函数的基本性质【十三大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题3.2函数的基本性质【十三大题型】

【人教A版（2019）］

＞题型梳理

【题型I函数单调性的判断及单调区间的求解】........................................................3

【题型2根据函数的单调性求参数】...................................................................4

【题型3利用函数的单调性比较大小】.................................................................4

【题型4利用函数的单调性解不等式】.................................................................5

【题型5求函数的最值】..............................................................................6

【题型6根据函数的最值求参数】.....................................................................7

【题型7函数奇偶性的判断】..........................................................................8

【题型8由函数奇偶性求函数值、解析式】............................................................9

【题型9由函数奇偶性求参数】.......................................................................9

【题型10函数奇偶性的应用】........................................................................9

【题型11函数图象的识别与判断】....................................................................10

【题型12抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】......................................................12

【题型13函数性质的综合应用】.....................................................................13

A举一反三

【知识点1函数的单调性】

i.函数的单调性

（1）单调递增、单调递减:

名称定义图形表示几何意义

单一般地，设函数逐幻的定义域为/,区

函数/（X）在区间。

调间OG/：如果当

递Wi)j上的图象从左到右

增时，都有ZU。如）,那么就称函数人外

1«1~r；是上升的.

在区间。上单调递增.

单一般地，设函数yu）的定义域为/,区

函数在区间。

调间DG/：如果VXLW。，当

递上的图象从左到右

减时，都有人用次也）,那么就称函数次外1~~

是下降的.

在区间。上单调递减.

（2）函数的单调性及单调区间：

①当函数/U）在它的定义域上单调递增（减）时,我们就称它是增（减）函数.

②如果函数月G）在区间。二单调递增或单调递减,那么就说函数y?（x）在这一区间具有〔严格的）单

调性，区间D叫做广/G）的单调区间.

（3）常见函数的单调性：

函数单调性

次函数y-uA±b时，在R上单调递增；

3和）〃<（）时，在R上单调递减.

反比例函数aX）时，单调递减区间是（-8,0）和（0,+oo）.

°<0时,单调递增区间是（-8,0）和（0,+oo）.

y=3（QR0）

30时,单调递减区间是（-8,〃小单调递增区间是［肛+8）；

二次函数y=a(x-m)2+n

(启0)〃<0时，单调递减区间是［，〃，+00）,单调递增区间是（-00，〃?］.

（4）单调函数的运算性质：

若函数/U）,g（x）在区间。上具有单调性，则在区间。上具有以下性质：

①/U）与y（x）+C（C为常数）具有相同的单调性.

②若。为常数，则当。>0时，/（x）与〃/（戈）具有相同的单调性；当〃<0时，/U）与a/U）具有相反的

单调性.

③若./U）恒为正值或恒为负值,为常数，则当。>0时，人丫）与六y具有相反的单调性:当〃<0时,

/(x)与病具有相同的单调性.

④若yu）zo,则/U）与，面具有相同的单调性.

⑤在人幻，g（x）的公共单调区间上，有如下结论:

fix)g(x)川）+8（工）fix)-g(x)

增增增不能确定单调性

增减不能确定单调性增

减减减不能确定单调性

减增不能确定单调性减

⑥当yu）,月。）在区间。上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则yu）・g（x）在区间。上也是单

调递增（减）的；若两者都恒小于零，则yu）-g（x）在区间。上单调递减（增）.

（5）复合函数的单调性判定：

对于复合函数/(g(x)),设尸e(x)在数b)上单调，且何⑺在(g(a),g(b))或G(b),g㈤)上也单调.

t=g(x)产也)y=Mx))

增增增

增减减

减增减

减减增

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：

①定义法；

②图象法；

③利用已知函数的单调性.

(2)函数)=削(初的单调性应根据外层函数严物)和内层函数Lg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【例1】(23・24高一卜.•北京•期中)下列函数中,在区间(0,+8)上是减函数的是()

A.y=-3x+2B.y=x2C.y=x2-1D.y=一《

【变式1-1](23-24高一上・江苏徐州•阶段练习)函数/(幻=一々的单调增区间是().

