2026年高考全国2卷数学试卷

2026年高考全国2卷数学高考真题试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

L（E=（）

A.—8+6iB.—8—6iC.8+6iD.8—6i

2.三知集合/={0J3,6,9},8则/P|8=()

A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9}D.{0,3,9}

3.已知a+b=1,a-b=V3,则()

4.三知双曲线C：£--^-=1（6z>0,6>0）过点（1,0）和仁,3

则双曲线。的渐近线方程是

()

y=±3\/2xB.y=±2\/3x

A.Cy=±l'XDy=±TX

5.已知棱台的上下底面均为有一个角为60。的菱形，且上下底面的边长分别为2和3,若该棱台的高为

出,则该棱台的体积为（）

19191919

A.—B.—C.—D.—

12642

6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成力、8两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不

能在一起，则不同的分配方案有（）

A10种B.12种C.16种D.24种

7.己知二为第二象限角，且3sin2acosa=8sinacos2a,则[—Ij吧j]幺=（）

2-cosa

33115

A.-B.-C.—D.—

45212

「3~|

8.已知函数/（x）为偶函数，且满足/（x）+/（x-2）=0,且当xe-,3时，/（xXY+QR+b,则

（）

A.。—2,b=—3B.tz=­2>b=3

C.a=-4,b=-3D.a=-4»b=3

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的

1

得部分分，有选错的得。分）

9.三知圆O：x2+y2=\,圆4：x2+y2-6x-Sy+k=0,则下列说法正确的是（）

A.点4的坐标为（-3,-4）

B.4二9时，圆力与x轴相切

C.当左二一11时，圆/与圆O相切

D,当圆4与圆。相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y—A—2=0

10.已知等比数列｛%｝的公比夕"，且％>0,2%=卬+%，记数列｛%｝的前〃项和为S”，则

（）

1c2

A.q=_QB.Sn>铲|

2,

C.2s“+2=S“+]+S“D.5j+52+---+5n>—6/j

11.已知抛物线E：/=8.r,有一斜率为A（〃>0）的直线/过点（TO）,点力在抛物线E上，R,C两

点在直线/上，且出48。为等边三角形，则（）

A.抛物线E的准线方程为x=-2

B当直线/与抛物线E无交点时，k>6

C.若直线/与抛物线E相交于唯一一点8,则抛物线E的焦点在直线上

D.当上=2时，&/4C面积的最小值为巫

15

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设S,为等差数列｛q｝的前〃项和，若6二一1,%=5,则$6=.

13.若函数/（X）=2'+22T-〃?有两个零点，则〃?的取值范围是.

14,已知球O的体积为匕=4石兀，点4B,C,。均在球表面上，若为正三角形，且

DA=DB=DC=6,则S“8C=________•

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时

间”与“对应频率”的频率分布直方图：

2

频率

(1)求第一四分位数和中位数；

(2)设p为首次故障时间小于365天的概率估计值.

(i)求方：

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件

数，若X〜8(100。),求E(X)和。(X).

16.如图，在三楂锥4—8CZ)中，点E在6。上，AELCE.AELDE^CD1AD.

(1)求证：CD-B；

⑵若DE=2,BE=1，AE=6,CD=20求直线与平面/8C所成角的正弦值.

3

17.在&48C中，已知cos8=w，cos2(^+C)+sin^sinC=l.

(1)证明：出月3c为钝角三角形；

(2)若的面枳为立，求出％8。的周长.

4

18.椭圆f：二+/=i过右焦点且与x轴垂直的直线被£■截得的长度为

a~

(1)求E的离心率.

(2)O为坐标原点，给定点G&⑼&¥0),4国,%)(%工0)在上上，过点/作N轴的垂线，垂足

3

为8,40与GB交于点、P.当力在£上运动时，尸的轨迹为

（i）求用的方程，并说明M是什么曲线；

（ii）〃是否有中心点？当％为何值时，/有中心点？当/有中心点时，平移％到A/',使O为M'

的中心点，说明M'的形状.

19.已知函数/（x）=xev+Qx+Z）,曲线y=/（x）在点（OJ（O））处的切线为y=-2x+l.

（1）求。，b；

（2）当x>0时，/（x+〃。一求〃?的取值范围；

（3）当x>0时，/（%+左）+/（左一x）>2/（左），求左的最小值.

