高一数学：平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行

课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，

平面与平面平行的性质定理，并加以证明.2.会应用平面与平面平行的判定定理证

明平面与平面平行，能利用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系.

【引入】在日常生活中，经常需要判断两个平面是否平行，比如建造一栋楼房，

建筑工人必须判断每一层的楼板是否与水平面平行；装修房间的地板时，装修工

人也要判断地板所在平面是否与水平面平行.那么如何才能判断两个平面是否平

行呢？

一、平面与平面平行的判定定理

探究1数学实验1：如图①，。和匕分别是数学课本的两条对边所在直线，它们

都与桌面平行（转动一下课本，仍可保持心人都与桌面平行），直观感受一下，课

本与桌面平行吗？

提示不一定平行.

探究2数学实验2：如图②，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与

桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？

提示平行.

探究3对于数学实验2中的三角尺，把它转动一下，能否使c,d都与桌面平行,

但三角尺不与桌面平行呢？

提示不能.

探究4上述实验中的小人有什么样的位置关系？c,d有什么样的位置关系？两

个实验说明了什么问题？

提示。与〃平行，。与〃相交.通过实验说明：⑴如果一个平面内有两条平行直

线与另一个面平行，这两个平面不一定平行；（2）如果一个平面内的两条相交直线

与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

【知识梳理】

平面与平面平行的判定定理

文字如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么

语言这两个平面平行

符号

auB,buB,aCb=P,a//a,Z?〃a=£〃a

语言

w

图形

语言

温馨提示（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交

直线”是必不可少的条件.

（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.

例1（链接教材P140例4）已知在正方体ABC。一A曲CQ中,加是44的中点，

N是8吊的中点.求证：平面平面ANC.

证明如图所示，

连接MN.

因为M,N分别是所在棱的中点，

所以四边形AMBN和四边形MNCO都是平行四边形,

所以M8i〃AN,CN//MD.

又平面MDBi,4W平面MDB\,

所以AN〃平面MDBi,

同理可证CN〃平面MDBi,

又因为ANnCN=N,AN,CNu平面4NC,

所以平面平面ANC.

思维升华1.证明两个平面平行的主要方法：

（1）根据定义证明两平面没有公共点（采用反证法）；（2）判定定理；（3）利用平行平面

的传递性.

2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找（或作出）两条相交直线与另一

个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交.

训练1如图，在多面体A3CQE厂中，底面ABC。是平行四边形，点G和点”

分别是CE和C”的中点.证明：平面BDGH〃平面AEE

证明在ACE尸中,

因为G,〃分别是CE,C尸的中点，

所以GH//EF,

又因为G雨平面AEFfERz平面AEF,

所以G"〃平面AEE

设ACnBO=O,

连接0”，在△AC尸中，

因为0A=0C,CH=HF,所以0"〃AR

又因为。用平面AEK平面AER

所以0/7〃平面4EE

又因为OHCGH=H,OH,G〃u平面BOGH,

所以平面BDGH〃平面AEF.

二、平面与平面平行的性质定理

探究5平面。〃平面/?,直线4U。，直线Z?u£.

⑴直线。与平面£的位置关系如何？

提示平行.

(2)直线a与直线h的位置关系如何？

提示平行或异面.

(3)在什么条件下可使a//b?

提示当。与Z?不异面，即。与人在同一平面内时，。与人平行.

【知识梳理】

两个平面平行的性质定理

文字两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么

语言两条交线包

符号

a//p,aC\y=cb6n7=>=>a〃b

语言

图形

语言

温馨提示平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用

过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线

线平行.

例2(链接教材P142例5)如图，在三棱锥产一A8C中，D,E,尸分别是以，PB,

尸。的中点，M是48上一点，连接MC,N是PM与OE的交点，连接NR求证：

NF//CM.

证明因为D,E分别是现，夕3的中点,

所以DE//AB.

又DEQ平面ABC,48u平面ABC,

所以OE•〃平面ABC,

同理。尸〃平面48C,且OEGO/7：。，

DE,。尸u平面DEF,

所以平面DE/7〃平面ABC.

又平面PCMA平面DEF=NF,

平面尸CMCI平面ABC=CM,

所以NF//CM.

思维升华利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤

逅加晒着是否仃平面IJ平面平行一

支作)第三个平面取一如两个■面相交)

@|^)-(确定交线位.")

一两条交线“(平行-

训练2如图，在正方体A8CO-4B】GQi中，E为棱A4的中点，过点8,E,

D\的平面与棱CCi交于点F.

⑴求证：四边形BFChE为平行四边形；

(2)试确定点尸的位置.

⑴证明在正方体ABCD—ABiCQ中，平面4884〃平面。CCi»,

且平面6H>iEG平面ABB\A\=BE,平面石G平面DCC\D\=FD\i

由面面平行的性质定理知BE〃FD\,

同理即〃。山，

所以四边形BFDiE为平行四边形.

(2)解由(1)知，四边形B77)店为平行四边形，

所以FB=EDi,

因为C3=AIOI,ZBCF=ZD}A\E=90°,

所以△BCr也△D4E,

所以CF=EA\9

因为E是A4的中点，

所以尸是CG的中点.

