九年级上册数学 讲义 第03讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲义+练习（教师版）

第3第3讲讲一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的根的判别式2、根与系数的关系教学目标1、使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2、使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3、通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．4、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．教学重点1、一元二次方程根的判别式的内容及应用．2、韦达定理的推导和灵活运用．3、已知方程求关于根的代数式的值.教学难点1、用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．2、一元二次方程根的判别式的推导．3、利用根的判别式进行有关证明【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入用公式法求出下列方程的解：(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1一元二次方程根的判别式先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为(x+)2=∵a≠0，∴4a2＞0．由此可知b2－4ac的值直接影响着方程的根的情况．(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．因此b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是,所以，一元二次方程有两个相等的实数根(3)当b2-4ac<0时，方程右边是一个负数,而方程左边的(x+)2

不可能是一个负数,因此方程没有实根.通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．考点2考点2根于系数之间的关系提问1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新知讲解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为：由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)变形为，我们就可以将之写成的形式，其中得出结论：如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．由x1＋x2＝－p，x1x2＝q可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴方程x2＋px＋q＝0，即x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a).这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.考点3考点3利用根与系数的关系确定一元二次方程如果实数x1，x2满足x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)，那么x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，求出所要求的方程．考点4考点4一元二次方程根与系数的关系的应用已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则求含有x1，x2的代数式的值时，其方法是把含x1，x2的代数式通过转化，变为用x1＋x2，x1x2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；②eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)；③(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；三、例题精析④|x1－x2|＝eq\r((x1－x2)2)＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2).三、例题精析类型一一元二次方程根的判别式例题1例题1一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D例题2例题2若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥1B．k＞1C．k＜1D．k≤1【答案】D例题3例题3已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根。(1)求k的取值范围；(2)当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解。类型二一元二次方程根与系数的关系例题1例题1设m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝．【答案】例题25例题2已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5B．﹣1C．2D．﹣5例题3【答案】B例题3已知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1）+（2）【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系知：=5，=－6（1）原式=+2－==5－（－6）=31（2）原式====例题4例题4已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根。（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=，x2=－。当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+，x2=－2－。四、课堂运用四、课堂运用基础基础若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（）A． B． C． D．若关于x的一元二次方程x2+(m+2)x-2=0的一个根为1,则m的值为_______已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（）A．B．﹣C．4D．﹣1答案与解析1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】-14.【答案】A巩固巩固关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A.2B.0C.1D.2或05.关于x的一元二次方程x2-kx+2k-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且x12+x22=7,则（x1-xA.13或11B.12或-11C.13D.12关于x的方程的两根同为负数，则（）A．且B．且C．且D．且若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为（）（A）－1或（B）－1（C）（D）不存在关于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0答案与解析1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】B拔高拔高已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．已知关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”，如x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”。若关于x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；已知方程①：x2+ax+b=0和方程②：x2+2ax+=0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0，试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由。已知：关于x的两个方程2x2＋（m＋4）x＋m－4=0①与mx2＋（n－2）x＋m－3=0②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．答案与解析1.【答案】（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0， 解得m≤4； （2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1， 而2x1x2+x1+x2≥20， 所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3， 而m≤4， 所以m的范围为3≤m≤4．2.【答案】略3.【答案】（1）∵方程2x2＋（m＋4）x＋m－4=0两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为x1，x2，∴即解不等式组，得m＞4，由方程②有两个实数根，可知m≠0，∴当m＞4时，＞0，即方程②的两根之积为正，∴方程②的两根符号相同；（2）∵方程②的两根分别为α、β，且α：β=1：2，∴β=2α．由把①代入②得=，∴（n－2）2=m（m－3）．由（1）知，m＞4，又m为整数，当m=6时，（n－2）2=×6×3=81，解得n=11或n=－7．当m=6，n=11时，△1=（n－2）2－4m（m－3）＞0，当m=6，n=－7时，△2=（n－2）2－4m（m－3）＞0，∴m的最小整数值为6．五、课堂小结五、课堂小结一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac<0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac=0；若无实数根，则Δ=b2－4ac<0。因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．注意事项：(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.六、课后作业六、课后作业基础基础若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1若关于x的一元二次方程x2A.m＜1Bm>―1Cm>1Dm＜-1如果一元二次方根ax2＋bx+c=0（a≠0）满足a-b+c=0则方程mx2关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（

）A.

x1=﹣6，x2=﹣1

B.

x1=0，x2=5

C.

x1=﹣3，x2=5

D.

x1=﹣6，x2=2答案与解析1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】x1=6x4.【答案】A巩固巩固已知，是方程的两实数根，则的值为______已