人教八年级数学下册复习-第十八章 平行四边形（单元重点综合测试）

第十八章平行四边形（单元重点综合测试）

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列命题正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形

D.菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半

2.如图，菱形A8CD中，区尸分别是A3、AC的中点，若所'=3,则菱形A8CQ的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

3.如图，在四边形A8C。中，BD=CD,ZC=70°,AE上RD于点E,则N8AE的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

4.如图，中，过点6作比;J.AC,取48边中点连结OE.若DE=5,AE=8f则做

长为（）

5.如图，在四边形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。.下列说法•不•一•定正确的是（）

A.若AJBD,则YA8CD是菱形B.若AB=BC,则YA8C。是正方形

C.若AC=〃L>,贝IJYANCD是矩形D.若ZANC=90。，贝ljYA〃C£>是矩形

6.如图，A"两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C,然后测出AC4C的中点M,N.若MN

的长为18米，则A4间的距离是（）

A.9米B.18米C.27米D.36米

7.如图，在菱形A8CO中，对角线AC、BO相交于点0,AC=3,DB=4,则点A到8c的距

离为（）

8.剪纸不仅是我国传统艺术，还隐藏了不少数学知识.数学活动课上，小强将一张正方形纸

片沿对角线对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，如图所示，则剪下的三角形展开后得到

的平面图形是（）

D.正方形

9.如图，在矩形A8CO中，对角线AC,8。交于点0,过点。作即/AC交40于点E,友.BC

于点F.已知A5=4,AAOE的面积为5,则DE•的长为（）

A.2B.75C.瓜D.3

10.我们常常在建筑中看到四边形的元素.如图,墙面卜砌出的菱形窗户的边长为1米（边

框宽度忽略不计），其中较小的内角为60。，则该菱形窗户的采光面积为（）平方米

A.4B.且C.1D.且

24

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，RSABC中，Z4CT=90°,。是A8的中点，CO=5,则A3=

12.如图，□45CO的对角线AC,3。相交于点O.请你添加一个适当的条件，使其

成为菱形.

13.如图，矩形A8CO的对角线相交于点O.若AB=2,4400=120。，则8C的长为

14.如图所示，点。是£7A8C£）的对称中心，AD>AB,E,尸是A8边的三等分点；G,H是

4c边的三等分点.若5,邑分别表示以加和滥。”的面积则岳与邑之间的关系是,

15.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉

祥，如图，将边长为女m的正方形A8CQ沿对角线8。方向平移1cm得到正方形A&C77,形成

一个“方胜”图案，则点。，夕之间的距离为.

16.如图，在边长为12的菱形486中，4=60。，连接AC,P为图中任意线段上一点，若A8=2AP,

则3P的长为.

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

17.如图，四边形A8CD中，AB//CD,/为AA上一点，DF与AC交于点E,AE=CE.

⑴求证：四边形人尸。是平行四边形；

⑵若8。=8,ZBAC=ar,ZZX?B=I35°,求AC的长.

18.如图，四边形48C。是矩形，对角线4C,4。相交于点。，班:〃AC交。C的延长线于点

E.

⑴求证：CD=CE.

⑵若NE=60。，求/OOC的度数.

19.如图，在“16C中，。、石分别是A3、AC的中点，BE=2DE,延长。石到点R使得历=盛,

连接b.

⑴求证：四边形4C正是菱形；

⑵若CE=4,46=120。，求菱形8CFE的面积.

20.图①、图②、图③均是4x4的正方形网格，每个小E方形的边长均为1,小正方形的顶点

称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的

顶点均在格点上，不要求写画法（所画图形不全等）.

⑴在图①中，以线段A8为边画平行四边形A8C7）.

⑵在图②中，以线段AB为边画菱形所.

⑶在图③中，以线段AB为边画正方形AAG”.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21.如图，在平行四边形A3CD中，对角线AC,相交于点。，4>//3D,点七是CD的中

点，过点E作E尸〃BD,交BC于点F.

⑴求证：四边形。日书是矩形；

⑵若4>=4,DC=6,求四边形0样8的面积.

