比较二次根式的大小（专项训练）-浙教版八年级数学下册（解析版）

专题02比较二次根式的大小（举一反三专项训练）

【新教材浙教版】

题型归纳

【题型1移动因式法】...........................................................................I

【题型2作商法】...............................................................................2

【题型3分子有理化】...........................................................................4

【题型4分母有理化】...........................................................................5

【题型5作差法】...............................................................................7

【题型6平方法】...............................................................................9

【题型7倒数法】...............................................................................10

举一反三

【题型1移动因式法】

【例1】（24-25八年级下•安徽合肥・期中）比较大小：2夕4V2.

【答案】V

【分析】本题考查了比较二次根式的大小，把根号外的因式移入根号内再比较，是解题的关键.把根号外的

因式移入根号内，再比较即可.

【详解】解：回2夕=闻，4\/2=V32,V28<V32*

团2、万<4V2,

故答案为：<.

【变式1・1】比较大小：2V55（填">〃"V〃或"=〃）.

【答案】V

【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键.由20V25,

可得何<后即可得到答案.

【详解】解：20<25,

•••V前〈侬，即2遥V5,

故答案为：<.

【变式1-2］比较大小：上

【答案】＞

【分析】本题考考查了两个无理数的大小，把日、白分别转化为&比较被开方数的大小即可判断求解,

掌握二次根式的运算法则是解题的关犍.

【详解】解:当=&与邛

吟吗

唯＞1，

即卓＞圣

故答案为：＞.

【变式1-3］（24-25八年级下•山西大同•阶段练习）比较大小：3—4G（用"＞〃或"＜”填空）.

【答案】＜

【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较.先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4,

分别放入根号内，再比较大小即可求解.

【详解】解：3£

=2,

073<2

哪"J,

故答案为：＜.

【题型2作商法】

【例2】写出怨与警（a为正整数）的大小关系，并证明你的结论.

VQ+2ya+3

【答案】怨〈等，见解析

va+2y/a+3

【分析】先计算得到需+需=畏等，再根据（伞+2）2-1＜（迎+2）2即可得到结论.

v|fa+l/v'a+2

【详解】

V0+2V0+3

G+1.Va+2

证明:

Va+2'y/a+3

+1y/a+3

-+2+2

(Vfl4-2)-1(6+2)+1

\[a+2\[a+2

(VH+2)2-l

(VH+2)2

田(、0+2)—1<(V0+2)»

蝶+需<1，

诟+2而+3

【点睛】此题考杳了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

【变式2-1】比较大小：*f

【答案】>

【分析】利用作商法，即可比较大小;

【详解】解：喷=柒奈=胡=爆>1,

拿争

【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

【变式2-2】“作商法〃比较5近与7石的大小

【答案577V7花

【分析】由遍<夕，得到整=*<1，即可得到答案;

7V5也

【详解】解：0V5<V7,

嘿亭L

05V7<7V5

【变式2・3】作商法比较警与急的大小.

【答案喈途

【分析】用詈除以翟，结果与1比较大小即可.

【详解】解：•・•詈>0,^=>0,

V2036>f2Q7122>/52鼻4

7TF=分乖=^7rx乖=>1，

v20、3>/5

【点睛】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则.

【题型3分子有理化】

【例3】比较—，Q—1和/z+1—的大小；

【答案】+1—y/a<\[a—y/a—1

【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去.也考查了平方差公式.

将网变形为叵耳辑包,衍I-，变形为（而离铝+何,利用疝钉+

VQ+1+V。

7a—1>0即看判断:

（）（）

[详解]解：\[a—\!a—1=\fa-\/a-l+v/a-11

v0+，a-lvra+Va-l

y/a+1—>[a=（，a+l-\@（，a+l+v0）_1

\!a+l+>/aVa+l+v^a,

团，a+1+Va>Va+Va-1>0,

Va+l+VaVa+Va-1'

@Va+1—Va<Va—Va—1

【变式3-1]（24-25八年级下•陕西西安・期中）比较大小：7-再______表.（填“>〃"<〃或"="）

【答案】>

【分析】本题考查了实数比较大小，先将7-遥变形为品，再根据同分母的分式比较大小，分子越大分式

越大，即可得出答案.

（7-收）（7+遂）_49-5_44

【详解】解：7-V5=

7+Vs-7+V5-7+而'

故答案为：>.

【变式3-2】比较大小：V7-V6_V6-V5

【答案】V

【分析】利用分子有理化即可比较大小.

此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键.

1

【详解】解：V7-V6=巨子一

1VL*7+v%"-6+后

V6-V5=V6-V5_(而-6)(布+门)_

1\/6+\/5y/b+yfs

团V7+V6>V6+Vs

团夕+^V\/6+V5

团，？—A/6<V6—V5

故答案为：V

【变式3-3】比较大小：V2014-\/2015..V2015-V2016.

【答案】<

【分析】本题考查了二次根式的大小比较.

利用分子有理化，即可比较大小.

)、/)

【详解】解：72014-72015=(x/2014V2015(V2014I201S_

v^ou+vlois\/2314+\/2015,

72015-72016=

,,

V7015+V'2016\/2015+v2016

回

焉谢,V'2015+V，20i6,

0--==r—==<--

5/2014+\/2015V2015+V2016t

(Z1V2014-V2015<V2015-V2016,

故答案为：<.

【题型4分母有理化】

【例4】已知Q=苗&一=&,1

-V5-21比较a,b,c的大小关系.

