专项突破（五）第1节 直线与圆

专题突破

专题五解析几何

第1讲直线与圆

—探究真题明确方向■

1.（2025•天津，T12）已知h片）叶6=0与x轴交于点A,与y轴交于点8,与（X+1）2+（），・3）2=/。＞0）交于。，。两

点，\AB\=3\CD\,则尸.

2.（2024•全国甲卷，理TI2）已知〃是mc的等差中项，直线办+与，+c=0与圆产+）14），・1二0交于A,8两点，

则汝用的最小值为（）

A.lB.2C.4D.2V5

3.（2023・新课标II卷，T15）已知直线长〃“+1=0与OC：（片1）2+9=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积

为黑的，〃的一个值为.

4.（2023・新课标【卷，T6）过点（0,-2）与圆f+），2_4%_i=o相切的两条直线的夹角为则sina等于（）

A.lB.逗C.逗D.它

444

5.（2025•全国I卷，T7）已知圆一+①^六。*。）上到直线广氏+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取

值范围是（）

A.（0,1）B.（l,3）

C.（3,+8）D.（0,+8）

6.（多选）（2021.新高考全国I卷，T11）已知点P在圆（x-5尸+（＞5）2=16上，点A（4,0）,B（0,2）,贝"）

A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2

C.当/巴区最小时.引阳二3&D.当最大时.仍用二3加

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为

5~6分.

考查方向：

一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解以及几何性质

的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或范围，山弦长、

半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和公共弦等相关问

题.

1.答案2

解析由题意得直线/i：x-y+6=0与x轴交于A(-6,0),与y轴交于B(0,6),

所以|A8|=，62+62=6企,则|CZ)|=2&,

圆(x+l)2+(y-3)2=，的半径为r,圆心(-1,3)到直线/|：心丁+6=0的距离为仁匕与署匚或，故

\CD\=2y/r2-d2=2r2-(V2)2=2V2,

解得『2(负值舍去).

2.答案C

解析因为〃是a,c的等差中项,

所以2b=a+ctc=2b-a,

代入直线方程ax+by+c=0得ax+hy-2b-a=0,

即a(x-1)+b(>H-2)=0,

…=。，得x=1,

令

y+2=0,丁=-2

故直线恒过(1,-2),设P(l,-2),

圆化为标准方程得f+(y+2产=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，如图,

由图可知，当PC_LA8时，H8|最小,

又|PC|=1,|AC|=V5,

此时|A8|二2|AP|二2jMQ2-|PC|2

=2V5^1=4.

3.答案2(2,-2,一(中任意一个皆可以)

解析设直线x-〃7.v+l=0为直线/,点C到直线/的距离为d,由弦长公式得|A8|=2x/4—溟,

所以SdABC=^XdX2叱可士,

解得上华或心手，

又必g+4_2

Vl+m2Vl+m2

”,i、j24、行122vM

所以新尹行或而宗二三，

解得加=±号或，片±2.

4.答案B

解析如图，设4(0,・2),两切点分别为8,C,

由f+V-4x-l=0得(42)2+)2=5,所以圆心坐标为(2,0),半径尸、后，

所以周心到40,・2)的距离为J(2-0尸+(0+2)2=2&,

由于国心与A(0,-2)的连线平分NBAC,

”.2.ABACrV5V10

丹T以sin----=--=—；==—»

22\/22724

所以cosN3AC=l-2sin2名蛆=上<0,

24

所以N84C为钝角，且N94C+a=7：,

所以sina=sinZBAC=y/l—cos2z.BAC=^-.

4

5.答案B

解析由题意，在圆《+。斗2)2=/(「>0)中，圆心为E(0,-2),半径为r,

•・•圆心£(o,-2)到直线产岳十2的距离为y善3竺a+2£,

J(V3)2+(-l)2

故由图可知,

当r=l时，

圆/+()叶2)2=，(/>0)上有且仅有1个点(A点)到直线)=V5X+2的距离等于1；

当尸3时，

圆f+(.y+2户户(r>0)上有且仅有3个点(B,C,D点)到直线广岳+2的距离等于1,

则当r的取值范围为(1,3)时，

圆/十()，+2尸=，(/>0)上有且仅有2个点到直线广岳+2的距离等于I.