X-z

A.(2,4-co)B.(-oo,2)

C.(-2,2)D.(-oo,2),(2,4-co)

【变式1-2](2024高一•全国・专题练习)下列说法正确的是()

A.若看,％2WI，当％1<%2时，/(%1)</(%2)，则y=f(%)在/上为增函数

B.函数/•(%)=/在[0,+8)上为增函数

C.函数/•(%)=—1在定义域内为增函数

D.函数/(幻的单调增区间为(一8,0)u(0,+8)

【变式1-3](2024高三.全国.专题练习)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论正确的是()

A.y=/在R上为减函数

B.y=I/WI在R上为增函数

C.?=一六在R上为增函数

D.y=-/(均在R上为减函数

【题型2根据函数的单调性求参数】

【例2】(23・24高一上•浙江杭州•期末)如果函数/■(%)=a/+2%-3在区间(一8,4)上是单调递增的，则

实数a的取值范围()

A.a〉-：B.a>-i

C.--<a<0D.--<a<0

44

【变式2-1](23-24高一上.河北邯单B・期末)已知函数/(%)=后际在区间[-1,2]上单调递增，则实数〃

的取值范围为()

A.(-8,0)B.[-1,0)

C.(-8,1D.(0,1]

—%2-QX-5XV1

a_是R上的增函数，则实

(x>

数。的取值范围是()

A.-34aW0B.-34QW—2

C.(X£—2D.aV0

【变式2-3](23-24高一上•四川南充•阶段练习)已知函数/(%)=/+：(工〉。)，在区间山+8)上单调

递增,则实数。的取值范围为()

A.Z?>1B./?>23

C.b>y[2D.0</?<V2

【题型3利用函数的单调性比较大小】

【例31(23-24高三上•广东湛江•阶段练习汨知函数/(>)在[3,+8)上单调递减，且/•(%)的图象关于直线％=3

对称，则a=f(0.2),b=/(2),c=/(0)的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

【变式3-1](23-24高一上•河南南阳•阶段练习)已知定义在R上的函数/(%)满足/(1+幻=/(1一幻，且

Vxpx2>1,必。％2时，[/(/)―/(%2)](%1_%2)<0，记"/母)，b=f②，c=f件),则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【变式3-2](23-24高一上•广西南宁•阶段练习)已知函数/(幻的定义域为R,对任意的与〈小，都有

<1,则下列不等式一定正确的是()

X2-Xi

A.e2/(2)<e/(l)-1B.e2/(2)>e/(l)+1

C.e2f(2)Vef(l)+1D.e2/(2)>e/(l)-1

【变式3・3](23・24高一上•陕西西安•期中)已知函数/'(%)是偶函数，当OK。V不时，[/(%2)-/(占)](%2—

%1)>0恒成立，设Q=/(再)，b=/(—V2)»c=/(V3),则心力，c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

【题型4利用函数的单调性解不等式】

【例4】(23-24高三下•广东佛山•开学考试)已知函数y=/(力在定义域(-1,3)上是增函数,且/\2Q-1)V

/(2-a),则实数。的取值范围是()

A.(1,2)B.(-co,1)C.(0,1)D.(1,+8)

【变式4-1](23-24高一下•黑龙江大庆•开学考试)定义在(0,+8)上的函数y=/(x)满足：\/X1,x26(0,+oo),

且均H3皿生3<0成立，且/'(4)=12,则不等式f(x)>3%的解集为()

Xl-X2

A.(12,4-co)B.(0,12)C.(0,4)D.(4,+oo)

【变式4-2](23-24高一上・甘肃白银•期中)函数/(%)是定义在[0,+8)上的增函数，则满足f(2x-1)V/图

的％的取值范围是()

A•(崎B.楠C.(H)D.由

【变式4-3](23-24高一下•河北石家庄•开学考试)定义在(0,+8)上的函数f(%)满足:对V%],4W(0,+8),

且占Hx2,都有(必一x2)[x2/-(xi)-xj(x2)]>0成立，且/(4)=2,则不等式号>:的解集为()

A.(4,4-oo)B.(0,4)C.(0,2)D.(2,+oo)

【知识点2函数的最值】

1.函数的最大(小)值

(1)函数的最大(小)值：

名称定义几何意义

一般地，设函数)M幻的定义域为/,如果

存在实数M满足：函数的最大值对

函数的

(l)VxG/,都有«E)WM；应图象最高点的

最大值

(2)SA»e/,使得叔)二M纵坐标.

那么，我们称M是函数y=/&)的最大值.

一般地，设函数尸/⑴的定义域为/,如果

存在实数加满足:函数的最小值对

函数的

(l)VxG/,都有加)Nm；应图象最低点的

最小值

⑵BAO£/,使得/())=〃?.纵坐标.

那么，我们称机是函数月(力的最小值.