4

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1,（『3i）2=（

)

A.-8+6iB.—8—6iC.8+6iD.8-6i

［；B

【解析】

【详解】(l-3i)2=l-6i+(3i)2=l-9-6i=-8-6i

2.已知集合/={0』,3,6,9},8=1,4=1卜

则/「|8二（)

A.{051}B.{3,6}C.{0,1,9)D.(0,3,9)

【答案】A

【解析】

【详解】由题可得4={0』},所以4cB={0,1}

a-b=V3,则(

3.已知a+b=1,)

1

A.1B.-C._1D.

332

【答案】D

【解析】

【详解】由Ci^b=1,得a+b1

所以=1，即乐+2存3+铲=1；

由万一B二百，得G—B=3>

所以（1一5）-=3,即/一2不石+32=3.

两式相减,得42万二一2,

-1

所以a-b=---

2•

22

4.三知双曲线C：鼻■一方=1（a>0,b>0）过点（1,0）和则双曲线。的渐近线方程是

()

C.y=±3

A.y=±3\/2xB.y=±2\/3x2=±也

-6

5

【答案】B

【解析】

【分析】把点（L0）和代入双曲线方程求出。力，再求出渐近线方程即可.

【详解】把点（1,0）和代入双曲线方程可得

A

7“'Iif-1

49।7I"—1

—..........=1=><b~=\2=>{厂，

a-b2八/八\b=2V3

a>0,Z)>0i

a>0,b>0

所以双曲线方程为f一汇二1,

12

故该双曲线渐近线方程为y=±2Ar.

5.己知楼台的上下底面均为有一个角为60。的菱形，且上下底面的边长分别为2和3,若该棱台的高为

出,则该棱台的体积为（）

19191919

A.—B.—C.—D.-

12642

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.

【详解】由题意，得棱台的上底面面枳为2x!x2x2xsin600=2ji,

2

下底面面积为2x^x3x3xsin6（r=^^，

22

6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成力、8两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不

能在一起，则不同的分配方案有（）

A.10种B.12种C.16种D.24种

【答案】C

【解析】

【分析】对甲、乙两人都在力小组和8小组进行分类，结合计数原理求解即可.

【详解】情况1：甲、乙两人都在4小组，

安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在力组，另一个在B组.

若丙在力组，J在4组：此时4组已有｛甲，乙，丙｝,还差1人；

8组已有｛丁｝,还差3人，

则从剩余4人中选1人进力组，方案数为C；=4.

若丁在力组，丙在B组：同理，方案数为C；=4.

所以当甲、乙在力组时，方案数为4+4=8种.

情况2：甲、乙两人都在B小组，

甲、乙在4组的情况与在力组的情况完全一致，

安排丙、丁：同样是丙在力组或丁在力组两种情况，方案数各为C：=4,

所以当甲、乙在8组时，方案数为4+4=8种.

故所有分配方案共有8+8=16种.

1+sina

7.已知a为第二象限角，且3sin2acosa=8sinacos2a,则--------=()

2-costz

33八115

A.-B.-C.-D.—

45212

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式化简可得3cos2a=4(2cos2a-l),结合角的范围分别求出cosa,sina即可求

解.

【详解】由3sin2acosa=8sinacos2a,得:6sinacos2a=8sina(cos2a-sin2a)

因为a是第二象限角，所以sina〉0,cosa<0,

化简得：3cos2a=4(2cos2tz-1),即cos2]二，

5

由于cosa<0,解得：cosa=-—>

5

因为sina>0,所以sina=Vl-cos2a=，

7

1+sina

所以7------

2-cosa2+撞2

5

3

8.已知函数/,(x)为偶函数，且满足/(x)+/(x-2)=0,且当XEy,3时，/(x)=x2+ax+/),则

()

A.a=—2，b=—3B.a=—2,b=3

C.a=-4»b=-3D.a=—4,6=3

【答案】D

【解析】

【分析】根据/(x)+/(x-2)=0推出周期性r=4,分析可得/。.5)=/(2.5),得到。，再由/(—1)=0可

得从

【详解】/a)+/(x—2)=0,则f(x+2)+/(x)=0,

/a+4)=-/(x+2)=/(x),即/(x)的周期为4,

结合奇偶性，周期性，故/(1.5)=/(-2.5)=/(2.5),

在口.5,3］上满足/(1.5)=/(2.5),说明f(x)=x2+ax+b的对称轴为x=2,

则—二=2,解得。=4,

2

又根据/(》)+/(x-2)=0知/(I)+/(—1)=0,而/(I)=/(-I),

则f(7)=0,于是/(3)=/(-1)=0，

即/(3)=9+3a+8=9-12+〃=0，解得6=3

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得。分)