22.如图，在中，。是8。的中点，£是4。的中点，过点A作A"〃8C,"与C£的延

长线相交于点F，连接M.

⑴求证；四边形人打刀是平行四边形；

⑵填空：将下列命题填完整，并使命题成立(图中不再添加其它的点和线)

①当初8C满足条件N8AC=90。时，四边形AMD是______形；

②当初8。满足条件时，四边形4B。是正方形.

23.【感知】

(1)如图1,在中，。，七分别是边ABAC的中点.则力E和8。的位置关系为,数

量关系为.

【应用】

（2）如图2,在四边形A3CZ）中，瓦厂分别是边48,4Q的中点，若30=10,8=8,

£尸=3,乙4”£=50。，求N4X7的度数.

【拓展】

（3）如图3,在四边形A8CD中，AC与8。相交于点旦WN分别为AD4C的中点，MN分别

交AC,BD于点、F,G,EF=EG.求证：BD=AC.

五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

24.如图，矩形人8CD中，48=6,40=8,点P在边BC上，且不与点8、C重合，直线心与。C

的延长线交于点心

图1I幻2

⑴如图1,当点P是8C的中点时，求证：AA次出△瓦7>；

⑵将△回沿战线AP折叠得到△AP9，点£落在矩形A8CD的内部，延长交AD于点尸.

①如图1,证明目=">,并求出在（1）条件下质的值；

②如图2,仍咬AE于点，，点G是AE的中点，当/雨=2/4£8时，试探究A8与祐的数量

关系，并说明理由.

25.四边形A8C。为正方形，点E为对角线AC上一点，连接OE.过点E作斯_LOE,交射线

⑴如图1,若点尸在边上，求证：DE=EF；

⑵以OE,所为邻边作矩形QEFG,连接CG.

①如图2,若AB=4,CE=3五,求CG的长度;

②当线段与正方形ABC。一边的夹角是35。时，直接写出NEFC的度数.

第十八章平行四边形（单元重点综合测试）

答案全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列命题正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形

D.菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半

【答案】D

【分析】此题主要考查特殊平行四边形的判定以及菱形的性质，解题的关键是熟知特殊平行

四边形的判定方法；

利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的性质定理及正方形的判定定理分别判断后即

用确定止确的选项.

【详解】A、等腰梯形的对隹线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；

B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；

C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意；

D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意；

故选：D

2.如图，菱形A8C力中，E、尸分别是A8、4c的中点，若EF=3,则菱形A8C。的周长为（）

【答案】A

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得5c=2斯=6,

然后根据菱形的性质即可求解.

【详解】解：•・・△户分别是4RAC的中点,

:.BC=2EF=6,

・・•西边形ABCQ是菱形，

AB=BC=CD=AD=6t

二菱形的周长=4x6=24，

故选：A.

3.如图，在四边形ABC。中，BD=CD,ZC=70°,AE1BD于点E,则一班E的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】D

【分析】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质；

根据等边对等角求出NC=/D8C=70。，得到NCD8=40。，根据平行四边形的对边平行得到

ZABE二NCDB=40。,再根据直角三角形两锐角互余求出NBAE度数.

【详解】解：•・•/»=”，

:.NC=ZDBC=70。，

ZCDB=180°-140°=40°,

,:CD〃AB,

：.ZABE=NCDB=4（）。,

：.AE工BD,

：.ZAEB=900,

・・・ZfiA£=90°-40°=50°.

故选：D.

4.如图，AABC中，过点B作BE1AC,取A8边中点。，连结OE.若DE=5,AE=8,则BE

长为（）

【答案】C

【分析【本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质.先根据题意得出的长，再由勾股定

理求出班:的长即可.

【详解】解；•."■LAC,

.•z钻石是直角三角形，

・・・点。为AB边的中点，DE=5,

..AB=2DE=10,

•.•AE=8,

BE=y/AB2-AE2=VlO2-82=6•

故选：C.

5.如图，在四边形/WC。中，对角线AC,8。相交于点。.下列说法不二军正确的是（）

A.若AC/RD,则YABCD是菱形R.若AB=RC,则YAB。）是正方形

C.若AC=8D,则YA8CZ）是矩形D.若ZABC=90。，则YABCZ）是矩形

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，据此逐项分析即可作答，解

题的关键是明确它们各自的判定方法.

