一元二次不等式的应用 第2课时

2.3第2课时一元二次不等式的应用

基础练

巩固新知夯实基础

4r+?

1•不等式式二中>。的解集是（）

J人1

B.卜|_拉4}

C.卜|D.卜|xv-

2.若集合A={x|加一"+1<0}=%则实数。的值的集合是（）

A.{础）<〃<4}B.{〃|00〃<4}

C.伍|0<〃*}D.{a\0<a<4]

3.若关于x的不等式/一4人一色0对任意（0,1]恒成立，则〃?的最大值为（）

A.1B.-1C.-3D.3

4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于30（）nF的内接矩形花园（阴

影部分），则其边长N单位：m）的取值范围是（）

A.15人30

B.12<r<25

C.10<r<30

D.20人30

5.若关于.i的不等式吊>0的解集为（-8,-1）U（4,+8）,则实数。=,

6.若不等式f+〃优+1>0的解集为R,则m的取值范围是

7.解下列分式不等式：

-+12x+1

⑵.。.

8.当a为何值时，不等式（"一l）f—（a—l）x—1<0的解集为R?

能力练

综合应用核心素养

9.不等式+[<2的解集为（）

A.{x|x#—2}B.RC.0D.{小<-2或x>2}

10.若不等式nix2+2mx—4<2.r+4.v的解集为R,则实数in的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（-2,2]C.（-oo,-2）U[2,+oo）D.（一8,2）

11.下列结论错误的是（）

A.若方程ajr+bx+c=0（”翔）没有实数根，则不等式a.v+bx+c>0的解集为R

B.不等式加+氏+（=04）在R上恒成立的条件是«<0且△=庐4仅00

C.若关于x的不等式^+A-1<0的解集为R,则a<-^

D.不等式全>1的解集为N1

12.对任意“£[—1,1],函数,/U）=f+（a—4）x+4—2a的值恒大于零，则x的取值范围是（）

A.1<¥<3B.x<l或x>3C.l<x<2D.工<1或x>2

13.在R上定义运算领A®=x（l-y）.若不等式（La）&x+a）vl对任意的实数x都成立，则〃的取值范围

是.

14.已知2人3时，不等式2/—9』+〃<0恒成立，则。的取值范典为.

15.已知关干x的一元二次方程1+2/小+2〃?+1=0.若方程有两根,其中一根在I乂间（一1.0）内,另一根在区

间（1,2）内,求〃?的取值范围.

16.某地区上年度电价为0.8元/kW.h,年用电量为akWh,本年度计划将电价降低到0.55元/kW.h至（）.75

元7kW.h之间，而用户期望电价为0.4元/kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电

价的差成反比（比例系数为k）.该池区电力的成本价为0.3元/kWh

（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益.V与实际电价上的函数关系式：

（2）设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

注：收益=实际用电量x（实际电价一成本价）.

2

【参考答案】

1.A解析：:：；>0U4.r+2)(3x-1)>OG>；或工〈一\此不等式的解集为x|号或*一小

2.D解析：。=0时符合题意，。>0时，相应二次方程中的/=。2—4三0,得(。|0〈七4},综上得{”|03£4}.

3.C解析：由已知可得/rz<r-4x对一切工£(0,1]恒成立，

又凡r)=f-4x在上为减函数，・\/U)min=Al)=—3,・・・〃区一3.

4.C解析：设矩形的另一边长为jm,则由三角形相似知，东=专{・・・)=40—工，・.”比3()0,

.,.A(40-X)>300,一4().r+3OO0O,10<r<3().

5.4解析：’_1_；>0<=5(工+l)(x—。)>0<=(1+l)(x_4)>0,/.d=4.

人I1

6.-2<m<2解析：由题意知，不等式『+〃LI+1>0对应的函数的图象在x轴的上方，所以/=(mF-4x1x1<0,

所以一2v〃?<2.

7.解⑴:•丹41，，三士一⑼，二杲接0,即二*0.此不等式等价于(x-4)Q—臬0且X-%,

LXJLXJLXJ。\乙7N

解得工<|或x>4.・,・原不等式的解集为卜卜<|或心4).

*

(2)由管■《)得台>°，此不等式等价于(x+?a—1)>o,解得代V或x>i,

・••原不等式的解集为卜卜一段或QI).

8.解①当/—1=0时，。=1或一1.

若，=1,则原不等式为一1V0,恒成立.若a=-1,则原不等式为2A•—1<0即不合题意，舍去.

CT—1<0,

②当。2—1加时，即存±1时，原不等式的解集为R的条件是

[=[一〃—“2+4/—]<0

解得一

综上。的取值范围是(一之1.

9.A解析：•.,x2+x+1>0恒成.立，IM<^v2—Zv—2<2^+2¥4-2<=x2+4.v4-4>0<^(x4-2)2>0•:,"一2.

不等式的解集为“1/一2}.

10.B解析：\*nir+2nix—4<2r+4x,/.(2—^)^+(4—2/?0^H~4>0.