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：

①如果函数y=fM在区间b］上单调递增，在区间3,c］上单调递减，那么函数yVU),c］在x=b

处有最大值/(》)，如图(D所示；

②如果函数)可G)在区间上单调递减，在区间［力,c］上单调递增，那么函数y=/Q),xe［〃,c］在广力

处有最小值/(8)，如图(2)所示.

2.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

【题型5求函数的最值】

【例5】(23・24高一下•安徽滁州・期末)若%>0,则/0)=2-%-3()

A.最大值为-2B.最小值为-2C.最大值为6D.最小值为6

【变式5-1］(2024高三・全国・专题练习)函数/(%)=2x-1+的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【变式5-2］(23-24高一上•湖北恩施•阶段练习)函数/(%)=--2|-|%+1|()

A.城小值为0,最大值为3B.城小值为-3,最大值为0

C.最小值为-3,最大值为3D.既无最小值，也无最大值

【变式5-3］(23-24高一上•重庆,期末)已知函数/(%)=%+3。>0),记该函数在区间1)上

的最大值与最小值的差值为g(t),则g(t)的最小值为()

A.V17-2B.1D.V17-4

【题型6根据函数的最值求参数】

【例6】（2024・江西鹰潭・三模）若/（外=|无+2|+|3%一。|的最小值是4,则实数。的值为（）

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.-6或一18

【变式6-1]（23-24高一上•四川成都•期中）已知函数、=詈，词的最小值为8,则实数m的取值

范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（1,2]D.[1,2）

【变式6-2]（23-24裔一上•湖北期中）已知函数/•（%）=[（“，匕+2丫：°有最小值，则。的的取值范

围是（）

A.B-（-p1）

C卜;,1]D.

【变式6-3]（23-24高一・浙江•期末）已知函数/（%）=2/—l,gQ）=ax,xWR,用MQ）表示f（x）,g（x）中

的较大者，记为M（x）=max{/"（为,。。）},若MQ）的最小值为一会则实数。的值为（）

A.0B.±1C.±V2D.±2

【知识点3函数的奇偶性】

1.函数的奇偶性

⑴定义：

一般地，设函数7U）的定义域为/,如果Vx£/,都有-x£/,

偶函数且y（-x）》x），那么函数凡6叫做偶函数.

定一般地，设函数於）的定义域为L如果Vx£/,都有-%£/,

义奇函数且4那么函数人处叫做奇函数.

非奇非

既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非有非偶函数.

偶函数

定义域

定义域必须是关于原点对称的区间.

特征

设函数4。的定义域为/,则有八丫）是偶函数且

等价如x）；/U）=0；段）是奇函数=Vx£/,且於x）4於）=0.特别地，

形式若«1•）/）,还可以判断%^=±1是否成立.

（2）奇偶函数的图象特征（几何意义）

①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;

反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反

之，若一个函数的图象关于)，轴对称，则这个函数是偶函数.

③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间

上有相反的单调性：偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;

奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

(3)奇、偶函数图象对称性的应用

①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；

②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

2.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断人幻与人-幻是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式式。"-幻二。(奇函数)或段)长#=0(偶函数))是否成立.

3.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【题型7函数奇偶性的判断】

【例7】(23-24高一上.广东.期末)下列函数是奇函数的是()

A./(%)=x2+1B./(x)=x3-1

C./(%)=炉+：D.f(x)=x4+2x2

【变式7-1](2024・西藏•模拟预测)若函数f(x)=x—则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x+1)-2B./(x-1)-2C./(x-1)+2D./(%+1)+2

【变式7-2](23-24高一下.辽宁,开学考试)设函数/(幻=高，则有()

A./(%)是奇函数，fQ=-/(%)B./(均是奇函数，fQ)=/(x)

C./(%)是偶函数，/(^)=-/(x)D./(%)是偶函数，/Q)=/(x)

【变式7-3](2024.河南新乡•二模)已知函数/(%)满足/a+y+l)=/a)+f(y),则下列结论一定正确

的是()

A./(幻+1是奇函数B.是奇函数

C.是奇函数D.f(x+l)是奇函数

【题型8由函数奇偶性求函数值、解析式】

【例8】(23-24高二下•河南焦作•阶段练习)函数/"(%)是一个偶函数,g(x)是一个奇函数，且/"(£)+90)=三,

XJL

则/(%)等于()