【详解】解：A、当AC/以）时，四边形A8CD是菱形，该说法正确，不合题意；

B、当=时，四边形"8不一定是正方形，该说法不一定正确，符合题意；

C、当AC=Q时，四边形ASCQ是矩形，该说法正确，不合题意；

D、当ZABC=90。时，四边形A8CO是矩形，该说法正确，不合题意；

故选：B.

6.如图，A8两地被池塘隔开，小明先在A8外选一点C,然后测出AC时的中点M,N.若MN

的长为18米，则48间的距离是（）

A

A.9米B.18米C.27米D.36米

【答案】D

【分析】本题主要考查二角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据

点、M,N是AB6c•的中点，可得MN=QA4,由此即可求解.

【详解】解：根据题意，是△/WC的中位线，

：.MN=-AB

2t

/W=2M/V=2xl8=36（米），

故选：D.

7.如图，在菱形A8CO中，对角线AC、BO相交于点0,AC=3,DB=4,则点A到8C的距

离为（）

【答案】C

【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的

长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.先由菱形的性质求得

OA=OC=^AC=^f0B=0D=；BD=2,NBOC=90。,再根据勾股定理求得8C=1,设点A至lj8c

的距离是力，由4。4=卜。8。=、％3,得|力=6,即可得到问题的答案.

【详解】解：，•四边形A8CO是菱形，4C=3,/M=4,

/.C）A=OC=-AC=-,OB=OD=-BD=240C=90。，

222t

BC=>]OB2+OC2=-,

2

设点A到BC的距离是/?,

•/HCJi=^AC-RI）="ABCD，

5,/

二.—h=6,

2

.,_12

故选：c.

8.剪纸不仅是我国传统艺术，还隐藏了不少数学知识.数学活动课上，小强将一张正方形纸

片沿对角线对折再对折,然后沿着图中的虚线剪下,如图所示，则剪下的二角形展开后得到

的平面图形是（）

D.正方形

【答案】B

【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定方法、剪纸问题；熟练掌握矩形、菱形、正

方形的判定方法是解决问题的关键.由矩形、菱形、正方形的判定方法即可得出结论.

【详解】解：由剪法可知，所得四边形的四条边相等，对角线不一定相等，

・・,四边相等的四边形是菱形，

・・・展开后得到的平面图形是菱形；

故选：B.

9.如图，在矩形ABC。中，对角线4c加＞交于点。，过点。作即/人。交A/）于点凡交.BC

于点F.已知AH=4,AAOE的面积为5,则。石的长为（）

A.2B.>/5C.瓜D.3

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题.连

接CE,由题意可得0E为对角线AC的垂直平分线，可得=^=^=5,由三角形

的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案.

【详解】解：连接比，如图所示：

由题意可得，。石为对角线4c的垂直平分线,

=CE，S&B°E=5,

\WACE=2SAA»=10.

\-AE'ICD10,

2

•••A8=4=C£>,

.\AE=5,

..C£=5,

在RtACDE中，由勾股定理得DE=>]CE2-CD1=-42=3，

故选：D.

10.我们常常在建筑中看到四边形的元素.如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边

框宽度忽略不计），其中较小的内角为6（）。，则该菱形窗户的采光面积为（）平方米

A.4B,巫C.1D.立

24

【答案】B

【分析】本题主要考查菱形的性质，以及菱形面积的计算方法，熟练掌握菱形的性质是解题

的关键.画出图形，根据勾股定理求出对角线的值即可求出面积.

【详解】解：••・菱形A8C。，

肛AB=AD=DC=BCS.AO=-AC,BO=-BD,

22

vZ4BC=60°,

.△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=\,

/.AO=-,

2

在Rt/\AOB中BO=JAB?-AO2=立,

2

BO=G

・••一亥菱形窗户的采光面积为=

222

故选B.

4B

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，RSA8C中，ZAC3=90°,。是48的中点，CD=5,则A8=

【答案】10

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题.