当加=2时，4>0,x£R：当/〃<2时，/=(4—2〃z)2—16(2—机)<(),解得一2</”<2.此时，x£R.

综上所述，-2Vm幺

11.ABD解析：A选项中，只々a>()时才成立；B选项当a=b=0,右0时也成立；D选项x是大于。的.

3

gl=/-3x+2>0A<I或x>2

12.B解析：设93)=(汇-2)〃+。2—©+4)，8(砂>0恒成立且“£［-11］

£—1=f—5x+6>0xv2或心>3

<=^<1或%>3.

]3_

13.一解析：根据定义得〃)&x+a)=(x—a)[l—(1+。)]=—f+x+〃一〃，又(工一a)(g(%+a)<l对

任意的实数x都成立,所以x2—x+a+1-a2>0对任意的实数x都成立,所以/<(),即L4(a+I—a2)<0,

\3

解得一£<。奇

14.«<9解析：二•当2。^3时，2A2—9x+a<0恒成立，・,•当2%S3时，a<—2r+9%恒成立.

o

令y=一浮+9K・・・2人3,且对称轴方程为X=布・・・ymin=9,...a<9.・・・a的取值范围为a<9.

15.解设«v)=f+2〃zr+2〃?+l,根据题意，画出示意图由图分析可得,

：/0=2〃?+1<0

f-

，〃满足不等式组1，=2>「0八解得一步5那一宗|

刀=4川+2<062

J2=6〃?+5>0

16.解(1)设下调后的电价为x元/kW.h,依题意知，用电量增至工枭+小电力部门的收益为>，=(房1+。)

(A—0,3)(0,55<x<0.75).

⑵依题意，有［禺+小一03闫小0・8-。.3)］。+2。％),整理，得广皿+。二

l().55<r<0,75.O55M0.75.

解此不等式，得0.60刍W0.75.

，当电价最低定为0.60元/kW.h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

A级必备知识基础练

1.［探究点一(角度2)］不等式会20的解集为()

1-X

A.{M-6WxW1}

B.{小21,或xW-6}

C.{x|-6^x<l}

D.{川x>l,或xW-6)

2」探究点一(角度1)]若集合A={x|(2i+l)(x-3)vO},B={x£N*kW5},则ADB等于()

A.{1,2,3}

C.{4,5}D.{123,4,5}

3」探究点一(角度1)]不等式/27>标的解集是()

A.{x|x25,或xW・l}

B.{x|x>5,或A<-1}

4

C.{x|-1<x<5}

D.3-14W5}

4」探究点二］若不等式ar+/zt+6>0的解集为{小v-3或入>-2},则（）

A.a=l力=-5B.a=-i,/?=5

C.a=-l,Z?=-5D.a=l力=5

5」探究点一（角度2）］不等式卷22的解集是（）

X-1

A.{X|A<1}B.{A|A^2}

C.{x|Kx<2}D.{.v|Kx<2}

6」探究点二・2024江苏连云港高一期中］（多选题）设为实数，不等式加+队+00的解集是{小vl或x>3},

则下列说法正确的是（）

A.a<0

B.MO

C.ac>0

D.d:h:c=\:（-4）：3

7」探究点二］（多选题）不等式加+辰+c2（）的解集是{升1«},对于系数aQc下列结论正确的是（）

A..a+b=OB.«+Z?+c>0

C.c>0D./?<0

8」探究点二］二次函数y=ar+bx+c（x£R）的部分对应值如下表:

X-3-2-101234

V60-4-6-6-406

则关于x的不等式ajr+bx+c>0的解集是.

9」探究点三］某产品的总成本），（单位:万元）与产量M单位:台）之间的函数关系是产3000+20M）.Ld（0<x<240）,

若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是台.

10.|探究点一（角度I）］求下列不等式的解集：

（1）1^-13x+20>0;

（2）7,r+5x+l<0;

（3）4A2-4X+1<0.

B级关键能力提升练

H.在R上定义运算“铲:。0/尸"+2〃+4则满足xO（x-2）<0的实数x的取值范围为（）

A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<l}

C.{小<-2或x>l}D.{x|-l<x<2}

12.“关于x的不等式』-2如+〃>（）的解集为R”的一个必要不充分条件是（）

A.0<t/<lB.0<a<-

3

5

C.0—W1D.a<0或

3

i3.已知a>o力>(),则不等式4等价于()

A.xv二或x>7

ab

ba

C」4Vo或0<x<7

ab

D，4<X<0或0<x<-

ba

I4.[2024河北唐山高一期中](多选题)已知关于x的不等式加+版+c>0的解集为卜持<%<1},则下列结论正

确的是()

A.a>0

B.c<()

C.a+b>0

D.关于x的不等式c^+bx+aX)的解集为{川}

15.已知不等式ar-3,v+6>4的解集为{小<I,或

(1)求a,b的值；

(2)解不等式ar-(ac+b)x+bc<0.

16.已知集合A={X*4Y+3W0},3=.若是的必要不充分条件，给出如下三个条件:①

{x|(z-1WxWa},②{WJIWa+2],®{x\\/aWxW北+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在，求出

〃的取值范围.