2222

9.三知圆O：x+y=l,圆4：x+y-6x-8y+/c=0,则下列说法正确的是()

A.点4的坐标为(一3,-4)

B.4二9时，圆力与x轴相切

C.当〃二一11时，圆/与圆O相切

8

D.当圆/与圆O相交时，两交点所在的直线方程为6工+8歹一左一2二0

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,求出。力的圆心坐标即可判断；

对于B,利用圆心/到x的距离即可判断；

对于C,求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；

对于D,将两个圆的方程相减化简即可求解.

【详解】由。力：x2^y2-6x-Sy+k=0,化简可得（x—3）?+（y-4丫=25-%，

所以％<25,04的圆心片（3,4）,半径尸二后二彳，故A错误；

对于B,由％=9,得。力的半径尸=后二？=4,所以圆心43,4）到x轴的距离"二4=厂，即与x

轴相切，故B正确；

对于C,由a二一11,得。4的半径〃=后二不=6，由于。。的圆心为（（）,（）），半径/=1,所以

|^|=5=r-r\则。。与。/内切，故C正确；

对于D,由（F+y?-6x-8y+A）—（F+y2一]）=（）,化简得：6x+8y-左一1二0,

所以。O与OA两个交点所在直线的方程为6x+8y-％-1=0,故D错误.

10.已知等比数列｛%｝的公比夕工1,且%>0,2%=卬+%，记数列｛%｝的前〃项和为S“，则

（）

1c2

a

A.<7=--B.Sn>~\

2〃

C2s“+2=S“+]+S“D.£+S?+…+S”>?卬

【答案】ACD

【解析】

【分析】设等比数列｛%｝的公比为4,根据条件列出关于“的方程，求解可得乡的值，判断A；利用特值法

可判断B；根据等比数列的前〃项和公式，求得S,m+S.，S”.2,化简可判断C；求出£SK，由（-；）

的取值情况，结合不等式的性质，判断D.

【详解】设等比数列｛/｝的公比为夕，则2aq2=%]+《，即60/-4―1）=0.

9

因为。1〉0,所以2/一9一1=0,即(2q+l)(q—l)=0.

因为9工1，所以夕一100,所以2q+l=0,即自=-；,

所以A正确.

1?

因为6>0,则S2=5《<§q，所以B错误.

3I2)I2)

=2S0+2.

所以C正确

10

/1\w/1

当〃为奇数时，1一一」=1+->0；

I2J⑴

当“为偶数时，因为<-；所以1一(一>1>0,

⑴212)[2)2

所以到1-昌即等.

，LI"」*=iJ

所以D正确.

11.已知抛物线E：/=8x,有一斜率为攵(4>0)的直线/过点(TO),点力在抛物线E上，8,C两

点在直线/上，且出力BC为等边三角形，则()

A,抛物线E的准线方程为x=-2

B.当直线/与抛物线E无交点时，k>41

C.若直线/与抛物线上相交于唯一一点、B,则抛物线E的焦点在直线上

D.当％=2时，出/8C面积的最小值为立

15

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据抛物线方程得〃，进而得出准线方程；B选项，设直线/为y=〃(x+l),和抛物线方

程联立消去x,令A<0求解：C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点8,假设48过焦点，则得到

储口根据两直线的夹角的公式推出/彳BC的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点

到直线的距离最小值来处理.

【详解】A选项，/=8x=2px,则，=4,故准线工二一已二-2,A选项正确;

2

B选项，设直线/为歹=左。+1),则8y=8Ax+8,

联立V=8x得到，®2_8y+8A=0,

直线和抛物线无交点，则A=64—32/<0，

结合〃>0,解得k>亚,B选项正确；

11

C选项，由联立方程02一8>+8k=0,

若/与E相交于唯一点8,只可能是相切，

则A=64—32左2=0,解得k=Q，

此时及y2—8y+8后=0,解得歹=2衣，进而得x=l,则8(1,20)，

若,48过焦点尸(如图)，由于网1,2夜),尸(2,0),%=-2及，而金c=G，

根据倾斜角的定义，tarx/B卜X=-2立，=立，

而/ABC=ZBFx—NBPF,此时N4BC的正切值为=收工外，

1-4

即N/8Cw6(r，这与cfe/IBC为等边三角形矛盾，C选项错误;

D选项，当女=2,此时直线方程为歹=2x+2,

广----1+2

设N,则力至心的距离为，4

,8d=------k----=

即等边三角形的高的最小值为此时面积S=LxdxZ£=4=2立，D选项正确.