【详解】解：•••在心△4★中，ZACT=90°,。是A8的中点，

••・线段。是斜边相上的中线；

XvCD=5,

:.AB=2CD=\O.

故答案为：10.

12.如图，口48。。的对角线AC,8。相交于点。.请你添加一个适当的条件,使其

成为菱形.

【答案】AB=BC,AC.LBD（答案不唯一）.

【详解】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加条件ACL8D；根据邻边相等的

平行四边形是菱形，可添加条件AB=8C.

AC1BD（答案不唯一）

要判断一个平行四边形是菱形，可从邻边相等或对角线互相垂直着手.

13.如图，矩形A3C。的对角线相交于点O.若A8=2,4400=120。，则3c的长为.

【答案】2石

【分析】由矩形的性质可得为等边三角形，则可求得4C的长，再由勾股定理即可求得

5c的长.

【点拨】此题考查了矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等.解答此题的关键在于数形

结合思想的应用.

14.如图所示，点。是立488的对称中心，AD>AB,E,尸是48边的三等分点；G,H是

BC边的三等分点.若加，邑分别表示的F和的。〃的面积则£与邑之间的关系是.

【答案】加二邑

【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得S|=gsv®,s£si再结合

点。是的对称中心可得山8。=SVBCO=%YABCD，即可求解.

【详解】解：连接AC、OB,则AC必过点。，如图所示：

VE,尸是48边的三等分点，

••S|="S\；ABO'

VG,“是BC边的三等分点，

=

,,^2­S^BCO>

•..点。是UABCD的对称中心,

•,\ABO=S'BCO=W“ABCD

S]=S2

故答案为：S'=S]

15.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉

祥，如图，将边长为女m的正方形ABCD沿对角线8。方向平移1cm得到正方形A5C77,形成

一个“方胜”图案，则点力，〃之间的距离为

【答案】(3夜-1即

【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出88是解

题的关键.根据正方形的性质、勾股定理求出8,根据平移的性质求出8斤，计算即可.

【详解】解：・・•四边形A3CQ为边长为3cm的正方形，

RD=J32+32=372(cm),

由平移的性质可知，38=km,

/.H'D=(34i0cm,

故答案为：(3x/2-l)cm.

16.如图，在边长为12的菱形/4CQ中，N3=60。，连接AC,P为图中任意线段上一点，若A8=2AP,

则BP的长为.

【答案】6或6万或65

【分析】由题意外14。=6,如图，分片、鸟、8三种情况求解：当A4=6时，区4=6；AE=6=；8C,

则/8"=90。，由勾股定理得，/巧=府=逋，计算求解即可；当桂=6时，如图，作匹_LAD

于E,由勾股定理得而，计算求解即可.

【详解】解：VAB=2APf

・・・”=6,如图，分月、生A三种情况求解：

当AR=6（bj,6《=6；

,・•菱形ABCD中，Zfi=60°,

•••△ABC是等边三角形，

，:A6=6=^AC,

/他4=9（）。,

22

由勾股定理得，BP2=yjAB-AP2=6x/3；

当然=6时，如图，作跖_1_八£＞于E,

:.N8AE=NA8C=60。，

・・・ZABE=30°,

AAE=^AB=6tER=12,

由勾股定理得的=6打，

%=（噌+族2=时；

综上所述，4P的长为6或66或65；

故答案为：6或或65.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形，勾股定理

等知识.熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形是解题的关键.

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

17.如图，四边形A8CZ）中，AB//CD,F为A3上一点,DF与AC交于点、E,AE=CE.

⑴求证：四边形是平行四边形;

⑵若ec=8,©C=603/DCB=135。,求AC的长.

【答案】(1)见详解

(2)4。的长为半

【分析】(1)证得4JCZ),再由平行四边形的判定即可得出结论；

(2)过点。作以，±力8于点M,证△BCM是等腰直角三角形，得CM=^8c=4加,再由含30。

2

角的直角三角形的性质得AC=2AM,然后由勾股定理得CM=JAC?-AM?;&M=4丘，求

出AM=勺色，即可得出结论.