I2x222x

A.-^―B.与C.-i―D.备

x2-lx2-lx2-lx2-l

【变式8-1](23-24高二下.河北沧州.阶段练习)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时、fM=

x2-3x+1,则f(―3)=()

A.19B.-19C.ID.-1

【变式8-2](23-24高一上•河北石家庄•期中)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数,当一<0时，/(x)=x2+

2%,贝k>0时/(%)的解析式为()

A.f(x)=-x2-2xB./(x)=x2-2x

C.f(x)=-x2+2xD./(x)=x2+2x

【变式8-3](23-24高一上•浙江•期中)若奇函数/(%)和偶函数g(z)满足f(x)+g(x)=3”+/+2,则/⑴+

9(0)=()

A-B.97D.

3333

【题型9由函数奇偶性求参数】

【例9】(23-24高二下•福建福州•期末)已知/为奇函数，则m+n=()

\〃人IAf人*****U

A.1B.2C.0D.-1

【变式9-1](23-24高一下•河南新乡•期末)已知函数/(切=器是奇函数，则a=()

A.0B.1C.-1D.2

【变式9-2](23-24高一下•广西南宁•开学考试)若函数八幻=ax2+(2b+a)x-a+b是定义在[2a,2-a]

上的偶函数，则a-b=()

A.-3B.-4C.3D.2

【变式9-3](2024.辽宁・一模)已知函数y=/(均是定义在R上的奇函数，且当％<0时，/W=x2+p

若/1(3)=-8,则a=()

A.-3B.3C.-D.--

33

【题型10函数奇偶性的应用】

【例10】(23-24高二下.贵州遵义.期末)已知/Xk)是定义在R上的奇函数，当％>0时，/"(%)为减函数，且

/(2)=0,那么不等式xf(x)<0的解集是()

A.(-2,0)U(0,2)B.(-2,0)U(2,+00)

C.(-00,-2)U(0,2)D.(-co,-2)U(2f+oo)

【变式10-1】(2024•安徽亳州•模拟预测)已知函数/•(%)是定义在R上的偶函数，函数g(x)是定义在R上的奇

函数,且/(%),g(%)在[0,+8)上单调递减,则()

A.f(/⑵)>f(f⑶)B./(g⑵)</(63))

C.g(g(2))>g(g(3))D.g(f(2))<g(/(3))

【变式10-2](2024・陕西安康•模拟预测)已知函数/(幻的定义域为R,函数尸(%)=[(1+%)-(1+%)为偶

函数，函数6(乃)=八2+3%)-1为奇函数，则下列说法错误的是()

A.函数八%)的一个对称中心为(2,1)B./(0)=-1

C.函数fCO为周期函数，且一个周期为4D,*1)+八2)+/•⑶+f⑷=6

【变式10-31(23-24高一下•湖北咸宁•期末)定义在R上的函数/•⑺满足八木十2)为偶函数，且穴v)在(2,十8)

上单调递增,若无€[1,3],不等式f(ax)V-2)恒成立,则实数Q的取值范围为()

A.&1)B.(1,5)C.(0,0D.(-1,0)

【知识点4函数的图象】

1.函数图象的对称性

(1)图象关于点成中心对称图形：函数y弓G)的图象关于点尸(。,方)成中心对称图形的充要条件是函数

g(x)=J1x+a)-b为奇函数.

(2)图象关于直线成轴对称图形：函数)守&)的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数

g(xj=y(x+a)为偶函数.

2.函数图象的识别、判断

(1)排除法：利用特殊点的值来排除；

(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.

3.对称性的三个常用结论

(1)若函数人刈满足次a+x)M〃-x),则的图象关于直线》=且乎对称.

(2)若函数/(X)满足fla+x)=-J(b-x)，则产孔v)的图象关于点，。)对称.

(3)若函数/(x)满足八〃+#+/(/7-无)=0则y=/(x)的图象关于点■^对称.

【题型11函数图象的识别与判断】

【例II】(23-24高一上•安徽合肥•阶段练习)函数/"(%)=*的大致图象为()

【变式11-2】（2024・湖南・二模）己知函数/（幻的部分图象如图所示，则函数/（》）的解析式可能为（）

2X2

B./(x)=

M+1

2\X\

D.fM=-x2-l

【题型12抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】

[ft12](2024高一下.上海.专题练习)定义在R上的奇函数/(外满足〃%+2)=-/(%),且当％6(0,1]时,

fW=1-x,则错误的是()

A./(不)满足/a+4)=fM

B./(x)在(