△2也也15

C选项方法二：求得例1,2右)，则丽=卜2,-2&)，而二。,一2人卜

44

则//PB/HGO。，抛物线七的焦点不在直线44上，故C错误.

D选项方法二：/到8C的最小距离可转化为抛物线和BC平行的切线，求得两平行线的距离即可,

由干％8c=2,设直线〃7为y=21+p,

12

联立_/=8x,得到＞2-4了+4〃=0,

由A=On〃=l,此时直线机为y=2x+l,

由平行线的距离公式可推出/,加直线间距离为5,其余同上.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.设S”为等差数列｛%｝的前〃顷和，若%=5,则S,,=.

【答案】24

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.

【详解】由等差数列通项公式(—l)d,

代入%=5,%=-1可得5=-1+(4-1)1,解得6/=2.

因为4=4+5d=-l+5x2=9,所以S6=6.；&),

故§6=3x(-1+9)=3X8=24.

13.若函数/(x)=2'+22r-〃?有两个零点，则〃?的取值范围是.

【答案】(4,+8)

【解析】

4

【分析】方法一：令z=2、,则2'+22r一加=0即Z+?-〃2=0,产-〃〃+4=0(/>0)，转化为一元二次方

程/一〃7/+4=0有两个正根的问题.

方法二：把函数/(工)=2'+22-1-〃7有两个零点转化为方程h+22-x-m=0有两个实数根的问题，再转

化为2X+22T=机，即函数y=2*+12r与函数y=m交点问题.

【详解】令/(x)=2'+22T-加=0,得2*+227_m=0,艮］2、+22T=加，

13

方法一:

4

令，=2"，则2'+2""—〃1=0，即1+---〃7=0,t2-777/4-4=0(/>0),

则一元二次方程t2-mt+4=0(/>0)有两个正根，

A=/W2-16>0m>4或〃？<-4

那么《=>/??>4,

'I+G=m>0m>0

所以，机的取值范围是(4,+8).

方法二：

44

设那么设〃=2、，则g(〃)=〃+—,(〃〉o)，

由于g(〃)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

故g(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且g(l)=4,

根据函数图象可知,函数/(X)有两个零点，则〃?的取值范围是(4,+8).

14.已知球O的体积为《二4百兀，点力，B,C,。均在球表面上，若出力8。为正三角形，且

DA=DB=DC=W则•

【答案】逋

4

【解析】

【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求

解.

【详解】由球的体积公式，匕=：兀*=46兀，解得火=百，

设治力8。的外心为〃，连接

由题意知。〃为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心。在。〃上，

14

不妨设。在线段。〃上，连接力。,。。,力”，

设出力8c的边长为屈，由正弦定理可得，AH=二x，

2sin60

x2+/=3

再设O〃=y由题知,

x2+^y+y/3^=2

2

解得y=一耳（负值表示球心。在线段。〃的延长线上，实际情况如右图）,

所以

3

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设分为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求方：

15

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件

数，若X〜8(100,5)，求E(X)和。(X).

【答案】(1)第一四分位数为370,中位数为381；

(2)⑴0.15；(ii)£(%)=15,D(%)=12.75.

【解析】

【分析】(1)根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；

(2)根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计直，然后利用二项分布的期望和方差求解.

【小问1详解】

由直方图可知，［345,365］的频率为0.015x10=0.15<0.25，

［345,375］的频率为0.035xl0=0.35>0.25，

故第一四分位数在［365,375］上，设为x,则(x-365)x0.02+0.15=0.25,解得x=370；

［345,375］的频率为0.035xl0=0.35<0.5,

［345,385］的频率为0.06x10=0,6>0.5,

故中位数在［375,385］上，设为儿则3—375)x0.025+0.35=0.5,解得歹=381.

故第一四分位数为370,中位数为381；

【小问2详解】

由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.01)x10=0.15,故力=0.15,

根据二项分布的期望和方差公式，

£(^)=100x0.15=15,D(X)=100x0.15x0.85=12.75

16.如图，在三棱锥力—8CQ中，点E在BD上,AE1CE,AE上DE，CD1AD.

(1)求证：CDhB；

(2)若DE=2，RE=l,=CD=273.求百线40与平而力所成角的正弦值.

