人教版高中数学选择性必修第二册-第2课时 数列的递推公式

第2课时数列的递推公式

课标课标要求素养要求

解读1.了解数列的递推公式，会求数列的通项公1.逻辑推理——能通过递推公式

式；求通项公式；

2.理解数列的前n项和公式，理解前n项和2.数学运算——能由数列的前n

公式与通项公式的关系.项和求通项公式；

3.数学建模——能利用递推公式

解决世纪问题.

教材研习

教材原句

要点一数列的递推公式

如果一个数列的①相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么

这个式子叫做这个数列的②递推公式.知道了首这和递推公式.就能求出数列的每

一项了.

要点二数列的前n项和

我们把数列｛Q,J从③第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛Q7J的前n

项和，记作Sn，即Sn=%+a2s---Fan.

如果数列｛即｝的前n项和加。与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,

那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

显然Si=Qi,而品1=a1+a2++anN2）,于是我们有a”=

rSi，H=1,

S71Sn1,九二2.

自主思考

1.只有递推公式an+l=2册，能否确定数列？

答案：提示不能.必须知道数列的首项（或某一项）和递推公式加+】=20n，才能确定数列.

2.已知数列｛Qn｝的通项公式为an=cosTUT，如何求数列的前n项和Sn?

答案：提示数列为1,1,1,1,..,当九为偶数时S=0；当n为奇数时,Sn=1.

名师点睛

1.数列的递推公式与通项公式的区别及联系

递推公式与通项公式是数列中的两个重要公式，二者既有区别又有联系.

（1）数列的通项公式反瞑的是数列中项与项数（序号）之间的关系，而递推公式反映的是相邻

两项（或相邻多项）问的关系.

（2）对于通项公式，我们只要将公式中的n依次用123...代替，就可以得到相应的项,而递推

公式则要已知首项（或前几项），才可以依次求出其他的项.

（3）有些数列的递推公式与通项公式可以互相推出，由数列的递推公式求通项公式是常见的

题型.

2.关于数列的前n项和的注意事项

（1）理解数列的前n项和Sn的意义，即％=。1+劭+。3+・・・+^i+an,其中如为首

项以〃为末项，共有n项.

aa

（2）规定a】二51，且治Sni=（%+与+。3+…+斯1+?i）4-a2+3+,•,+

Mi）=Qn,注意限制条件必须为九22,这是易错点.

互动探究•关键能力

见学用6页

探究点一由数列的递推公式求数列的项

精讲精练

例1（2021天津和平高二期末）已知数列｛厮｝满足限1=7T，若P则。】。=（）

A-7

B.2

C.1

D.-1

答案：A

解析：因为数列｛斯｝满足即+i=丁、，

又Q1=£,所以。2=2,

的=±=1，

%=+）=>

所以数列为周期为3的周期数列，

所以Q10=。3乂3+1=,故选A.

例2（2021山东枣庄一中高二期中）数列｛即｝满足%=4，即+1=1T，则Q2021等于

（）

A-7

B.-l

C.2

D.3

答案：B

解析：由。1=/,即1=1一《得Q2=1—2=—1,a3=1-(-1)=2,a4=i-i=i

a5=1-2=-1，所以数列的周期是3,所以。2021=。3乂6732=。2=-1.

解题感悟

由数列的递推公式求数列的项的注意事项

(1)已知数列的首项或前几项，根据递推公式可以依次求出数列的各项，利用递推公式求数列

的项时，前面不能出现“空项

(2)由数列的递推公式求第n项，且n较大时，通常求出数列的前几项后，再通过归纳猜出得

到数列的最小正周期，将其转化为数列的前几项得解.

迁移应用

1.已知数列｛即｝满足的=2,an=an-il(n>2)，则G2020的值为()

A.2019

B.2020

C.2021

D.2022

答案：C

解析：由数列的首项和递推公式可知数列的通项公式为加=n1，故。202。=2021.

