数列【12大重点题型60题】原卷版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第二册）

数列【12大重点题型60题】

1.（24-25高二下•海南省直辖县级单位•期中）已知无穷数列｛斯｝的前5项分别为今3,*今11,则此

»5DJ

数列的通项公式可能为（）

7r1-68n—79n-810n—9

A.an=B,an=^—C.an=D.an=

2.（24-25高二下•陕西•期中）已知数列1,一夜，百2,后…，则该数列的第36项为（）

A.-36B.36C.-6D.6

3.（24-25高二下•辽宁大连•期中）已知S”为数列｛Q7J的前几项和，若S2=l,2S4=7Wn，则Q25的值为

（）

A.23B.24C.25D.26

4.（24-25高二下•四川遂宁•期中）已知数列｛斯｝的前n项和又满足S”=n2+2,则｛即｝的通项公式为.

5.（24-25高二下•湖北孝感・期中）已知数歹U｛斯｝满足城+城+谖+…+

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）记砥=£^7?数列的“｝的前几项和为又，求治.

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题型2,数列的单调性问题

6.(24-25高二下•北京平谷•期中)在数列｛%｝中，己知斯=*+；bi(neN*),则“即VQ?”是"｛%｝是单调递

增数列”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.(24-25高二下•广东珠海,期中)已知数列｛册｝满足即+】=%+3几—16,则数列他“｝的最小项是第()

项

A.5B.6C.7D.8

8.(24-25高二下♦安徽宿州•期中)已知各项非零的递增数列｛a,J满足：即+1=含，则实数4的取值范围

是()

A.(—oo,0)B.(—oo,-1)C.(1,+8)D.(-8,0)u(1,+8)

9.(24-25百二下•上海宝山•期中)已知数列斯=m2一3/一2为严格增数列，则实数k的取值范围为

10.(24-25高二下•江西萍乡•期中)已知®J是等差数列，=点+•••+就；=丹数列他］的

前九项和为且满足S=2bn-2.

(1)求数列｛斯｝和｛以｝的通项公式；

(2)设呢=邑孝，当或取得最大值时.，求九的值.

题型3等差数列的判定与证明

II.(2025高三•全国•专题练习)“存在p,qWR,使得斯+即+i=pn+q”是“｛斯｝为等差数列''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

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C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.（24-25高二上•广东深圳•期末）若数列｛即｝是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A.｛|%1｝B.｛即+1-。/

C.[pan+q]（p,q为常数）D.｛2an+n]

13.（24-25高三上•福建福州•期末）设｛斯｝是无穷数列，An=an+an+｝（nGN*）,则“｛斯｝是等差数列''是"｛八｝

是等差数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.（24-25高二下•海南省直辖县级单位期中）已知数列｛斯｝的前n项和为右，且满足％=1,Sn+1=+

斯+2・

（1）求证：数列｛即｝是等差数列；

⑵求数列｛"；*｝的前几项和Tn.

15.（24・25高二下•贵州•期中）在数列fa”）中，©=—小即+i=—黑罟

（1）证明：数列｛六｝是等差数列并求数列｛即｝的通项公式.

n

（2）若勾=3（l-3nan）,求数列｛bn｝的前〃项和％.

等差数列的通项公式

16.（24-25高二下•广东茂名•期中）已知｛即｝为等差数列，S”为其前n项和，若a$=S5=5,则通项公式为

（）

A.an=2n—5B.an=2n—1

C.々乱——2n+5D.an=2nf5

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17.（24-25高二下•北京,期中）已知数列｛斯｝满足⑥=白，六一十=2,则由（）=（）

J“ri+1”71

A./B.2C.12D.21

18.（24-25高二下•北京平谷•期中）已知等差数列｛即｝满足：。6—3。2=6,a3=0,贝^2025=（）

A.2022B.2023C.2024D,2025

19.（24-25高二下•广东珠海•期中）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，且S4=452,a2n=2an+1

（nGN）则数列｛即｝的通项公式即=.

20.（24-25高二下•青海西宁・期中）在等差数列｛册｝中，的=7,09=-5,｛即｝的前九项和为2.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设％=|即|+㈤+1的1+…+1aM，求7n.