6.答案ACD

解析设圆(x-5)2+(,y-5)2=l6的圆心为颇5,5),由题易知直线AA的方程为：+勺，即x+2.y-4=0,则圆心M

到直线AB的距离4罗噫X,所以直线A3与圆M相离，所以点P到直线他的距离的最大值为

4+d=4瑞,4瑞<5+肾0,故A正确.

易知点Q到直线A8的距离的最小值为44*4看4V栏-4=1,故B不正确.

过点B作圆M的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接MB,MN,M。，则当NP8A最小时，点

P与N重合,|P8|二J|MB『一|MN|2=J52+(5-21一42=3企,当NP84最大时，点P与。重合，

|PB|=3V2,故C,D都正确.

考点一直线、圆的方程

例1(1)(多选汴列说法正确的是()

A.已知直线x+y-a=0与直线3xq+3=O平行，则它们之间的距离是企

B.%=-1”是“直线。24)，+1=()与直线上"・2=()互相垂直”的充要条件

C.当点尸(3,2)到直线〃优-尹1-2*0的距离最大时，〃7的值为-1

D.已知直线/过定点P(l,0),且与以A(2,-3),8(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线/的斜率左的

取值范围是(-8,・3]日假，+oo)

答案ACD

解析对于A,直线x+y/=0与直线3年纱+3=0平行，贝41X(-63=0,解得。=-3,

直线3x+3y+3=O,即x+y+]=0,

则直线x+.y+3=0与直线x+.y+l=0的距离为^^^二无，选项A正确；

对于B,由两直线互相垂直得，/X1+(-1)X(-a)=0,解得。=-1或a=0,可知“〃=-1”是两直线垂直的充分

不必要条件，选项B错误；

对于C,将直线方程变形为根(42)+1-)=0,

Ax-2=0,(x=2,

由《得.

1-y=0,ly=1，

则直线〃优->1-2"/0过定点Q(2,1),斜率为〃?，

当直线〃七y+1-2加=0与PQ垂直时，点P(3,2)到直线〃小)，+1-2〃『0的距离最大,

因为刎2=y=1,所以〃?=-1,选项C正确；

对于D,如图，攵产产—二3,

N—1

,-2-01

k^=~=^

由图可知，当攵2机或kW-3时，直线/与线段A8有交点，故选顼D正确.

(2)(多选)(2025・咸阳模拟)已知圆。的方程为1+)，2-8.什12=0.点知。0，州)是圆C上任意一点，O为坐标

原点，则下列结论正确的是()

A.EIC的半径为2

B.满足|OM=5.5的点M有两个

C.xo+2yo的最大值为4+2通

D.若点P在x轴上，则使|OM|二2|PM|恒成立的点。有两个

答案ABC

解析对于A,圆的方程可化为(*4)2+)，2=4,所以圆心Q4,0),半径为2,故A正确；

对于B,由于|OC|=4,所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4+2=6,

最小距离是4-2=2,因此满足|OM=5.5的点M有两个，故B正确；

对于C,令xo+2yo="则xo=/-2yo,所以泗)，

将点”(/-2泗，%)代入圆。的方程并整理，

得5yo+(16-4r)yo+(/2-8r+12)=0,

依题意有J=(16-402-20(^-8^12)>0,即於-8b4近0,

解得4-2遥WfW4+2\/S,

因此.6+2州的最大值为4+2遥，故C正确；

对于D,不妨设P(m0),由于|OM|二2|PM|,

所以、丘<+3=2j(a-a)2+3,

整理得用端部+殍=0.

囚为点Af(xo,和)在圆C上，

所以XQ+yo-8xo+12=0,

则管一81o+(12-9)=0,

因为即为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，

竽一8=0,

所以4a2

12--=0,

3

解得“3,所以符合要求的点尸是唯一的，故D错误.