2.(☆)已知数列｛斯｝的前n项和为%,若斯=(-l)”Tsin手，则

。3=。2022=•

答案：-1；0

n-1

解析：由斯=(-l)siny,得ai=l,a2=0,a3=-l,a4=0,a5=l,a6=0,...»

所以数列｛即｝的周期为4所以々2022=04X5052=。2=。*

探究点二由数列的递推公式求通前公式

精讲精练

类型1累加法求数列的通项公式

例1已知数列｛斯｝‘。1=1,=。几-12(zi22),求,

a

答案：由a1==n-i2(n>2)，得囱=1,。汁an=2,

所以ai=1,。2-«i=2,

a3-a2=2,

a^-a3=2,

an—an-l=2，

将以上几个等式累加，得斯=l+2（n-l）=2n-l.

变式若本例条件变为已知数列｛即｝,%=1,即+1=即+公行，如何求所？

答案：由=1,即+1=an+〃（n+i）,

得斯-an-l+„（„_1）（n-2）,

所以即一每-1==-：（九?2）,

叫-W一2=£一土.

11

a2-fli=1-1,

将以上九一1个等式累力比得加一4=1一;，所以anuai+l-ju，1

类型2累乘法求数列的通项公式

例2已知数列｛斯｝,%=l,an=2an^（n>2），求0n.

答案：由an=2即_1（7122），得产-=2，所以4=1,^-=2,

«n-l

-=2,

«2

-=2,

«3

上=2.

°几-1

将以上几个等式累乘，得a”=2'T.

解题感悟

由递推公式求通项公式的方法技巧

由数列的递推公式求通项公式是数列的重要题型之一，是历年高考考查的热点，累加法、累乘

法、迭代法是解决这类问题的常用方法.

（1）形如即+1=即+/（几）的递推关系式可用累加法求通项公式，即册=（即一品-D+

（an-l-册-2）+•••+（。3-©）+（做一%）+%,要特别注意中间消去了哪些项，前后各保留

了哪几项.

（2）形如ani=an-f^的递推关系式可化为3=f5）的形式，可用累乘法求通项公

an

式，即Q7l=B~•卜1..…乎・内，通过乘方运算，代入首项即可求出通项公式.

an\an2al

迁移应用

1.已知数列｛斯｝,ai=2,an=anil（n>2）,求斯.

答案：由ai=2,an=an11（九N2），得%—2,anian-1,

所以—2,0.2—1,

。3a2=1，

04。3=1，

的斯1=1，

将以上71个等式累加，得斯=2(l)(n1)=3n.

2.已知数列｛即｝,%=3,%=i(n>2)，求册.

答案：由Q】=3,册=3出】(九22),得｝二｝,

/an/

所以Q1=3吊=3,

22=1

a22'

2±=1

a32'

~=2^

将以上几个等式累乘，得诙=3乂6.

探究点三数列的前II项和问题

精讲精练

类型1由数列的递推公式求前n项和

例1已知数列OJ满足%=1,«2=2,2an=ani,Sn为其前n项和，则S2020

$2021=（）

A.0

B.3

C.4

D.6

答案：C

解析：因为数列｛即｝满足2Qn=Qn1=1，。2=2，所以an2=即,得

Al=1,a2=2,a3=1,a4--1,as=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,所以数列

｛an）的最小正周期为6,且56=0,所以$2020=52016。2017。2018a2019。2020=

§6X336a2a3=。3=3，所以S2020-^2021=2s2020^2021=2X3CI5=

6-2=4.

类型2由数列的前n项和求通项公式

„2

例2己知数列｛斯〕满足对2az3a3…=-■一n.

（1）求数列｛斯｝的通项公式;

（2）数列｛aj有没有最小项？若有，求出这个最小项;若没有，请说明理由.

答案：（1）由题意，当n=l时。1=3—1=一：,

因为Qi2a23的…九%=^■—九，①

所以当TIN2时,

由2a23。3…（九一1）每一1="一⑺一1），②

①-②得710Tl=n-|,

即即=1一套，

易知当71=1时,Q1=-^满足上式，

所以数列｛即1的通项公式为an=l—.