等差数列的前〃项和及其最值。|

21.（24・25高二下•河南•期中）若等差数列｛斯｝的前〃项和为工，且的+的=12,则Sr的值为（）

A.33B.44C.66D.132

22.（24-25高二下•四川绵阳•期中）设等差数列｛%｝的前几项和为治，若54=20,Ss=30,则56=（）

A.40B.42C.44D.46

23.（24・25高二下•北京•期中）已知等差数列｛册｝的前〃项和为%，若:$9=63,a6+a7+a8=3,则Sn

取到最大值的〃是（）

A.7B.8C.9D.10

24.（24-25高二下•黑龙江鸡西•期中）已知等差数列｛册｝,若7=7,即0=10,则S50=.

25.（24-25高二下•四川成都•期中）已知在等差数列｛即｝中，a5=3,a9=-5.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）求数列｛斯｝的前〃项和方.

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题型6等比数列的判定与证明

26.（24-25高二下•湖南・月考）在正项数列｛%｝中，设甲："+几=。7„。“，乙：｛斯｝是等比数列，则甲是乙

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

27.（24・25高二下•新疆喀什,期中）下列数列是等比数列的是（）

A.3,9,15,21,27B.1,1.1,1.21,1.331,1.464

C.13,16,19,112,115D.4,-8,16,—32,64

28.（24-25高二•全国•课后作业）已知数列｛斯｝是公比为q（qHl）的等比数列，则以下数列：①｛2册｝；

②｛嫌｝；®y；④｛2即｝中等比数列的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

29.（24-25高二下•江西上饶•期中）在数列｛斯｝中，©=4,。n+1=3即-2TI+1,〃€N+，设b=斯一九

（1）求证：仙“｝为等比数列，并求｛时｝通项公式：

（2）求数列｛斯｝的前几项和.

30.（24・25高二下•广东江门期中）已知数列｛an｝满足上=1,%1=3%+4.

（1）求证：数列｛斯+2｝是等比数列；

（2）求数列｛斯｝的通项公式及前n项和S”

题型7等比数列的通项公式

31.（24・25高二下•山西太原・期中）已知等比数列｛%｝中,=1,且%，3a2,9a3成等差数列，则每=

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A.3nB.2c.3—D.专

32.（24・25高二下•新疆吐鲁番・期中）已知在等比数列｛%｝中，%=3,公比q=3,则数列｛郁｝的通项公

式是（）

n+1nnx

A.an=3B.an=3C.an=3-D.an=3n

33.（24-25高二下・辽宁・期中）等比数列｛%｝的前71项和为％,已知%=-1»0=奈5，则如=（）

A.—B.：C.JD.4

oo/

34.（24-25高二下•北京房山•期中）等比数列｛即｝满足如下条件：①q>l,②数列｛斯｝单调递减，写出满

足上述两个条件的数列｛斯｝的一个通项公式Q”=.

35.（24-25高二下•山西长治•期中）已知｛%｝为等比数列,ai=l,的+1是。2和的等差中项.

（1）求｛Q'｝的通项公式；

（2）求数列S斯｝的前〃项和.

题型8等比数列的前〃项和

36.（24-25高二下•四川绵阳•期中）等比数列｛即｝的前几项和为以，且即+丹+。7=8,a2^a5+a8

=12,则S9=（）

A.18B.28C.38D.48

37.（24-25高二下•北京•期中）设等比数列｛斯｝的前〃项和为S”.若的=1,S3=p则S4=（）

A.：B.C.0D.一：

38.（24-25高二下•四川资阳•期中）朱载埴（1536〜1611）,是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天

文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音

（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八

度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前四个音的频

率总和为前八个音的频率总和为小,则今=（）

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A.1+22B.1+23C.1+24D.1+26

39.(24-25高二下•黑龙江•期中)等比数列｛%｝的前八项和为方,且由+。3=6,。2+。4=12,则S&=

40.(24・25高二下•北京・期中)在等差数列｛斯｝中，。6=-6,a7=-3.

⑴求通项公式及其前〃项和%的最小值；

(2)若数列｛既｝为等比数列，目61=。9，b2=an，求｛g)的前几项和Tn.

题型9数列求和

41.(24-25高二下•新疆吐鲁番•期中)己知数列｛既｝的前几项和为G，若垢=忌不，贝疗2025=()

%2025_1__1_

20250•202652025M，2024

42.(24-25高二下•河南焦作•期中)已知外是数列｛叫的前〃项和，即+i+a“=5x2n+m则S］。=

()

A.2575B.3435C.4345D.5135

43.(24-25高二下•北京期中)己知f(x)+/(1-x)=2,=/(0)+/Q)+...+/(1)+/(1),则数列｛斯｝

的通项公式为()

A.an=n+1B.a,t=2n+1C.an=2n+2D.an=4n4-2

44.(24-25高二下•辽宁鞍山•期中)已知是数列｛QJ的前〃项和，且S”+I=S”+册+2^2=8.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设b=an(an-2y求数列｛0｝的前几项和7小

45.(24-25高二下•广西来宾期中)在数列｛斯｝中，由=1,且满足%+i=20n+1,数列｛%｝的前n项和为

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Sn，且Sn=n2（neN*）.