三、平行问题的综合应用

例3在正方体48。。一4办。|。|中，M,N,尸分别是AOi,B。和BC的中点,

求证：

（1）MN〃平面CGQQ；

⑵平面MNP〃平面CGOiD

证明（1）连接AC,CD（图略），

因为A8CZ）是正方形，N是BD的中点,

所以N是AC的中点，

又因为〃是ADi的中点，

所以MN〃CD,

因为MMZ平面CGDiQ,CQiu平面CGDi。，

所以MN〃平面CCiDiD.

（2）连接5C,GO（图略），

因为8山CG是正方形，P是8iC的中点，

所以?是6cl的中点，

又因为N是30的中点，

所以PN〃C\D,

因为PNQ平面CGOiO,GOu平面CGDiQ,

所以PN〃平面CGUD,

由（1）得MN〃平面CGD。，且MNCPN=N,MN,PNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面CCiDiD.

思维升华1.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关

系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：

判定

快线'K行船4线.平彳r当曲向平.行］

ZuJjMtlJjM

【性质

2.判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关

系推出低一级的平行关系.

训练3如图，在正方体A3CD—4囱GOi中，侧面对角线A3i,上分别有两

点E,F,且求证：E/7〃平面A3CD

证明如图，过E作EG〃A8交8自于点G,连接GF,

B\G

则布=标・

'：B\E=C\FyBA=GB,

・C\FB\G

B\B'

:・FG〃B\C\〃BC,

易得EG〃平面48CQ,

bG〃平面48co.

又・.,EGARG=G,EG,FGu平面EFG,

・•・平面EEG〃平面ABC。,

又・・・E/u平面EFG,

・・・E/〃平面ABCQ.

【课堂达标】

1.已知在长方体ABC。一A7TC。中，平面afl平面ABCD=EF,平面aA平面

ABCD』EF,则七/与E'尸的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.不确定

答案A

解析由面面平行的性质定理易得EF〃E尸.

2.平面a与平面/?平行的充分条件可以是（）

A.平面。内有一条直线与平面夕平行

B.平面a内有两条直线分别与平面p平行

C.平面a内有无数条直线分别与平面/?平行

D.平面a内有两条相交直线分别与平面力平行

答案D

解析对A,若平面a内有一条直线与平面/?平行，则平面。与平面夕可能平行

或相交，故A错误；

对B,若平面a内有两条平行直线分别与平面£豆行，则平面a与平面£可能平

行或相交，故B错误；

对C,若平面a内有无数条直线分别与平面夕平行，若这无数条直线互相平行，

则平面。与平面”可能平行或相交，故C错误；

对D,若平面。内有两条相交直线分别与平面夕平行，则根据平面与平面平行的

判定定理可得平面。与平面£平行，故D正确.

3.（多选）已知直线小两个不重合的平面a,B.若a〃}au。，则下列四个结论中

正确的有（）

A.a与厂内的所有直线平行

B.〃与£内的无数条直线平行

C4与B内任何一条直线都不平行

D.a与夕没有公共点

答案BD

解析〈a/邛、aua、过。作平面？与平面少相交，则。与交线平行.

在/?内与交线平行的直线都与。平行，故有无数条，故B正确；由线面平行的定

义知D正确.

4.如图，已知在三棱锥P—ABC中，D,E,产分别是棱％,PB,PC的中点，则

平面DEF与平面ABC的位置关系是_______.

答案平行

解析在△心B中，因为。，E分别是以，PB的中点，所以

又DEQ平面ABC,A8u平面ABC,

因此。E〃平面ABC.

同理可证后/〃平面ABC

又DECEF=E,DE,EFu平面DEF,

所以平面DE/7〃平面ABC.

------------------------课时精练-------------------------

一、基础巩固

1.（多选）下列说法正确的是（）

A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行

B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面

平行

C.平行于同一个平面的两平面平行

D.夹在两个平行平面间的平行线段相等

答案BCD

解析A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，由面面平行的判定定理可知

B正确；C,D显然正确.

2.若平面a〃平面£,直线aua,点过点M的所有直线中（）

A.不一定存在与。平行的直线

B.只有两条与，平行的直线

C.存在无数条与。平行的直线

D.有且只有一条与a平行的直线

答案D

解析由于a〃4，aua,MSB,过点M有且只有一条直线与。平行，故D项

正确.

3.如图，在正方体ABCD-A\B\C\D\中,E在B\D\上，尸在Ai正上，且煞=煞\

r5\r01/11

过E作EH〃B\B交BD于H,则平面EFH与平面BB\C\C的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.垂直D.以上都有可能

答案A

解析在平面AiBiGDi中，

因为舞=署，所以

DirDIAI

由BiCi〃ADi,知EF//BC.

又因为EH〃BiB,EH,EFu平面EFH,

BBT,3IGU平面881cleEHCEF=E,BB】CBTCT=BT,

所以平面£7V7〃平面BB\C\C.