（2）由（1）知数列｛an｝为递增数列,

所以数列｛加｝有最小项，

最小项为Q1=-7.

解题感悟

由数列的n和求通项公式的“三步曲”

（1）先由数列的前n项和S”求数列的首项，o1=Si=a;

（2）再求第n项，an=Sn-S〃_i,注意限制条件九＞2;

（3）验证ai,看是否需要分段表示通项公式；若n=1时，（2）中的式子满足对二Q，则

直接得到通项公式；若九=1时，（2）中的式子不满足ai=Q,则需分段表示通项公式，即

通项公式为…｛”n:二乙

迁移应用

1.（2021浙江宁波高二模拟）已知数列｛斯｝满足％=。,厮1=急六（九€寸），若数列的

前n项和为Sn，则。2020a2Q21='52021=•

答案：V3;V3

e

解析：由Qi=0,an1=£]房&N*)，得。2=V3,a3=V3,a4=0，…，由此可知，数列

｛%｝是周期变化的，最小匕周期为3,且S3=0，可得。202。=^3x6731==0,。2021=

n3x6732=n2=>所以〃2020n2021=^/^$2021=-^2010。202002021=-^3x673

%。2=00>J3=V3.

2.已知数列｛即｝的前n项和Sn，求通项公式即.

(1)Sn=2n1;

(2)=3x2n3

答案：(1)依题意，得ai=a=1,

当nN2时。n=SnSn1=2n1[2(n1)1]=2,

所以“明泰：

(2)依题意，得Qi=Si=3,

当？132时,Qn=SnSn1=3X2"3(3x2n13)=3x2n1,

显然，当九=1时,3X21i=3=%,所以加=3X2n1.

评价检测•素养提升

见学用8页

课堂检测

1•数列m2，…的递推公式可以是()

A.an=6(九€N*)

B.an=点”N*)

C.Qn1=；斯(九6N.)

D.an1=2an(neN-)

答案：C

2.已知数列｛即｝的前n项和为Sn，且Sn=2%2,则劭=()

A.4

B.2

C.I

D.-2

答案：A

3.（多选）已知数列｛an｝满足%=21二一1,则数列的通项公式可以为（）

A.an=2-|cos^|

e15

B.an=----cosmr

n

C.an=-J（T）W

n-（T）x3

D.an=---2---

答案：B;C

4.（2021云南玉溪高二期末）已知数列｛恤｝满足&=1，厮1=;^、，则幻5=.

答案:名

解析：因为数列｛即｝满足%=1G1=」、，所以丁，---十=1，所以白1=

an1an1ana15a14

——11=-14X1=15，所以a”=三.

。1315

5.（2021山东前泽高二检测）已知数列｛即｝的前n项和为&=3n-l厕

Qi=&=-

答案.24[2/71=；

口术•乙'匕，？；？2

解析：由数列｛即｝的前n项和为Sn二3九一1,得%=工=2,

当n、2时，厮=S”一加一1=（3九-1）一[3（八一1）-1]=3,

所以｛曾二

素养演练

数学建模一递推数列模型在实际问题中的应用

某林区调整植树造林计划、第•年植树增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前•年植

树增长率的：.

（1）假设植树成活率为100%，那么第四年林区的树木量是原来树木量的多少倍？

（2）如果每年都有5%的树木死亡,那么第几年后，林区的树木量开始下降？

答案：⑴与倍

（2）6

解析•：审：已知树木增长的百分率，求第四年的树木量，确定树木量的变化趋势.

联：建立数列模型，（1）设出树木原有量，确定数列的递推关系；（2）利用不等式的性质解

题.

解：（1）设林区原有的树木量为Q，调整计划后，第n年的树木量为斯5=1,2,3,...），则

Qi=«（1+200%）=3a,

a2=+100%）=2。］=6a,

的=。2（1+50%）=12=9a,

545

。4=。3（1+25%）=产=7。.

所以第四年林区的树木量是原来树木量的若倍.