3

【详解】(1)证明：VAB/7CD,

:ZEAF=NECD,

在△AM和△CEO中，

/EAF=/ECD

•AE=CE,

/AEF=Z.CED

：.LAEF^CED(ASA),

AF=CD,

又・.・AB〃a),

・•・四边形AFCO是平行四边形；

(2)解：如图，过点。作Q#JL仍于点则NCM4=/CM8=90°,

•：AB//CD,

ZB+ZDCB=180°,

Z«=180°-l35o=45°,

・・・△BCM是等腰直角三角形，

：.CM=—5C=—x8=4V2,

22

丁ZaAC=60°,

ZACM=9()0-ZB4C=30°,

AC=2AM,

CM=>JAC2-AM2=yj(2AM)2-AM2=y/3AM=4点，

•Au4显

..AM—------,

3

.\AC=2AM=—

3

即AC的长为华.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定

与性质、勾股定理、平行线的性质以及含30。角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四

边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

18.如图，四边形A8CD是矩形，对角线4C,80相交于点O,AC交QC的延长线于点

E.

（1）求证：CD=CE.

⑵若NE=60。，求NOOC的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）/00。=60。

【分析】（1）证明四边形4c匹为平行四边形，则=进而可证C0=CE.

（2）由四边形4cM为平行四边形，四边形A8CO是矩形，可得8E=AC=B。，BE"AC,证

明是等边三角形，则/D5E=60。，根据NDOC=ND8石，计算求解即可.

【详解】（1）证明：・••四边形48co为矩形，

:・AB=CD,AB//CE.

*：AC//BE,

••・四边形AC即为平行四边形，

:.AB=CE,

：.CD=CE.

（2）解：,・•四边形AC£3为平行四边形，四边形48co是矩形,

；・BE=AC=BD,BE//AC,

VZE=60°,

•••△BDE是等边三角形，NOBE=60。，

:.NDOC=N£>8£=60。，

・・・ZDOC=60°.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平

行线的性质.熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，

平行线的性质是解题的关键.

19.如图,在AABC中，Z）、石分别是相、AC的中点，BE=2OE,延长DE到点F,使得EF=BE,

连接b.

⑴求证：四边形8CFE是菱形；

⑵若CE=4,ZBCF=120°,求菱形8c庄的面积.

【答案】（1）见解析

Q）86

【分析】（1）由中位线可知OE〃8c且2Q£=BC,由EF=BC,EF//BCf证明四边形8c正是

平行四边形，由BE=EF,证明四边形8c正是菱形；

（2）由NBC”=120。，可得NE8C=60。，则△E8C是等边三角形，BE=BC=CE=4,过点E作

EG工BC于点、G,则8G=g8E=2,由勾股定理得，EGNBE'BG'=2百，根据S姿形南庄=8Cx£G,

计算求解即可.

【详解】（1）证明：・・・。、E分别是A3、AC的中点，

:.DE〃BC且2DE=BC,

又•：BE=2DE,EF=BE,

:.EF=BC,EF//BC.

・・・四边形8c正是平行四边形，

XVBE=EF,

・♦・四边形伙7诂是菱形；

(2)解；•・•四边形6a'E是菱形,

:.BE//CF,BE=BC,

'：ZBCF=120°,

:.NEBC=60°,

•••△E8C是等边三角形，

:.BE=BC=CE=4,

如图，过点石作KGJL3c于点G,

由勾股定理得，EG=\IBE2-BG?=26，

S多冽心卜开前rqIt=8CxEG=4x26=8后.

・•・菱形BCFE的面积为8G.

【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30。的

直角三角形，勾股定理等知识.熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

20.图①、图②、图③均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点

称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的

顶点均在格点上，不要求写画法（所画图形不全等）.

图①图②图③

⑴在图①中，以线段43为边画平行四边形/WCO.

⑵在图②中，以线段人8为边画菱形八Bb.

⑶在图③中，以线段为边画正方形A8G”.

【答案】（1）作图见详解

⑵作图见详解

⑶作图见详解

【分析】木题主要考查作图：平行四边形、菱形、正方形，根据平行四边形的判定和性质,

菱形的判定和性质，正方形的判定和性质即可求解，掌握几何图形的性质是解题的关键.