⑴求｛%｝和｛bn｝的通项公式;

（2）令Cn=（6+l）bn，记｛。｝的前n项和为T“，求7\.

题型10数列与不等式综合

46.（24-25高二下•浙江杭州•期中）已知数列｛即｝满足即+1=%+会56N*）,且对任意的九€N‘，都有

的＜2025恒成立，则的的最大值为（）

A.403B.404C.405D.406

47.（24-25高二下•北京•期中）已知数列（即｝的通项公式为Qn="+1,记数列｛斯一5｝的前九项和为Sn，

若5nWS10对任意的"WN*恒成立，则实数£的取值范围是（）

A•序相B.（高）C.相用D.（招）

48.（24.25高二下•浙江•期中）已知数列5｝是等差数列，bn=-j—,且⑥=1,b.=数列｛"｝的前〃

项和为若不等式2Z7V恒成立，则实数2的最小值为（）

A.1B.|C.|D.：

49.（24-25高二下•四川成都・期中）已知数列｛二一一工｝是以公比为3,首项为3的等比数列，且即=1.

（1）求｛六一《｝的通项公式；

（2）求出｛斯｝的通项公式；

（3）设砥=圣数列｛3｝的前〃项和为右，若不等式2%＞之—界对任意的九eN*恒成立，求实数2的取值

范围.

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n

50.(24-25高二下•北京•期中)在数列｛斯｝中，«i=2,an+1=an+2.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足对任意neN\2bn+i=bn+%+2,且加=3fb3=a3+1,设其前n项和为S”.

(i)设数歹心｝的前n项和为乙，求证：T„<|：

(ii)若对任意"WN)勾一54初八恒成立，写出实数而勺最小值.(结论不要求证明)

题型11数学归纳法

51.(24-25高一•全国•课后作业)用数学归纳法证明："+22+...+储+...+22+12=](2储+i),第

二步从k到/c+1,等式左边应添加的项是()

A.(k2+I)2B.M+i

C.(k+I)24-k2D.(k+l)/c24-2/c2

52.(24-25高二下•全国•课后作业)设/(%)是定义在正整数集上的函数，且/'(X)满足：“当f(k)>/成立时,

总可推出/(k+1)>(/c+1)2成立"，那么下列命题总成立的是()

A.若/(3)N9成立，则当kN1时，均有/'(k)NA2成立

B.若/(5)之25成立，则当A工4时，均有/1(/<)?M成立

C.若f(7)V49成立，则当kN8时，均有/'(/<)<忆2成立

D.若/(4)=25成立，则当々24时，均有/(k)Nk2成立

53.(24-25高二下•四川绵阳・月考)用数学归纳法证明“12+2、…+小=)(九+1)(2几+1厂时，由

n=k(keN")的假设证明n=k+l(keN*)时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()

A.》(k+l)(2k+1)B.&(k+l)(2k+3)

C.2(k+l)(k+2)(2k+3)D.夫(k+l)(2k+l)(2k+3)

54.(24-25百二下•北京•期中)无穷数列回J的前几项和为外,且满足*1=斯+冬0<%V1,给出以

下四个结论：

CD2szVS]+S3；

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②时<nai；

@<zn>n-l；

④若%=发则当心3时，/V需2.

其中所有正确结论的序号是.

55.（24・25高二下•北京房山•月考）已知数列｛an｝满足的=京2%+1—斯・%+1=1（71€旷）,

（1）计算。2,。3，。4,并推测｛Q,J的通项公式；

（2）证明你所得到的结论.

56.（24-25高二下•江西上饶•期中）若数列｛斯｝满足限1=3a.-1,则称｛an｝为“对奇数列”.已知囚+斗为

“对奇数列”，且寸1=3,贝必2025=（）

A.3x22024B.32025C.2x32024D.2x32023

57.（24-25高二下•湖北•期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操

作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4：第二次得到数列

1,4,4,16,4；…，设