常用逻辑用语（知识清单+5典例+5易错辨析+分层训练）原卷版

第02讲常用逻辑用语

（知识清单+5典例精讲+5易错辨析+分层训练）

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近3年考查情况题型分值

充分条件与必要条件的判断单项选择题5

充分条件与必要条件的推理单项选择题5

全称量词命题的否定单项选择题5

全称/存在量词命题的否定及真假判断单项选择题5

命题直假判断单项选择题5

存在量词命题的真假判断单项选择题5

充分条件与必要条件、命题真假判断单项选择题5

【知识点01】充分条件、必要条件与充要条件的概念

若则〃是〃的充分条件,〃是〃的必要条件

〃是q的充分不必要条件且

〃是g的必要不充分条件p#q且q=p

〃是夕的充要条件

〃是q的既不充分也不必要条件p#q旦q#p

【例1】已知P：X>3,q-.x>2,判断P是q的什么条件，并说明理由。

【知识点02】全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“旦”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.

【例2】判断下列语句中，哪些使用了全称量词，哪些使用了存在量词，并写出对应的量词符号：

(1)所有的实数都有平方根；(2)存在一个整数%,使得2%+1=5。

【知识点03】全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,〃(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记PxGM,p(x)MEM,p(x)

否定Q)V-WM,(x)

【例3】判断下列语句中，哪些使用了全称量词，哪些使用了存在量词，并写出对应的量词符号：

(D所有的实数都有平方根；(2)存在一个整数勺，使得2q+1=5。

0k典例精第

【题型一】充分条件、必要条件、充要条件的判断

【例1】（2023•新课标I卷•高考真题）记S“为数列｛（｝的前〃项和，设甲：｛可｝为等差数列；乙：｛9｝为等差数

列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【例2】（2026•山东济南•二模）已知为非零向量,则“Z+万与（工共线”是“Z与否共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【例3】（2026•四川遂宁•二模）设且“〃工0,则是，，必＜。”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1］（2026•河北沧州・二模）已知直线4：x+（67+l）y-l-f/=O,直线4：（f/+l）x-（2r/-l）y+«-l=0,则

“4=-4”是“4〃仆的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2】（2026•新疆乌鲁木齐•三模）已知a,〃,ceR,则（）

A.“八人”是A从，，的充分条件

B.是“是＞一”的必要条件

C.是“呢2＞反2”的充分条件

D.“心〃”是""2＞仇.2"的必要条件

【变式3]（多选）（2025・四川成都•模拟预测）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，|S|表示有限集S中的元

素个数.设A,8都为有限集，则（）

A.ADB=0的充要条件是|AU8=|A|+|8|B.8的必要条件是IA国例

C.的充分条件是|A凶例D.A=8的充要条件是IAR例

【题型二】全称量词命题与存在量词命题的否定

【例4】（2026•吉林•三模）命题“VxwR,丁_2工+6>0''的否定是（）

A.VxeR.x2-2x+6<0B.VxeR,x2-2x+6<0

C.3xGR,x2-2x+6>0D.3xeR,x2-2x+6<0

【例5】（多选）（2026•安徽淮北•模拟预测）下列说法正确的有（）

A.命题“力>0,c-x+1”的否定是“3x〉0,er<x+lM

B.函数/（工）=履+21-6的零点所在的区间是（2,3）

C.已知lan，=2,则一--------=4

sin。一cos。

D.函数），=tarn•的最小正周期为2万

【例6】（2026•山西吕梁•三模）若命题P：VxeR,x2+1>0,则r，为.

【变式1]（2026•重庆渝中•三模）命题“3XGN，V<+4GN”的否定为（）

A.yx出N,x/W+4eNB.

C・史N,&+4/ND.Vx€N,Jx2+4gN

【变式2】（2024.山东潍坊•二模）已知命题P：3xe[-l,l],丁>。，则力为

【变式3】（2024.甘肃武威・一模）命题“玉«1,4],使於2+12>0成立”的否定命题是.

【题型三】充分条件、必要条件的含参问题

【例7】（2026・重庆•模拟预测）已知P：9-1<0,4：x>ni.若P是^的既不充分又不必要条件，则实数加的取

值范围是（）

A.（—1,1）B.[-lj]C.（-1,+^）D.[—l,+oo）

【例8】（多选）（2025・贵州安顺・模拟预测）已知集合A=H/},8={WW4},若，，.针是“XGZT的充分条

件，则实数。的取值可以是（）

A.1R.72C.2D.4

【例9】（2026•云南怒江•模拟预测）己知〃>0,使得不等式4成立的一个充分不必要条件是-2GK4,则

x-m

加的取值范围是.