(1)根据平行四边形的判定和性质即可求解;

(2)根据菱形的判定和性质即可求解;

(3)根据正方形的判定和性质即可求解.

：如图所示,

・•・四边形A4CQ即为所求图形;

(2)解：如图所示,

・・・四边形ABEF即为所求图形;

(3)解:如图所示，

・・・四边形A8G”即为所求图形.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

21.如图，在平行四边形A8CO中，对角线AC,8。相交于点。，八。140,点E是C。的中

点，过点E作防〃笈力，交BC于点、F.

⑴求证：四边形OEF8是矩形；

⑵若AO=4,DC=6,求四边形OEF8的面积.

【答案】(1)见解析

⑵2石

【分析】(1)证E。是△BCO的中位线，得OE〃BC,则四边形OEM是平行四边形，再证

/CBD=9(f，即可得出结论；

(2)由平行四边形的性质和中位线定理可得。公2,AB=DC=6.利用勾股定理

^I^BD=\lAB2-AD2=762-4:=2>/5，从而得至U8。=：8/)=石，最后利用矩形面积公式计算即

可.

【详解】(1)证明：・・•四边形A8C。是平行四边形，

ABO=DO=-BDAD//BC

2ff

又丁点E是。。的中点，

・・・EO是△BCD的中位线，

:.OE=-BC=-AD,OE//BC.

22

•:EF〃BD,OE//BC,

，四边形。£/方是平行四边形.

■:ADJ.BD,即ZA8D=90。，AD〃BC,

：./CBD=NABD=W,

・・・四边形OEF8是矩形.

(2)VOE=-BC=-AD,4)=4,

22

OE=-BC=-AD=2,

22

•・•四边形ABC。是平行四边形，DC=6,

：.AB=DC=6.

在■△ABO中，A8=6,AD=4fZAD8=90。

BD=ylA^-ADr=>/62-42=275，

・，・BO=-HD=4^

2

・••四边形0EF3的面积是：0EBD=2x旧=2后.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾

股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

22.如图，在“WC中，D是BC的中点，E是人。的中点，过点A作"'"AC,"与CE的延

长线相交于点F,连接3A

⑴求证：四边形AEM是平行四边形；

⑵填空：将下列命题填完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）

①当AABC满足条件N8AC=90。时，四边形AFBD是_____形；

②当“BC满足条件时，四边形力以。是正方形.

【答案】（1）见解析

⑵①菱；②N8AC=90。，AB=AC

【分析】（1）由A尸〃8C,得到两对内错角相等，再由E为中点，得至ljAE=OE,利用AAS得

到△/!在与△«）£全等，利用全等三角形对应边相等得到A/=CO,再由8D=CD,等量代换得

到A/=瓦），利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；

（2）①由4AC=90。，AO为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AO=E）由邻边

相等的平行四边为菱形，即可得证；

②添加条件为4AC=90。，AB=ACf由4MC=90。，根据①得到四边形"4。为菱形，再由

AB=AC,利用等腰三角形的三线合一得到AO/8C,根据有一个角是直角的菱形为正方形即

可得证.

【详解】（1）证明：YE1为AO的中点，。为8。中点，

AE=DE,BD=CD,

*：AF〃BC,

：.ZAFE=ZDCEfNFAE=NCDE,

在zMFE和△OCE中，

NAFE=/DCE

«ZFAE=ZCDEf

AE=DE

：.△"咯DCE(AAS),

AF=CD,

：.AF=BD,

•:AF//BD

・•・四边形A/W)为平行四边形；

(2)解：①当满足条件4AC=90。时，四边形4尸BO是菱形，理由为：

•・・E为A。的中点，D为BC中点,

：.AE=DE,BD=CD,

,:AF〃BC,

:・ZAFE=NDCE,NFAE=NCDE,

在八4所和△DCE中，

NAFE=ZDCE

>NFAE=/CDE,

AE=DE

：.△AFE^AZX?£：(AAS),

AF=CD,

：.AF=BD,

■:AF//BD

・••四边形/沏)为平行四边形；

VZZ?AC=90°,。是8C的中点，

AD=-BC=BD

2

•.泗边形AFB。为平行四边形，AD=BD；

・•・四边形4用力为菱形；

②当“8C满足条件4AC=90。，A8=4C时，四边形AF3O是正方形，理由为:

由①知当"BC满足条件NBAC=90。时，四边形AFBD是菱形，

VAB=ACt。为8C中点，

・•・AO为8C边卜的中线.