［规律方法］(1)解决直线方程问题的三个注意点

①利用A出2-48尸。后，要注意代人检脸，排除两条直线重合的可能性.

②要注意直线方程每种形式的局限性.

③讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

(2)解决圆的方程问题一般有两种方法

①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练1(1)(多选)已知直线/：)，=H+2h3,则下列说法正旃的是()

A.直线/恒过定点(-2,-3)

B.若直线/在x轴上的截距为1,则％=1

C.若直线，与直线2x+y-l=0垂直，则k=-^

D.若攵2声，则直线/的倾斜角的取值范围为椁，ir)

答案AB

解析直线/：y=kx+2k-3=k(x+2)-3,令x+2=(),即x=-2,得)=-3,

所以直线/恒过定点(-2,-3),故A正确；

若直线/在工轴上的截距为1,则直线/过点(1,0),代入直线/的方程得0=k+2h3,

解得上1,故B正确；

若直线/与直线2A垂直，则女X(-2)=-l,解得&=：,故C错误；

设直线/的倾斜角为仇则:tan夕

又。£[0,兀)，所以由正切函数的单调性可知。*故D错误.

(2)(2025•江西四月适应性联考)与直线严冬;和直线产岳都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距

离为鱼的圆的方程为.

答案81)2+81)2二学

解析设圆心坐标为(。，/?)(«>0,Z?>0),

由于所求圆与直线产号:和直线产机丫都相切，

XL|V3fl—3fe|_|\/3a-b|

年际二行FI'

化简得小=〃，而〃>0,比>0,则

又圆心到原点的距离为企，即〃+/=2,

解得片岳即圆心坐标为(1,1),

则半径为!^二第，

V3+12

故所求圆的方程为(X-1)2+()，-1)2=与叵.

考点二直线、圆的位置关系

考向1直线与圆的位置关系

例2(多选)(2025•石家庄模拟)已知直线/：x+a.y-3=0与圆C：x2+y2-8^+6yH-16=0,则下列说法正确的是

()

A.当a=2时，直线/与圆C相交

B.若直线/与圆C相切，则斫：

C.圆C上一点?到直线/的最大距离为VT5+3

D.若圆。上恰好有三个点到直线/的距离为2,则a三

4

答案AC

解析当a=2时，直线/；x+2>-3=0,圆。的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=9,

所以周心C(4,-3),半径L3,

则圆心。到直线/的距离占此笔芋L石<3,

Vl2+22

所以直线/与圆C相交，故A正确；

因为直线/与圆C相切，所以圆心C到直线/的距离心溶段=3,解得斫故B错误；

vl+az3

因为直线/恒过定点(3,0),

所以圆心C到直线/的最大距离为J(3-4尸+(0+3)2=同,

则圆C上一点夕到直线/的最大距离为g+r=JIU+3,故C正确；

因为周C上恰好有三个点到直线/的距离为2,

所以圆心。到直线/的距离心写写L1,解得。=0或〃芸，故D错误.

vl+a24

考向2圆与圆的位置关系

例3(多选)(2025・铜仁模拟)已知圆G：/+()42)2=4,圆C2：x2+/-4y+i/=0,则下列说法正确的是

()

A.a<4

B.若〃=0,则圆G与圆C2有且仅有1个公共点

C.若圆G与圆C2的公共弦长为4,则。=-16

D.当a=-32时，若动圆M与圆G外切，同时与圆。2内切，贝J点M的轨迹方程为[+[=1

416

答案ABC

解析对于圆。2：«+卢孙+折。，

转化为标准方程*+()、2产=4-a,

因为半径为V4-a>0,所以〃<4,A正确；

若a=0,圆G；2)2=4,

圆心G(0,・2),半径门=2,

圆C1\AT+(y-2)2=4,

圆心C2(0,2),半径/2=2,

两圆心间的距离|。1。21=|-2—2|=4=n+r2，则两圆外切，

所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；

若圆G与圆。2的公共弦长为4,因为圆G的直径为4,

所以公共弦为圆G的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆G的圆心(0,-2),

由『：+(;+2)2=4,两式相减可得8皿，

W+y2-4y+Q=0,

将(0,-2)代入8y-a=0得«=-16,C正确；

当。=32时，圆Q：f+G，-2六36,

圆心C2(0,2),半径相=6,

圆G：f+(y+2)2=4,圆心G(0,-2),半径八二2.