C级学科素养创新练

。.在R上定义运算:::若不等式归的解集为R,则实数0的最大值为.

18己知关于K的不等式(公*-4)(片4)>0的解集为4其中MR.

(1)若5£人求实数K的取值范围.

⑵求不等式的解集A

(3)是否存在实数公使得上述不等式的解集4中只有有限个整数?若存在，求出使得4中整数个数最少的k的

值;若不存在，请说明理由.

答案：

6

1.C不等式答NO等价于~°,解得-6WXVL故解集为3-6Wxvl).

2.BV(2x+l)(x-3)<0,/.-1<x<3.

又工£N”且xW5,则x=l,2.即ACI8={1,2}.

3.B由x2办-5>2尤得/4-5>0,因为方程.3-445=0的两根为-1,5,所以不等式P4心5>0的解集为口田<-1,或

x>5}.

4.D因为不等式or2+fev+6>0的解集为{"v<-3或x>-2},所以-3和-2为方程江+区+6=0的两根，即

9。-36+6=0,4〃-2。+6=0,解得。=16=5,故选D.

5.D不等式卷22可化为强-220,即等20,等价于-°,解得1<XW2,

所以不等式的解集为{x|l<xW2}.故选D.

6.BCDVa.byC为实数，不等式ax^+bx+c>()的解集是(戈卜<1或：>3},，a>0,1和3是方程加+力.*+。=0的两

(1+3=

a

个根r/./?=-4^<0,(?=3«>0.ah<0,ac>0,a:〃：c=l：(-4):3.故选BCD.

1x3=-,

a

7.ABC由不等式a^+bx+c^O的解集是{川-1WxW2}可得〃<0,且方程ajr+bx+c=O的两个艰为-1,2,所以

--=-1+2=1>0,所以。=F,〃>0,故A正确.D错误:由£=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax^+bx+c的图象

aa

开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=l时，产〃+»+c>0,故B正输.故选ABC.

8.{小v-2,或x>3}根据表格可以画出二次函数产加+bt+c(x£R)的图象如图.

由图象得关于x的不等式ar+bx-^-oO的解集是{x[x<-2,或x>3}.

9.150依题意得25x23000+20M).Ld,整理得x2+50.r-3000020,解得工2150或x&

-200(舍去).因为0<x<240,所以150Wx<240,即生产者不亏本时的最低产量是150台.

10.解⑴原不等式对应的方程为Zx2-13x+20=0J=(-l3)2-4x2x20=9>(),

所以该方程的两根为即

442

画出的数y=*-13X+20的大致图象，如图，函数图象与X轴的交点为(4,0),(-,0).所以不等式2己13x+20>0的解

2

集为卜卜>4或x<3}.

7

⑵原不等式对应的方程为7f+5x+1=04=52-4x7x1=-3<0,所以方程无解.画出函数产7f+5x+l的大致图象,

如图,图象与x轴无交点.所以不等式7f+5x+lv()的解集为。.

(3)4f-4x+lW0可化为(Zr-l/WO.所以2。1=0,

所以x=T•画出函数y=4x2-4x+1的大致图象，如图，函数图象与无轴只有一个交点(点0).

所以不等式4f-4.r+1W0的解集为卜卜二卦.

11.B根据给出的定义得^0(心2)=«¥-2)+2(+(心2)=/+心2=。+2)(41).

文/0(42)<0,则(工+2)(.E)<0,故文的取值范围是{斗2<x<1}.

12.C因为不等式『2"+。>0的解集为R,所以/=(-2〃尸-4。=4az-l)vO,解得选择的必要不充分条件

的范围，应该大于0<。<1包含的范围，显然只有C项满足.故选C.

因为包<2<〃,所以]彳，

13.B解2>功,即*8=*>0,即(I+力微>0,因为8>0,所以得XV二或工>0;解即

X工<a,xxxbx

}“二W^vO,即(1-ai)x〈0,因为。>0,所以得x<0或工吗

综上丁竦或耳

故选B.

14.BC因为不等式ax2+hx+c>0的解集为卜假VxV1},所以，和1是方程ax2+bx+c=O的两个根，由根与系数

的关系可得J解得《=3c力=・4。3<0),故A错误,B正确;a+Z?=・c>0.故C正确;不等式cr+bx+a>0变

F=^xl,

\a3

为cf-4cx+3c>0=』-4x+3<0,解得{川々<3},故D错误.故选BC.

15.解(1)因为不等式ar-3A+6>4的解集为{小<1,或不>力}，所以x)=l与xi=b是方程加-3戈+2=0的两个实数

根方>1且〃>().

1+b=

由根与系数的关系，得1

1x8=

a，

⑵由⑴知不等式加-3。+/川+和<()可化为『-(2+c)x+2cy0,即a-2)(x-c)<0.

当02时,不等式a-2)(x-c)<0的解集为{x[2<x<c};

当c<2时,不等式(x2)(xc)<0的解集为｛x|c<xv2);