际例子在足球比赛中，如果把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数．若红队进4个球，失2个球，则红队的胜球数，可以怎样表示？蓝队的胜球数呢？师：如何进行类似的有理数的加法运算呢？这就是我们这节课一起与大家探讨的问题．二、知识讲解二、知识讲解考点1有理数的加法考点1有理数的加法1.有理数的加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两数相加得0.(3)一个数与0相加，仍得这个数.2.加法运算律(1)交换律两数相加，交换加数的位置，和不变.a+b=b+a(2)结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(a+b)+c=a+(b+c)3.有理数加法运算步骤如下：(1)先确定和的符号;(2)再确定和的绝对值.【教学建议】运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置.把交换律和结合律灵活运用，就可以把其中的几个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错.考点2有理数的减法考点2有理数的减法1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.2.有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.3.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.【教学建议】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.考点3有理数的乘、除法考点3有理数的乘、除法1、有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘都得0；（3）多个有理数相乘：注意：a：只要有一个因数为0，则积为0。b：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的个数为偶数，则积为正。2、乘法运算律：（1）乘法交换律：（2）乘法结合律：（3）乘法分配律：3、有理数除法法则：（1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（2）符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！考点4有理数的乘方考点4有理数的乘方1、有理数的乘方法则：求n个相同因数的积得运算叫做乘方，乘方的结果叫作幂，其中a叫底数，n叫指数。2、乘方运算法则：正数的任何次幂还是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何非0次幂都是0；0的0次幂无意义。3、有理数的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除、最后算加减；有括号要先算括号里的；同级运算从左至右依次进行。4、注意：三、例题三、例题精析类型一有理数的加法例题1例题1【题干】计算：【答案】解：=[（=-10+2=-8【解析】此小题逐个相加当然可以，但较麻烦.可以利用加法的交换律和结合律，正、负数分别结合，再相加.例题2例题2【题干】计算：【答案】解：【解析】分数与小数均有时，应先化为统一形式.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.【总结与反思】有理数运算需要学生仔细观察，充分运用有理数加法的运算技巧，简化运算。类型二有理数的减法例题1例题1【题干】计算：-3-（+5）【答案】-8．【解析】【总结与反思】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，再按加法法则进行；例题2例题2【题干】计算：【答案】0【解析】【总结与反思】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，分数与小数均有时，应先化为统一形式，注意互为相反数的数要结合；例题3例题3【题干】对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．-（-3+a）=3-a，a≤3时，原式不是负数，故A错误；

B．-a，当a≤0时，原式不是负数，故B错误；

C．∵-|a+1|≤0，∴当a≠-1时，原式才符合负数的要求，故C错误；【总结与反思】负数一定小于0，可将各项化简，然后再进行判断．类型三有理数的乘、除法例题1例题1【题干】已知|x|=3，|y|=2，且x•y＜0，则x+y的值等于（）A．5或-5B．1或-1C．5或1D．-5或-1【答案】B【解析】∵|x|=3，|y|=2，x•y＜0，

x=-3时，y=2，则x+y=-3+2=-1．故选B．【总结与反思】此题主要考查了绝对值的性质和有理数乘法法则，能够根据已知条件正确的判断出x．y的值是解答此题的关键例题2例题2【题干】下列运算有错误的是（）A．B．C．8-（-2）=8+2D．2-7=（+2）+（-7）【答案】A【解析】根据有理数的运算法则判断各选项的计算过程．减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数．【总结与反思】主要考查了有理数的减法与除法法则．注意，乘法是除法的逆运算，加法是减法的逆运算．类型四有理数的乘方例题1例题1【题干】计算：（-【答案】-36【解析】原式=-8-36+8=-36【总结与反思】有理数的乘方要注意：例题2例题2【题干】观察下面三行数：．．．．．……①．．．．．……②．．．．．……③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系？【解析】（1）第①行数是．．．……（2）对比①②两行数第②行数是第①行数加2，对比①③两行数第③行数是第一行数的0.5倍。四、课堂运用四、课堂运用基础基础计算：-2-（-3）+（-8）+42=；计算：（×（-42）=.下列计算正确的是（）A．B．C．D．答案与解析1.【答案】92.【答案】3.【答案】D【解析】按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的．计算过程中注意正负符号的变化．巩固巩固式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（）A．2+1-3+2B．-2+1+3-2C．2-1+3-2D．2-1-3-2计算之值为何（）A．-1.1B．-1.8C．-3.2D．-3.9下列判断：①若ab=0，则a=0或b=0；②若，则a=b；③若，则；④若，则是正数．其中正确的有（）A．①④B．①②③C．①D．②③答案与解析1.【答案】选B．【解析】①括号前面有“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不改变；

②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变为相反符号．2.【答案】选C．【解析】遇到乘除加减混合运算，应先算乘除再算加减．所以这道题应先把-1.6和2.5变成分数，然后把除法变成乘法计算后，再算减法，算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法，最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值．3.【答案】A．【解析】①两数之积为0，说明至少有一个数为0；

②两数的平方相等，说明两数相等，或为相反数；

③若c=0，则a，b可为任意数；

④若|a|＞|b|，（a+b）与（a-b）同号．拔高拔高若a．b．c在数轴上位置如图所示，则必有（）A．abc＞0B．ab-ac＞0C．（a+b）c＞0D．（a-c）b＞0有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，a-b，ab，，s这五个数中，正数的个数是（）A．2B．3C．4D．5定义a※b=，则（1※2）※3=________________.答案与解析1.【答案】B．【解析】根据图示得知，a＜-1＜0＜b＜1＜c，然后根据有理数的混合运算法则进行计算．2.【答案】A．【解析】首先由数轴得出ab的正负：-1＜a＜0，b＞1＞0，再根据有理数的运算法则进行计算即可得出选项．3.【答案】根据题意可知，（1※2）※3=（1-2）※3=-1※3=1-3=-2．【解析】按照定义的规则计算．五、课堂小结五、课堂小结本节讲了5个重要内容：有理数加减法法则是什么？如何运用？有理数乘除法法则是什么？如何运用？有理数乘方运算是什么？如何运用？如何根据有理数的运算法则简化运算？有哪些运算技巧？如何进行有理数四则混合运算？运算顺序是什么？六、课后作业六、课后作业基础基础较小的数减去较大的数所得的差一定是()A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定计算：；计算：答案与解析1.B.2.解：=0；3.解：原式.巩固巩固下列结论中，正确的是()A.在有理数的加减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大B.减去一个数等于加上一个相反数C.0减去一个数，仍得这个数D.互为相反数的两个数相减得0若a<0，b>0，且|a|>|b|，则a+b__________0.若a、b互为相反数，x、y互为倒数，则(a+b)×-xy=；2a+2b-2xy=.答案与解析1.A2.<3.【答案】-1-2【解析】∵a、b互为相反数，∴a+b=0.∵x、y互为倒数，∴x·y=1，∴2a+2b-2xy=2(a+b)-2xy=2×0-2×1=-2.拔高拔高若a<0，则|a-(-a)|等于(