4.在正方体EFGH-Ei~Gi”i中，下列四对截面彼此平行的是（）

A.平面EiFGi与平面EGHi

B.平面FHGi与平面FHG

C.平面FI”IE与平面FHE\

D.平面EiHGi与平面EHiG

答案A

解析对于A,•:E\G\〃EG,EHT〃FGT,EiGiQFG\=GiiEGCEHi=E,

・••根据面面平行的判定定理得：

平面EiFGi与平面EG，i彼此平行，故A正确；

对于B,・・・"Gi与FG相交，・•・平面H/Gi与平面RFG相交，故B错误；

对于C,•・・”©与FE相交，J平面Fi”店与平面尸”后相交，故C错误；

对于D,・・・"Gi与"心相交，，平面与平面£FG相交，故D错误.

5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平

面内以交点为顶点的两个三角形是（）

A.相似但不全等的三角形

B.全等三角形

C.面积相等的不全等三角形

D.以上结论都不对

答案B

解析由面面平行的性质定理，得AC〃4C,

则四边形ACCA为平行四边形,

：.AC=AfC.

同理8C=B'C,AB=A,B\

・・・△ABC丝△ATTC.

6.已知a和〃是异面直线，且au平面a,Z?u平面.，a〃b//a,则平面a与夕

的位置关系是.

答案平行

解析法一过。作平面y,使川夕=",因为。〃6，所以

Y/

a

下面证明直线"与〃相交，

假设"〃〃，由。〃"，可得。〃仇与已知。与〃是异面矛盾，所以直线〃与b相

交，

又〃〃%所以平面夕上有两条相交直线方和"都与平面a平行，

所以a〃及

法二假设平面a与4不平行，则aQQ=c,

,."u平面a,a//fit:.allc,

•:/?u平面/?,h//a,:c,

••a//b,

这与。和力是异面直线相矛盾，

故a〃4

7.如图所示，平面四边形A8C。所在的平面与平面。平行，且四边形A8c。在平

面a内的平行投影AIBIGDI是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是

答案平行四边形

解析•・•平面A8CQ〃平面a,平面AAiB}BDa=AiB\1平面A4由18G平面ABCD

=48,

：.AB//A\B^同理可证。O〃GOi,

又AI8I〃CQ,

：.AB//CD,同理可证AO〃BC,

・•・四边形ABC。是平行四边形.

8.如图，在长方体ABCQ—中，过Mi的中点E作一个与平面ACB平行

的平面交A8于M,交8C于M则府=

答案!

解析由平面MNE〃平面ACBi,由面面平行的性质定理可得EN〃3

又・・・E为88的中点，

・・・M,N分别为84,8c的中点，

；・MN=3NA/iCC,即L深卷=；.

9.如图，已知在四棱锥产一A8C。中，底面48C。为平行四边形，点M,N,Q分

别是山，BD,PO的中点.

求证：平面MNQ〃平面PBC.

证明因为棱锥P-ABCD的底面A8CO是平行四边形,

点M,N,。分别是以，BD,的中点，

所以N是AC的中点，

所以MN〃PC,

又因为PCu平面PBC,MNQ平面PBC,

所以MN〃平面PBC.

因为M,。分别是雨，PO的中点，

所以M2〃AO〃8C,

又因为BCu平面PBC,MQQ平面PBC,

所以MQ〃平面PBC,

因为MQ,/WNu平面MNQ,且MQPMN=M,

所以平面MNQ〃平面PBC.

10.如图，在四棱柱中，底面ABC。为梯形,AO〃BC,平面AQCE

与88交于点E.求证：EC//A\D.

证明因为8EZM4,A41U平面AA1O,平面A4D,

所以8E〃平面AA\D.

因为8C〃4O,AQu平面AAiO,8CQ平面AAi。，

所以8C〃平面AAiD

又BECBC=B,BE,BCu平面BCE,

所以平面平面AA\D.

又平面4DCEA平面BCE=EC,平面AiDCECi平面AA\D=A\Dy

所以EC//AiD.

二、综合运用

11.如图所示，P是三角形A8C所在平面外一点，平面。〃平面ABC,a分别交线

段以，PB,PC于A',B',C,若8V：AA'=2：3,则：51座等于（）

A.2：25B.4:25

C.2：5D.4：5

答案B

解析•・,平面a〃平面A3C,平面%3与它们的交线分别为49,A3,・・・43〃AE,

同理夕C〃8C,易得△ABCS/\A，B，C'，

S.^B'C:S.\ABC=

12.在三棱台4S。一48。中，点。在48上,且八4〃8。,点”是三角形48心

内（含边界）的一个动点，且有平面〃平面AMCG,则动点M的轨迹是（）

A.三角形边界的一部分

B.一个点

C.线段的一部分

D.圆的一部分

答案C

解析如图，过点。作OE〃4。交囱G于点£,连接BE.

因为8D〃A4i,&X平面AAiCiC,AAiu平面AACC,

所以。。〃平面A4QC.

同理可得。石〃平面A41C1C,

又BDCDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面BOE〃平面MiCiC,

所以M6OE（M不与。重合，否则没有平面8OM）.

13.如图，在四棱锥C-ABEO中，四边形A8EQ是正方形，若