设动图M的半径为R,因为动圆M与圆G外切，同时与圆Cz内切，

则|MC/=R+2,|MC2|=6-/e,

所以|MGI+|MC2l=8>|CiQI=4,

根据椭圆的定义可知点M的轨迹是以G(0,-2),C2(0,2)为焦点的椭圆，且2a=8,2c=4,

可得<7=4,c=2,^2=«2-<?=16-4=12,

故其轨迹方程为与21。孚-4),D错误.

[规律方法](1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径乙圆心到直线的距离d,及半弦长

构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.

跟踪演练2(1)(2025・湖南名校联合体模拟)已知直线/：尸匕也<0)与圆C：f+)，2-2x+4y+l=0相交于M,

N两点，其中点C为圆心，若(X/MCN含,则攵的取值范围为()

«5

廿。)B.[-^0|

C•(一°°，笥D.(-8,_3]

答案B

解析f+产2x+4)，+1=0化为1产+Gy2)2=4,

所以周心。(1,-2),半径为2.

OvNMCNW空u>l<d<2,

3

其中d为圆心C到直线/的距离.

因为啜詈

所以々瑞<2,

因为K0,所以弓WkvO.

4

(2)已如圆C：(x-4)2+()，-3尸=1和两点A(-〃?，0),B(m,0)(心0).若圆。上存在点P,使得N4P8=90。，则

m的最人值为.

答案6

解析以A8为直径的圆。的方程为f+y2f？，圆心为原点，半径为r尸〃7,

圆C(x-4)2+G，-3)2=l的圆心为(4,3),半径为「2=1.

要使国。上存在点P,使得NAP8=90。，则圆。与圆C有公共点，

所以IrrRWIOCIWS+rd，

即11WV42+32W|/〃+11,

pm-l|<5,

所以(|m+l|N5,解得4W〃?W6,

(m>0,

所以m的最大值为6.

考点三隐圆

例4(1)已知点4(・3,0),8(3,0),若圆(x-a+1)2+()F-2尸=1上存在点M满足而彳而二-5,则实数。的

值不可能为()

A.2B.lC.OD.-2

答案A

解析设M(x,y),因为拓5•丽=5,拓?=(・34，・y),丽=(3/，))，

所以为?•丽=(-3・x)(3-x)+(-)，)2=f-9+)，2=-5,即W+9=4,

所以点M的轨迹是圆，方程为f+/=4.

由题意知，圆/+)，2=4与圆。,什|)2+6，々2)2=1有公共点，

所以2-1-1)2+(a+2)2W2+1,解得-2WaWl,故A不满足题意.

(2)(多选)已知动点例与两个定点。(0,0),&3,0)的距离的比为j动点M的轨迹为曲线C,贝ij()

A.动点M的轨迹方程为(x+1-+)2=4

B.直线x-y+2=0与曲线C交于4,B两点，则|力8|的长为手

C.曲线C与曲线D：(X-1)2+/=4的公切线有2条

D.已知点以-I,1),点N为曲线C上任意一点，则2|NOHN£|的最大值为旧

答案ACD

解析设“8外由繇轲得

化简得f+声2右3=0,即。+1)2+/=4.

故动点M的轨迹方程为Q+l)2+y2=4,A正确；

(x+l>+)2=4的圆心为(-1,0),半径为尸2,

所以圆心到直线X-)，+2=0的距离启1二浮考，

所以IA81=2\/r2—d2=2J4—1=V14，B错误；

曲线。的圆心为(1,0),半径为2,

因为丙圆心间的距离为J(1++02=2,大于半径差小于半径和，所以两个圆是相交关系，所以公切线

有2条，C正确；

由题意得动点N与点。(0,0),点P(3,0)的距离的比为：，所以2|NO|-|NE|=|NP|-|NE|W|PE|=g,D正

确.

