【RJ版春季课程初二数学】第12讲 变量与函数 教案（教师版）

第第12讲讲变量与函数概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点一次函数的概念及其性质教学目标常量与变量函数的定义自变量取值范围的确定函数值函数的图像与画法函数的表示方法教学重点探索简单的实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。了解函数的概念和三种表示方法，掌握用描点法画函数图像，能根据题意列出函数解析式并求出函数的对应值，会求自变量的取值范围。教学难点1.了解函数的概念和三种表示方法，2.能根据题意列出函数解析式并求出函数的对应值，会求自变量的取值范围。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式可以用哪个图象来表示？今天我们就来学习函数图象的先关知识，来解决此类问题。A.B.C.D.二、复习预习直角坐标系的横轴与纵轴将平面分成四部分，如图所示，但坐标轴不属于任何一个象限。第一象限x＞0，y＞0；第二象限x＜0，y＞0；第三象限x＜0，y＜0；第四象限x＞0，y＜0。坐标轴上的点的坐标特点是：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。原点的坐标是（0，0）。二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。常量与变量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生变化，判断的前提是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变。例如：在s=vt中，当s一定时，v,t为变量，s为常量。t一定时，s.v为变量。考点考点2函数的定义一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。对于函数定义的理解，主要抓住以下三点：1.有两个变量。2.一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化。3.函数的定义中包含了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应。考点考点3自变量取值范围和函数值【教学建议】在教学过程中需要注意实际问题和分式中自变量的特殊性自变量的取值范围：1．当解析式是整式时，自变量取值范围是全体实数。2．当解析式是分式时，自变量取值范围是使分母不为0的实数。3.当解析式含有.时，自变量取值范围是使被开方数步小于0的实数。4.当解析式中同时含有分式、时，应取它们的公共解。5.当解析式表示实际问题时，自变量的取值范围还必须使实际问题有意义。函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a,函数y所对应的值为b，即当x=a,y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值。拓展：（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是对变量而言的，函数值是对具体数值而言的。（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明是自变量是多少时的函数值。（3）求函数值的方法：将自变量取值代入函数解析式进行运算即可。（4）当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值确定时，对应的自变量的值可以有多个考点4考点4函数表示方法及图像【教学建议】在教学过程中可以拓展探究三种表示方法的优缺点。函数的表示方法：1.等式法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）。如s=60t，，A=πr2等。2.表格法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。3.图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。画函数图象的方法：可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法点1一元二次方程的定义三、例题三、例题精析类型一变量与函数例题1例题1已知函数，当自变量增加时，相应的函数值增加【答案】3m例题2例题2等腰三角形顶角点的度数为x度，底角的度数为y度，用含x的式子表示y，则y=，其中变量为，常量为。【答案】略类型二函数与函数图像例题1例题1如图所示的曲线，哪个不能表示y是x的函数（）A.yxB.yxyxC.D.yxyx【答案】A例题2例题2向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示，则该容器可能是（）【答案】D．类型三自变量范围及函数值例题1例题1函数的自变量x的取值范围是＿＿。A、B、且C、D、且【答案】B例题2例题2已知函数，那么f(－1)＝________【答案】类型四函数关系式例题1例题1我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费.如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为________立方米.【答案】略例题2例题2如图，、分别表示步行与骑车在同一路上行驶的路程与时间的关系。（1）出发时与相距千米。（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，用时是小时。（3）出发后小时与相遇。（4）求出行走的路程与时间的函数关系式。（5）若的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，小时与相遇，相遇点离的出发点千米。在图中表示出这个相遇点llBlA0.531.5O1022.5.57.5S（千米）（时）【答案】略例题例题3等腰三角形周长为10cm，底边BC长为ycm,腰AB长为xcm,写出y关于x的函数关系式；求x的取值范围；求y的取值范围．【答案】略四、课堂运用四、课堂运用基础基础已知正方形ABCD的对角线长xcm,则周长y关于x的函数解析式为，当1cm≤x≤10cm时,y的取值范围是如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，则0P的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，点P是AB边上一动点（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APDE，设AP=x，正方形APDE与△ABC重合部分（阴影部分）的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()答案与解析1.【答案】【解析】2.【答案】【解析】3.【答案】C【解析】巩固巩固某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式（），并写出自变量n的取值范围（）已知，，用含的函数式表示的结果是王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（）答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】B拔高拔高某商店购进一种商品，单价为30元，试销中发现这种商品每天的销售量与每件的销售价满足关系：。若商店没见商品的售价定为40元，则每天售出这种商品多少件？每天的销售利润为多少元？某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系式如图所示，那么乙播种机参与播种的天数为下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象.根据图象回答问题；⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇。⑵求这次比赛全程是多少千米。⑶求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.x分x分y千米BACD533O67154348答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】略五、课堂小结五、课堂小结在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。自变量取值的范围对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a,函数y所对应的值为b，即当x=a,y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值。画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．函数的表示方法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）。用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法。六、拓展延伸六、拓展延伸基础基础汽车从距A站300千米的B站，以每小时60千米的速度开向A站，写出汽车离B站S(千米)与开出的时间t(时)之间的函数关系是，自变量t的取值范围是如图，射线分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是.(

)A、甲比乙快

B、乙比甲快

C、甲、乙同速

D、不一定函数中，自变量的取值范围是“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图所示表示路程S(米)与时间t(分)的关系，那么知道：赛跑中，兔子共睡了＿＿分钟；乌龟在这次赛跑中的平均速度为＿＿＿米/分钟。答案与解析1.【答案】略2.【答案】A3.【答案】略4.【答案】略巩固巩固甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（图中实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象）小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）A.这是一次1500米的赛跑B.甲、乙两人中乙先到达终点C.甲比乙先起跑D.甲的这次赛跑中的速度为5米/秒2828300t（秒）S(米乙如图所示，一枝蜡烛上细下粗，设这枝蜡烛点燃后剩下的长度为h，点燃时间为t，则能大致刻画出h与t之间函数关系的图象是（）柿子熟了，从树上落下来，可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变化情况的图象是（）答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】略拔高拔高一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）甲乙两地之间的距离为______千米；（2）求快车和慢