【变式1]（2025•陕西西安・模拟预测）若“二>0”是的必要不充分条件，则实数。的取值范围是（）

x+\

A.（4,+oo）B.C.（f-1]D.[-1,4）

【变式2】（多选）（2024.海南省直辖县级单位.模拟预测）已知集合4={木w3},集合哈{#《〃7+1},能使

4。8=八成立的充分不必要条件有（）

A.m>（）B.m>1C.ni>3D.m>4

【变式3】（2025・河南•模拟预测）已知〃[2-纵悔7?夕:月-x0-m<（〃〉）,若9是P的充分不必要条件，

则实数〃?的取值范围是.

【题型四】全称量词命题与存在量词命题的真假判断

【例10】（2025•陕西榆林•一模）已知命题QVxeR,|x+l|>l；命题/天则（）

A.P和4都是真命题B.f和4都是真命题

C.〃和F都是直命题D.3和r都是真命题

【例11】（2025・湖北黄冈•一模）已知命题p：Vx«0,+8）,ei>x,则（）

A.P是假命题，-!〃：Hr£（0,+8）,e”x

B.P是假命题，一炉Hr«0,+⑹,e'<x

C.P是真命题，「〃：主足（0,+8）,e*Kx

D.P是真命题，-n/7：zlxe（0,+«?）,ev<x

【例12】（多选）（2024•云南楚雄•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A.VxeR,x+->2B.VxeR,，

x，J厂+1

C.ireR,ln(|x|+l)=()D.HreR,x2+jr+I<0

【变式1】（2025•四川•模拟预测）已知命题p：VXGR,sinx<x,命题q：3Lr>0,x3+x=0,则（）

A.p和q都是真命题B.和q都是真命题

c.p和r都是真命题D.r7和r都是真命题

【变式2】（2024.福建泉州.模拟预测）函数y=cosx在上,川的最大值为〃?，在［2/3］的最大值为〃，则以下命题为

假命题的是（）

A.3z>0»〃?<0且〃<0B.3/>0»〃?>0且〃>0

C.3/>0♦〃2>0且D.3/>0»〃?<0且〃>。

【变式3】（多选）（2026•河南南阳•模拟预测）下列结论正确的有（）

A.VxeR,x2+4>2x

B.43xeR,|x-”+l<0”是假命题

C.”有理数的平方是有理数”是存在量词命题

D.“VxeR,x+4/之0”的否定是“Dx任R,x+4/v。”

【题型五】简单逻辑联结词的应用

【例13］（2024.山东.二模）下列命题是真命题的是（）

A.5>2且7>8B.3>4或3<4

C.9<7D.方程丁-3*+4=0有实根

【例14】（2024・山东•二模）己知命题〃：若x是自然数，则x是整数，则是（）.

A.若］不是自然数，则x不是整数B.若x是自然数，则x不是整数

C.若x是整数，则x是自然数D.若%不是整数，则x不是自然数

【例15】（2025・甘肃白银•模拟预测）已知〃:是“/<］，，的必要不充分条件，g:i是虚数单位，3/7GN,

（l+i）n=4则（）

A.P和学都是真命题B.~P和4都是真命题

C.P和r都是真命题D.力和F都是真命题

【变式1］（2024.全国•模拟预测）己知命题〃:大>0,lar>-x；命题4：若sinx>2cosx,则tanv>2,则下列命

题正确的是（）

A.aB.rzq

C.-pAfD.

【变式2］（2024.全国.模拟预测）已知命题p：3Lr>0,ln.r>-x；命题q：若sinx>2cosx,则tanx>2.则下列命题

正确的是（）

A.3"B.▼△夕C.-pA-tyD.〃八F

【变式3】（2024.宁夏银川•三模）已知命题p：关于x的方程W一行+4=0有实根；命题/关于x的函数

y=log3（2f+or+3）在［3,y）上单调递增，若“p或q”是真命题，"〃且是假命题，则实数。的取值范围是.