［规律方法］发现隐圆的主要方法

(1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值).

(2)由两定点A,B,动点P满足方•丽力(2是常数)，求出点尸的轨迹方程确定圆.

(3)由两定点A,B,动点P满足|/MF+|p8|2是定值确定圆.

(4)由两定点A,B,动点P满足手上7(2>()且2W1)确定圆(阿波罗尼斯圆).

\PB\

跟踪演练3(多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-l,0),B(l,0),C(0,7),动点P满足

\PA\=42\PB\,则()

A.点P的轨迹方程为(r3)2+)，2=8

B.当△PA8面积最大时，『川二2遍

C.当/P八8最大时，|PA|=2遍

D.点。到直线AC距离的最小值为塔

答案ABD

解析设P(x,y),

由伊4|二夜|P8|得|PA|2=2|P6|2,

即01尸+尸=2©-1)2+力,

化简得(x-3)2+y2=8,

即点P的轨迹方程为(工-3尸+./=8,A正确;

•・•直线A8过圆(x-3)2+y=8的圆心，

・••点P到直线A8的距离的最大值为圆(.3)2+)，2=8的半径八即为2或，

V|AB|=2,

••.△PA8的面积最大为^X2X2V2=2V2,

此时P(3,±2夜),

A|PA|=J(3+1)2+(2V2)2=2V6,B正确；

当/户A8最大时，

则PA为圆(x-3尸+9=8的切线，

/.|P/\|=7(3+I)2-8=272,C错误；

直线AC的方程为lx-y+l=0,

则圆心(3,0)到直线AC的距离为哼等L增，

・••点P到直线AC距离的最小值为竽-2&二臂，D正确.

专题强化练

［分值：85分］

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.(2025•乌鲁木齐适应性检测)直线/：2r+3y-l=()的一个方向向量为()

A.(3,2)B.(3,-2)

C.(2,3)D.(2,-3)

答案B

解析由直线方程为2A，+3y-l=0,则(3,-2)是直线的一个方向向量.

2.(2025・新余模拟)已知直线(〃i+l)x+3.y+l=0与直线4x+〃少+1=0平行，则m的值为()

A.3B.-4

C.3或-4D.3或4

答案B

解析由题意得m(m+1)-12=m2+m-\2=(/7/+4)(/?J-3)=0,可得m=-4或m=3,

当"k-4时，直线3x-3y-l=0与直线4x-4y+l=0平行，符合题意；

当〃尸3时，直线4x+3y+l=0与直线4x+3y+l=0重合，不符合题意；

m=-4.

3.(2025•绍兴模拟)直线x=2被圆(41尸+()，-2)2=5截得的弦长为()

A.2B.4C.2V3D.2V5

答案B

解析圆(x-1尸+(y-2尸=5的圆心为(I,2),半径

又圆心(1,2)到直线m2的距离d=|2

所以弦长为27r2-d?=2J(6/_#=4.

4.(2025・佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C耳+3二1的周长为()

43

A.12B.14C.16D.20

答案D

解析曲线C：号畔=1等价于

43

>0,(x>0,

>0,或ly40,

x<0,x<0,

或y>0»或y<0,

v+a-；-J=L

尸0,

其中｛yNO,表示以(4,0)和(0,3)为端点的线段，

、43

其长度为同理可得，其他线段的长度均为5,

所以曲线C：叫”=1的周长为4X5=20.

43

5.(2025・包头模拟)若。+2)2+()，+1产=2,则亨1的最小值为()

A.-lB.OC.lD.2

答案B

解析令P(x,y),又3L"1+1,

XX

令”二丸整理得质-y-l=0,

由题意可得匕得尹整理得炉-1W0,解得-IW&WI.

vi+/cz

所以也±1这2,故也把的最小值为0.