16

【答案】(1)证明：

因为/七_1"且/£_1小，CERDE=E,且CE,QEu平面8CQ,

所以/£J.平面5CO.

因为。u平面BCZ),所以力E_LCQ.

又4D1CD,AEcAD=4,4Eu平面45。，

力Du平面43。，。。(2平面/3。，

所以CDJ•平面ABD,

故。。_L48.

⑵旦

3

【解析】

【分析】(1)根据题意可得力上，。。，ADVCD,再结合线面垂直的性质定理证明即可；

(2)法：建立空间宜.角坐标系，求解向量为3和平面力8。的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法

二：利用体积法解出设点。到平面43。的距离为万，进而计算线面夹角.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

如图所示，以。为原点，。石所在直线为X轴，0c所在直线为y轴，过点。且垂直于平面BCD的直线

为z轴，建立空间直角坐标系，

可得。(0,0,0),C(0,273,0),E(2,0,0),6(3,(),0).

因为力EJLOE且%七=近，所以力(2,0,后).

所以而=卜2,0,_&),^=|l,0,-V2),JC=(-2,25/3,-V2).

n•AB=x-Cz=0

设平面48c的法向量万=(x,y,z),则＜

ii-AC=-2x+2y/3y-y/2z=0,

17

可得工二五2,令z=2,则：X=y=6即万=仅6,6,2).

设,4。与平面力BC所成的角为。：

,八\AD^n\|(-2)x2V2+0+(-V2)x2|

所以sm，=以——”>,同।=后।访二=——时/再不^=

6\/2屈

-V6x3>/2-3’

所以4。与平面48。所成的角为逅.

3

法二：在RL4OE中，ADZAE'DE?=+22=y/6，

在Rt△力BE中，AB=\IAE?+BE?=J(可+4=5

由(1)知。。_1_平面力。E,则CZ)瓦CO_LX。.

在RtaNOC中,BC=yjBD2+CD2

22

在1<S彳。。中，Ac=yjAD+CD=76+12=3>/2.

2

•・•AB+AC?=+(3五『=21=B02,

为直角三角形，则S=-ABAC=-x>/3x3y!2=—.

—JRr222

设点D到平面ABC的距离为刀，AD与平面ABC所成角为0,

由^D-ABC=匕-BCD得:

•AE,即L亚./7」?32©.正,

§S“BC.〃=§S4BCD

32312

解得：h=2.

所以sin6=4-=2=Y^

ADa3

3

17.在&48C中，已知cos，=w，cos2(^+C)+sinJsinC=l.

(1)证明：出月3c为钝角三角形;

(2)若氏月8c的面枳为立，求出48。的周长.

4

18

3

【答案】(1)证明：由？1+8+。=兀，则cos(/+C)=—cos8=—,

4

,97

又cos2(4+C)+sin/sinC=1,得记+sindsinC=1,MsinsinC=—,

3

由两角和的余弦公式，cos(Z+C)=cos4cosc-sin力sinC=—,

4

75

结合sin力sinC=—可知cos/cosC=-----<0,

1616

则cos4cosc异号，必然一个为负，

又儿。£（0,兀），即4c中必有一个是钝角;

⑵3+6

【解析】

【分析】（1）cos（4+C）=—cos8,结合题设得出sin*sinC=N,然后由两角和的余弦展开得到

16

cosAcosC<0,进而得解；

（2）先推出三角形面积公式的变形式S“sc=2R2sin/sin8sinC,解得R,由正弦定理进而得出力，然

后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

方法一：由正弦定理和三角形的面枳公式,

2

3ABe=-abs\nC=-(2RsinA)(2RsinB)s\nC=2RsinAsinBsinC

（R是包ABC外接圆半径）

又siMsinCq,4吟=2代吟,解得心平,

又sinB=^-，

则方=2RsinB=收，

4

,,3

由余弦定理〃=a2+c2-2accosB，即ci~+c~—ac=2,

2

又Lesin3=且a八互,则QC=2,

284

于是/+。2-=2,即/+已2=5,

2

19

(a+c)2=cJ+2ac+c2=9»解得Q+c=3,

故(^ABC周长为(a+c)+/，=34-\/2.

方法二：由8$2（4+。）+51045皿。=1,则cos2B+sin/sinC=l，

即sinJsinC=1-cos2=sin2B，

由正弦定理可得，ac=b\

由三角形面积公式，SiBC=—acsinB=-acx^-=

2244

得到QC=2,则人=也，其余同上.