/.AD1BC,即ZA£>B=90。，

•・•四边形AFB。是菱形，ZADB=90。

・•・四边形AFBO为正方形；

【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形

的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与

性质是解本题的关键.

23.【感知】

(1)如图1,在中，分别是边AB,4C的中点.则/拓和的位置关系为,数

量关系为.

【应用】

(2)如图2,在四边形A8CD中，£"分别是边A氏A。的中点，若4C=10,CO=8,

EF=3,ZAFE=50。,求N4X?的度数.

【拓展】

(3)如图3,在四边形八BCD中，AC与4。相交于点E,M,N分别为AR8C的中点，MN分别

交AC,BD于点、F,G,EF=EG.求证：BD=AC.

【答案】(1)DE〃BC,DE=；BC；(2)140。；(3)证明见解析

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，

(1)根据三角形中位线定理即可得到结论；

(2)连接8。，根据三角形中位线定理得到瓦)=2Q=6,根据勾股定理的逆定理得

到N8DC=90°,计算即可；

(3)取。。的中点“，连接M”、M/,则M"、M/分别是△AC"AC。的中位线，由中位线的

性质定理可得且=；4GM7||8。且N"=；5。，根据等腰三角形的性质即可得结

论；

掌握三角形的中位线的性质是解题的关键.

【详解】(1)丁点。，E分别是边ABAC的中点.

是“WC的中位线，

DE\\BC;DE=^13C；

故答案为：DE\\BC;DE=^BC.

(2)如图1,连接80.

•・•£，尸分别是边反，4)的中点,

.\EF||BD,BD=2EF=6,

ZADB=ZAFE=50°.

BC=1(),CD=8,

I3D2+CD2=100,BC2=1(X),

BD、CD2=BC2,

ZBDC=90°,

...ZADC=ZADB+ZBDC=140°.

图1

(3)证明：如图2,取DC的中点H,连接MH.NH.

・•.M,"分别是的中点，

：.MH//ACQ,MH=-ACF

同理可得且N"=gB。.

•:EF=EG,

:"EFG=NEGF,

­.Mil||AC,N〃

:"EFG=NHMN、ZEGF=ZHNM,

乙HMN=NHNM,

；.MH=NH,

：.AC=BD.

五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

24.如图，矩形A8CZ）中，4?=6,AO=8,点P在边上，且不与点8、。重合，直线AP与。C

的延长线交于点E.

图1图2

⑴如图1,当点。是8C的中点时，求证：^ABP^^ECP；

⑵将“依沿战线”折叠得到“P9,点方落在矩形A8CQ的内部，延长P9交A。于点尸.

①如图I,证明以=用，并求出在（1）条件下质的值；

②如图2,BB发AE于点H,点G是AE的中点,当44g=244所时，试探究相与龙的数量

关系，并说明理由.

【答案】（1）详见解析

（2）&AF=^；②AB=2HG,详见解析

【分析1（1）根据矩形的性质可得5AP=ZE,ZB=/BCE，根据点尸是8c的中点，得出8P=C/\

即可求证；

（2）①根据矩形的性质可得N4P8=NE4P,由折叠得=则NEW=ZAPF,即可

求证口=Q,FA=xf则G=x,府=1,在RtZXABT中，得出4尸=4/+&T,列出方

程求解即可；②如图，由折叠可知/1=Z6,A6=A及瓦T1AE,过点B作SM//DE,交AE于点

M,根据等角对等边的得出%W=£M=A/父=43.由点G为AE中点，点”是AM中点，得出

AG=；AE,A"=gAM.则“G二AG-A"=g（AE—AM