XX

6.(2025・宁波模拟)已知点M(a,0),NQ,3)到同一直线的距离分别为2,3,若这样的直线恰有2条，则a

的取值范围为()

A.(-2,0)B.(-2,6)

C.(0,6)D.(2,6)

答案B

解析以0)为圆心，2为半径的圆为(X-幻2+9=4,

以M2,3)为圆心，3为半径的圆为(x-2y+()，-3尸=9,

若符合题意的直线恰有2条，则上述两圆相交，

而—a)2+9,

所以lv|MN]<5,即l〈J(2-a)2+9v5,

可得1<(2-«)2+9<25,

所以<<2-。<4,解得-2<a<6.

2

7.(2025•安庆模拟)已知点P在圆(x咛)上，4(20),M(l,1),贝畤|P川+|PM|的最小值为()

A.lB.V2C.2V2DA<10

答案B

解析设P(x,y),B(a,0),^PA\=\PB\,

贝岭+2)2+y2=_a)2+y2,

整理得f+)，2一罕计也F=0,

已知点?的轨迹方程展开整理得£+,2-5X+4=0,

(9a+2_

~7~=5，

则4解得用2,所以8(2,0).

----=4,

8

所以扔A|+|PM=|P8|+|PM|^\MB\=7(2-l)24-(0-1)2=V2,

当P在线段BM上时等号成立，所以§H4|+|PM的最小值为鱼.

8.(2025-沈阳模拟)函数凡1)=圣+收一8x+25(0&W4)的最小值为()

A.4B.—C.—D.5

32

答案C

解析因为危)哗叶"％—4)2+(3—0)2,

当产。时，40)=5；

当0aW4时，如图所示.

设。(工，3),C(0,3),A(4,0),NPCB=45。,PB上CB于点、B,

则|x)=|PC|sinNPCB+|P4|=|PB|+|P川，

由图可知，|「8|十|产川的最小值为点A到直线8c的距离d.

易知直线8c的方程为y=x+3,

即彳-产3=0,

所以人焉枭写<5,

故7U)的最小值为雪.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.(2025・潍坊模拟)已知点P(2,2),圆C：^+/=18,则()

A.点P在圆C内

B.点P与圆C上的点之间的最大距离为6或

C.以点尸为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0

D.过点P的直线被圆C截得弦长的最小值为VT5

答案AC

解析对于A,因为22+22=8<18,所以点P在圆C内，故A正确;

对于B,由|PC|f/22+22=29,圆C的半径L3注,

知点P与圆。上的点之间的最大距离为2/+3代=5或，故B错误；

对于C,由kpc^-^=1,

可知以点P为中点的弦所在直线的斜率为4-1,故以点P为中点的弦所在直线的方程为)，-2二-(『2),即

A*+A,-4=0,故C正确；

对于D,由圆的性质可知，当PC与过点P的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为

2y]r2-|PC|2=2N/T8^8=2V10,故D错误.

10.下列说法错误的是()

A.%=-1"是"直线x-qy+3=0与直线a”+l=0互相垂直”的充要条件

B.直线xcos”+3=0的倾斜角9的取值范围是[。，*肾，n)

C.若网G：/+96+4)叶12=()与圆G：f+产1442下访()有且只有一个公共点，则〃二34

D.若直线/过点M(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为1+产1

答案ACD

解析对于A,当〃=-1时，直线x+)，+3=0与直线*)计1=0互相平行，

即“片-1”不是“直线*少+3=0与直线仪-)，+1=0互相垂直”的充要条件，所以A错误；

对于B,由直线xcosa-)，+3=0的倾斜角。满足lan0=cos,1],

因为昨io,兀)，可得owew：或日<*加，所以ew[o,*百，n),所以B正确；

对于C,圆G：f+V-SrHy+lZR的圆心为C(3,-2),半径『1,

圆G：?+/-14x-2y+a=0的圆心为C20,1),半径/?=V50-a(«<50),

因为丙圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则J(3-7产+(-2—1)2=5、1+/50—a或J(3-78+(-2—1)2=5、|1750-a|,

解得a=34或a=14,所以C错误；

对于D,由直线/过点M(・2,3),

当直线/在两坐标轴上的截距相等，且不为0时，设直线/的方程为巴d=l,

aa

可得彳+?=1,解得。=1,此时直线方程为x+y=l；

当直线/过原点时，满足在两坐标抽上的截距相等.此时直线/的方程为产-会,所以D错误.