2

18.椭圆E：「+/=1（〃>］）,过右焦点且与x轴垂直的直线被七截得的长度为五.

cr

（1）求E的离心率.

（2）O为坐标原点，给定点G&,O）（/o。。），力（3,%）（%工。）在E上，过点力作歹轴的垂线，垂足

为8,AO与GB交于点尸.当/在E上运动时，P的轨迹为V.

（i）求M的方程，并说明M是什么曲线：

（ii）〃是否有中心点？当。为何值时，M有中心点？当〃有中心点时，平移/到使。为

的中心点，说明M'的形状.

【答案】（1）—

2

\］、2

（2）（i）M的方程为---x2+y2+-x-\=0（y^0）-^|>及时，C-2>0,则方程表示椭

、2%J玲

圆去掉与x轴交点；当。<|<及时，］-2<0,则方程表示双曲线去掉与工轴交点：当％=±五时,

2

轨迹用的方程为/+-1-1=0（歹工0）,为抛物线去掉与X轴交点；

（0

2

（ii）当％=±&时，轨迹M的方程为V+工-1=0（y/0）,为抛物线去掉与x轴交点，无中心点;

*0

当"。±五时，〃有中心点（一塞,0）‘平移"到"'，使。为AT的中心点时，此时的方程为

20

当|以>近时，形状为椭圆去掉与X轴交点，当0<|及时，形状为双曲线去掉与X轴交

点.

【解析】

【分析】(1)利用过右焦点垂直于X轴的直线被£所截线段长为及，通过求出坐标解出线段的长，求得

巴大。再求出离心率:

(2)(i)通过联立方程求出点。的坐标，再反解出点力的坐标代入椭圆方程，从而求出”的轨迹用的方程:

(ii)先讨论八在不同取值时，中心存在的情况；再假设中心点坐标为(，&〃)，求出中心坐标的表达式,

再通过平移求出M'的方程，再讨论不同情况下A/'的形状.

【小问1详解】

设椭圆与+/=1的右焦点为(c,0),其中,=庐

a

那么过右焦点且垂直于X釉的直线为x=c,代入椭圆得

2

二+j/=1,即y2=1-£-=|--\_1

a~'a~a

所以y=±—,由于截线段长为-=72,解得〃=

a"

,----1、*c1亚

故C=V2-1=1»离心率e=-=-f==—.

a>/22

【小问2详解】

(i)方法一：

由⑴知椭圆方程为y+/=l，由于点/(%,%)满足予+"，且歹0工°，过力作轴的垂线，交

V轴于点8(0,%)，

那么当/=。时，点力(°，土1)，点/与点片(°，土1)重合;

当飞。0时，直线力。方程为：y=—xt直线G4方程为：-^+―=1,

工010%

即y=_普x+M)

’0

21

尸也Vx=*_

%,解得*x0+/0Vo卬0

联立《即点P（比40），

j=卬。

y=-—x+y()

’0%+/。

M）

A-

设p（x,y）,则由，=>«

y=J^

八一x

,2

代入椭圆方程全

即=1

2&7)‘(，o-x)

两边乘以纪工

隗3=?

2

整理得——7x2+y2+-x-]=0

(2，f

把点尸（0,±1）代入，仍然成立,

2

故轨迹"的方程为---7X4-V+——X-1二0(尸0)；

〔2，'，

方法二:

由于G色⑼&¥（））,点8在y轴，故直线G8必有斜率;

设直线G8方程为歹=左（工一幻，P（«,v）,那么点8（0,-七）,

由于力8J_y轴，则为=一内0,

由于点P,。,力三点共线，则而,"况=演式"一股。〃，

xov=-kt^u%一〃

因为点P在直线GB上，所以，—s

v=Zr(z/-Z0)九=长峥°）

一+犷,

把,4（x。,%）代入椭圆E方程：三+诉=1,得;%

=1,即

2(%-〃)~("w)一

整理化简，得----T[J+/+—〃一1=0,

12》。

22

ii2

故轨迹”的方程为2%21y21Xl=o（y#o）；

（2J，o

当I办|〉及时，1-2>0,则方程表示椭圆去掉与工轴交点；

当0<|/。|<及时，]一2<0,则方程表示双曲线去掉与X轴交点；

2

当％=±6时，轨迹"的方程为广+一工-1=0（y工0）,为抛物线去掉与x轴交点；

，0

।।