◎方法技巧

【易错辨析（避坑指南）01】混淆“否命题”与“命题的否定”

【例1】写出命题“若不>2,则/>4”的否命题和命题的否定，并判断真假。

【易错辨析（避坑指南）02】全称/存在量词命题否定时，遗漏量词互变

【例2】写出命题"xWR./+%+1>0，，的否定，并判断真假（纠正常见错误）。

【易错辨析（避坑指南）03】判断充分/必要条件时，忽略端点值取舍

【例3】已知p:%N2,q:x>2t判断p是q的什么条件（纠正常见错误）。

【易错辨析（避坑指南）04】含参问题中，端点值漏验或错验

【例4】已知p:%Wa,Q：%<3,若p是q的必要不充分条件，求实数Q的取值范围（纠正常见错误）。

【易错辨析（避坑指南）05］混淆“且""或”命题的真假判断规则

【例5】已知命题p:3>2（真命题），q:3=2（假命题），判断pAq和pVq的真假（纠正常见错误）。

会分层加练

【基础过关】（共8题）

一、单选题

1.（2024.新课标n卷•高考真题）已知命题P：VxeR,|x+l|>l；命题/3x>0,V=x，则（）

A.〃和q都是真命题B.-iP和q都是真命题

C.〃和F都是真命题D.力和"都是真命题

2.（2025♦四川德阳•三模）已知命题p：VxZ（）,x+N〉（）；命题q:hWR,X2＞2，则（）

A.，和4均为真命题B.力和^均为真命题

C.P和F均为真命题D.f和F均为真命题

3.（2024♦四川成都•模拟预测）设命题〃:土〃eR,使〃x）=（"L1）/'田是基函数，且在（O,H）上单调递减；命题

/Vxe（2,y）,2、＞f,则下列命题为真的是（）

A./?A（-^）B.（r?）A夕C.〃八“D.（r，）”

4.（2024.全国甲卷•高考真题）设向量值=（x+l,x）,6=（x,2）,则（）

A."％=-3”是“£_L尸的必要条件B."x=l+6”是“Z/历”的必要条件

C.“x=0”是的充分条件D.“x=-1+G”是。/4”的充分条件

二、多选题

5.（2025•河南•三模）若x,yeR,则“丁＜丁”的一个充分不必要条件是（）

A.xvyB.lg（）T）＞0

三、填空题

2

6.（2025・辽宁・模拟预测）已知命题PJV.+1,丁——。＞0、'的否定为真命题，则。的取值范围为.

x

7.（2025・安徽芜湖•模拟预测）已知。=（内,,），B=（七,%）都是非零向量，定义新运算

。。囚二年W十%乂8+4学+用^^^则方^万^了是均/爪讷条件（填：充分不必要，必要不充分，充要，既

不充分也不必要）

四、解答题

8.（2024•河南•模拟预测）设函数），=〃42+〃、+1,awR且。工0,证明：对于VxwR,+°2。+120的充要条

件是0<忖£2.

【拔高选练】（共6题）

一、单选题

1.（2026•安徽马鞍山•二模）已知直线加，〃与平面。，夕，九则的一个充分条件是（）

A.Awla,mX.fiB.al/,PLy

C.m10,muaD.af］n=〃，/〃ua,m±n

2.（2026・广西南宁•三模）下列命题为真命题的是（）

A.命题〃:VxeR,/>0,则命题〃的否定是：V.reR,x2<0

B.是”;<1”的充分不必要条件

C.方程F-4x+a=。的两根都大于1的充要条件是1〈。三4

D.0<&<4是关于x的不等式kx2-kx+\〉0对一切实数x恒成立的充要条件

二、多选题

3.（2025•河南驻马店•模拟预测）下列命题正确的是（）

A."Bx>0/nx>0”的否定为“玉•>0,hix<0"

B."/>］，，是，”>］，，的必要条件

C.若log041og/=2,则匕=2

D.VaGR,sin（x+6r）?tsiarsina4-cosACOs«

三、填空题

4.（2026•青海西宁•二模）已知命题p:V.ieR,aV-3x之-5,若〃为真命题，则〃的取值范围为.

5.（2026•江苏扬州•模拟预测）若“*6（0,兀）,如2]-〃?而不＜0”是假命题，则〃?的取值范围为.

四、解答题

6.（2024•四川遂宁•模拟预测）已知集合4={9+1八42〃+1},函数y=log3（f-3*-10）的定义域为反

（1）若集合4区=右，求集合C：

⑵在（1）条件下，若。=3,求人UC；

⑶在（1）条件下，若“xwA”是“xcC”充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【错题复