11.(2025・渭南质检)设直线系M：xcos6>+()，-2)sine=3(0W*22，则卜.列四个命题为真命题的是()

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在M中的任一条直线上

C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

D.对于任意整数〃(〃23),存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上

答案BD

x=3cos。，

解析对于A,令

y=2+3sin8,

3

消去。可得f+(y-2尸=9,圆心(0,2)到直线系M中每条直线的距离公

Vcos20+sin20

故直线系M表示圆f+()，・2产=9的切线的集合，故A错误;

对于B,对任意仇存在定点(0,2)不在直线系M中的任一条直线上，故B正确;

对于C,直线系M中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边

△43C和等边△AOE,故C错误；

对于D,由于圆f+(y-2)2=9的外切正〃边形(〃23),其所有边均在直线系M中的直线上，故D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.(2025•安徽A10联盟质检)已知圆C：/+)，2-〃止4二0上存在两点关于直线片冲3=0对称，则圆C的半径

为.

答案后

解析因为圆上存在两点关于直线不广3:0对称，所以直线x-)，-3=0过圆心(葭，0),

从而表3=。，解得"1=6,

则圆C的方程为Q-3尸+丁=13,

故圆。的半径为g.

13.(2025•红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知直线/：〃产3(〃>0,〃>0),若直线/被圆/+)"2^-

2y=0所截得的弦长为2鱼，则mn的最大值为.

答案;

4

解析因为圆(%-1猿+()「1尸二2的半役r=y/2,

圆心(1,1),直线/被圆所截得的弦长为2a,

所以圆心(1,1)在直线〃zr+〃产3上，即〃?+〃=3,

又因为加〃W(笠，W，

当且仅当加二〃二日时，等号成立.

所以nin的最大值为;.

4

14.(2025•齐鲁名校联考)已知三个正数外,介，门构成公比为q(夕>1)的等比数列，圆G：(%-

n)2+j2=n2(z=l,2,3),过圆C3上一点P分别作圆G，。2的切线，切点分别为Q，R，若霭+?，贝I]

答案3

解析不妨设门=1,n=q,n=q\

则三个圆心分别为G(l,0),C2G7,0),CKq，0),

根据勾股定理得|PQ|2=|PG|2-1,|P町2=|pQ|2.『,

诉.|PR|2_|PC2|2-Q2_3

加以|PQ|2一|PC1|2一「4'

因为点夕在圆(了一q2)2+y2=$上,

故可设点户(/cos。+/，/sin。)，其中。#九，

则(q2cos6+q2-q)2+(q2sin6)2-q2=3

((?2cos0+<?2-l)2+(q2sin0)2-l4’

茗理得2q3(q-l)(l+cos6)=?

即含g解得疔3.

思维创新,、,、

（每小题6分，共12分）

15.（多选）（2025・新余模拟）数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有。O：f+）?=l与x轴分别交

于4B两点,〜为。。上的动点，以42为直径的。E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转

过一周时，扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”（记作必），则下列说法正确的是（）

A.若/乃48三，则OE与x轴公共点的坐标为（-1,0）和&0）

B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25

C.若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M,则该圆的半径最小为迤弃

D.图乙中M与），轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为由更

4

答案ABD

解析对于A,设OE与x轴交于A,4,连接EV,PB,

•・・4P为。E的直径，・・・/Vr_Lx轴,

由题意可知HB|=2,NPAB=%A|AP|=V3,

6

・・.|AM得・・・。£与x轴公共点的坐标为4-1,0）和A&0）,故A正确;

对于B,设NP48二a9e[o,习，

如图，过E作CQ_Ly轴于点。，是长。E