（2）若每年损失树木量的5%，则第九年的树木量与第（几-1）年的树木量之间的关系为

1io1

%=%（1+蒜）（1-5%）=宗1+/）0nT3之2）•

设第九年后树木量开始减少,

则②露吃即③驾普獴：1

得二

Y得,又?IWN”,

2凡-119,

所以九二6.

即第6年后，林区的树木量开始下降.

思：1.解决数列实际应用仙题的关键是建立数列模型，明确数列的首项以及递推公式或选项公

式.

2.将数量的等量关系或变化趋势转化为方程或不等式，进而求解，注意自变量九必须为正整

数.

3.检验数列模型的解是否符合实际问题，对数列模型进行优化.

迁移应用

学校餐厅每天供1000名学生用餐,每星期一有力、B两样特色菜可供选择（每个学生都将从

二者中选一），调查资料表明,凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B,而选B

菜的，下周星期一则有30%改选A,若用4、Bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人

数.

（1）试以4表示4+1；

（2）若4=200，则第几个星期一时，选A与选B的人数相等？

答案：（1）由题可知,4+1=（1-0.2）4+0.3区,又如+Bn=1000,

所以An+i=（1-0.2）4“+0.3（1000-A/）=0.5/1,t+300.

（2）若4=200，则A2=。-54i+300=400,A3=0.542+300=500，满足An=Bn=

500，所以第3个星期一时，选A与选B的人数相等.

课时评价作业

见学用《作业本》93页

基础达标练

1.下列递推公式表示的数列｛an｝的前三项分别为2,3,5的是()

A.ai=2,ani=an

B.a2=3,an2=

C.a3=5tani=ann

D.as=12,ani=九1

答案：C

2.已知数列｛即｝满足%=1,y/an1=yJa^1,Mflio=()

A.10

B.20

C.IOO

D.200

答案：C

3.(2021山东枣庄高二期末)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆

环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为•，得其关得其关撅,

解之为二，又合而为一在某种玩法中，用即表示解下九(n<9,neN-)个圆环所需移

动的最少次数，若出=1,且即=/册1则解下5个环所需移动的最少次数为

2an12,n为奇数，

()

A.22

B.16

C.13

D.7

答案：B

4.(2021安徽合肥一中高二月考)已知数列｛an｝满足呢i=六.由=2，则4=()

A.-1

B.2

c-7

D.\

答案：C

5.(2021辽宁大连一中高二质检)已知数列｛所｝的通项公式为即=1强2台(九€旷)，设其

前n项和为％,则使％V-5成立的正整数九()

A.有最小值63

B.有最大值63

C.有最小值31

D.有最大值31

答案：A

解析：由题意得&=1。取：log;…log2;2、log^4

«52*iTl12Tl£>

=Sg2(|*卜…X冷㊀=10g2土，

由10g2为〈一5得10g2±<10g2表，

得匕<专，解得几>62，又zi£N",所以"有最小值63.

6.(多选)下列四个命题中是真命题的是()

A.ai=1,递推公式为。髓i=即的数列的各项都是1

B.a2=2,递推公式为斯1=2%的数列的各项都是偶数

c.数列:|，…的一个通项公式是即

D.如果已知一个数列的递推公式及其首项,那么可以写出这个数列的任何一项

答案：A;C

解析：由Qi=1,an1=,得Qn=1,即数列的各项都是I,选项A符合题意；

由=2,册1=20n得Q2=2%=2,at=1,故首项不是偶数，选项B不符合题意；

数列与44，…的一个通项公式是所=?，选项c符合题意；

易知选项D不符合题意.

7.(2021广东东莞高二检测)斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家莱昂纳

多,斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,23,5,8,13,21,…，此数列从第3项开始,

每•项都等于前两项之和，记该数列为｛F(n)｝,则/⑺)｝的通项公式为()

..、(-i)n。

A.F(n)=---

B.F(九1)=F(n)F(n-1),n>2H.F(1)=1,F(2)=1

c.F(n)=^[(^r-(^r]

D^(n)=^[(I/)n(号与]

答案：C

解析：对于选项A,当71=1时,F(1)=0H1,故选项A不正确;对于选项B,易知选项B为递

推公式，所以选项B不正确；对于选项C,F(n)=专［(一)"一(与更严，得口1)=1尸(2)=

1,F(3)=1/(4)=1，…，故选项C正确，选项D不正确.故选C.

8.已知数列｛斯｝,%=3,an=-3册_1(几>2)，则的=，%=.

答案:27;-(-3)n

9.(2020天津开发一中高二期中)已知数列｛斯｝中,勺二1，以后各项由公式•即•・・・•

Q”=几z给出，则«5=•

61

答案：717O

解析：由题意可知,ai,。2=2?=4,%•。2•。3=3?=9，所以。3="

a22

Xai-a2•«3,4=4=16,at-a2-a3-a4-a3=5=25,所以Q$=

92561

所以。3劭=［正=记.

10.已知数列｛斯｝满足时1=2%1,neN*.

(1)若Ql=—1，推测该数列的通项公式；

(2)若Q1=1,推测该数列的通项公式.

答案：1=2%1a2=-21=-1,。3=-1，。4=-1，可推测该

数列的通项公式为斯=-1.

=

(2)v=1，%1=2an1,•••a2=2x11=3,Q3=2x31=7,a4

2X71=15，可推测该数列的通项公式为%=2n-l.

素养提升练

II.(2019浙江,10,4分)设Q,bER，数列｛Qn｝满足=a,an1=底」，n€N*,则

()

A.当％=g时,aio>lO

B.当b=:时,田0>10

C当b=-2时,60>10

D.当b=-4时oio>10

答案：A

解析：若数列｛斯｝为常数列，则册=%=Q,由即1=Wb,可设方程/一%b=0.

对于选项A,当时，曲1=成|,x2-x：=0,4=1-2=-1<0,故此时｛斯｝

不为常数列,,••斯1=an7=(容)2N无期，且。2=山D，Q3工6。2坦4N

7

V2a3>（遮）2a2,…，，ag>（V2）a2N4V7，则劭（）=a'i+/>曷>32>10,故选项A正

确；

对于选项B,当力=：时,Ctn+l=an+1,x2-x+^=0,该方程的解为％=g,即当a=g时,

数列｛厮｝为常数列，即a”=7Maio=1<10，故选项B错误；

对于选项C,当b=-2时,即+1=al-2,x2-x-2=0，该方程的解为x=-1或％=2,

即当a=-1或Q=2时，数列｛即｝为常数列，斯=-1或许=2,不满足。1（）>10，故选项

C错误；

对于选项D,当b=-4时,Qn+1=-4,X2-X-4=0,

该方程的解为x=¥，同理可知,此时的常数列｛an｝也不能使al0>10，故选项D错误.

故选A.

12.（多选）已知数列｛Qn｝中,。1=2，即=1一」一（九62）,那么2a3…即=

an—1

（）

C.2

Di

答案：A;B;C

解析：因为ai=2,an=1

所以。2=1--，

=1一土=2,

a3

T11

a5=i--=7^

所以数列｛即｝是以3为最小正周期的周期数列，且%=2,。1。2=1,2a3=-1,

2a3a4=一2，所以2,1,-1满足题意，故选ABC.

13.（2021浙江宁波高二期中）在数列｛an｝中。1=2,即+1=孑■，设数列｛即｝的前n项和

为Sn,则。4=-----$2019-......•

依311179

答案：-3；F

解析：.•Fn1=泠。1=*,••・。2=汴=3,。3=4=2‘Q4=U=

。5=言=；，二数列｛厮｝是以4为周期的周期数列，

1111179

•••52019=。2…«2019=505x(-32-)(-)=—.

14.(2021吉林长春高二月考)已知数列｛Qn｝满足/t=Qs4(s,teN,)，且。2=2，则

答案：8

解析：令S=t=2，则C14=。2X。2=4，令S=2,t=4，则“8=。2Xa4=8.

15.(20