【答案】）0b>a

【分析】此题考存代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关

键.

将。、氏。分别化简，比较结果即可.

【详解】解：a=仃：疙=遮+&，b=-^==24-V3,c==V5+2,

2>V2,

：•b>a,

又：\[5>\/3,

c>b,

••­c>b>a.

【变式4-1】比较大小：*当（填写“>"、"<"、"=〃）

【答案】V

【分析】先同乘以最简公因式，再进行比较大小.

【详解】解：啜x2百=2信yx2V3=3

又2或=①<75=3

/冬

故答案为：V

【点睛】本题考查二次根式的大小比较，解题的关键是先化简为最简二次根式.

【变式4-2］（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）比较大小：熹

【答案】>

【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化：

分母有理数后比较大小即可；

1

（详解】解：2-V5（2-V5）（2+V昂5）=-（'2+V5）7»Vr5--Vr6-=7（x同/5-,V6北）（V5+V面6）=~（'V5+V6）7»

02+x/S=V44-Vs<x/5+>/6,

0-I2+V5）>-（V5+V6）,

故答案为：>

【变式4-3】比较大小：号之（填写“〉〃或『〃或“<"））

【答案】<

【分析】先将两个数分母有理化，再比较大小即可

【详解】•：力=不工会1=1+学

1V2+1l

-p----=-7=-------------=>/2+1

V2-1（72-1）（72+1）

...1+旦1+企

"2-y[2<您一1

故答案为：<

【点睛】本题考查了实数大小比较，分母有理化，分母有理化是解题的关键.

【题型5作差法】

【例5】比较大小：—4>-（用“>〃、"<〃或"="填空）

【答案】<

【分析】通过作差与。比较大小即可得出结论.

【详解】解：•••亨一;

45

5V3-54

2020

5V3-5-4

二20

5V3-9

20-

V75-V81

一―20，

又•••V75<V81,

v75-Vn/八\/3-l1/八

：------<0,即an--------<0,

♦2045

V3-1,1

A--4-<一5，

故答案为：V.

【点睛】本题考查比较两个实数的大小，涉及到作差法比较实数大小、二次根式比较大小的方法等知识点,

熟练掌握作差法比较大小的恒等变形判定符号是解决问题的关键.

【变式5-1】比较大小：V5-3（填〉〃“<”或”=〃）

【答案】<

【分析】先将正-3化成容，然后运用作差法比较2遍-6和迷-2的大小即可.

【详解】解：回花一3=宇

团等和手的分母都是2,

团只需比较分子2遥-6和向-2的大小即可,

0(2V5-6)-(V5-2)=V5-4=V5-V16<0,

0V5-3<—.

2

故答案为V.

【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，灵活运用通分和作差法是解答本题的关键.

【变式5-2】比较大小咛|(填">〃"<〃或者"二”)

【答案】>

【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答.

【详解】解.：写一]

5V6-5-6

二15

5V6-11

2

0(576)=150,II2=121,150>121,

E5V6>11,

05V6-11>0,

0^>0,

故答案为：>

【变式5-3](24-25八年级上•辽宁沈阳•单元测试)设。=6e，b=鼻,c=V5+&,将a,b,c用〃>〃

进行排列，则排列后的顺序是.

【答案】b>a>c

【分析】此题主要考行了分母有理化，比较二次根式的大小.先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后

用求差法比较各数的大小.

【详解】解:a=6^=2V3,6=&=(2瑞Zg)=2+8，

由£-。=2+百一2百=2-75>0,Mb>a,

由£-C=2+V5-V5-V5=2-V5>0,Mb>c,

助最大，

乂da—c=2>/3—\/3—>/2=\/3—>/2>0,

则a>c.故力>a>c.

故答案为：b>a>c.

【题型6平方法】

【例6】（24-25七年级下•上海徐汇・期末）比较大小：V6+V22+V3（填“>"或"<〃）.

【答案】>

【分析】本题考查考杳了二次根式混合运算，二次根式的大小比较，求出（述+或）、（2+75）2即可求解，

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：0（V6+V2）2=8+4百，（2+V3）2=7+4百，

08+4V3>7+46，

0V6+V5>2+V5,

故答案为：>.

【变式6-1］（2025•河北邯郸•一模）比较大小：乎乎（填“>”"<〃或"=〃）

【答案】<

【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键.先平方，再比较

大小即可得到答案.

2o

【详解】解L件）=3件）4且分,

23

故答案为：<♦

【变式6-2】将弓从小到大排列.

【答案】

【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可.

【详解】4）2=或4）2=%帝哈

屋""

567

4〈立〈包，

765

故答案为：

765

【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键.平方法是比较二次

根式的大小常用的方法.

【变式6-3】比较大小5与二.

【答案】V

【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出晟+；青再求出29?=841V(13词之二845,进而

得到2+据此可得答案.

【详解】解：r+号整

团29?=841＜(13通)2=845,

啜＜等

哈+K冬

故答案为：＜.

【题型7倒数法】

【例7】(2025八年级下•全国•专题练习)比较大小：2-百V5-V2.

【答案】V

【详解】本题主要考查了二次根式大小比较，先根据分母有理化得出占=,差?0=2十行,一方=

=管，然后根据2+g=号＞誓，即“＞春，即可得出答案.

(的V5-V就2J^V15+⑸v2)3332-V3v5-v2

【分析】解：0TA===2+75，

2-V3(2-/V3焦X2+V⑸3)

1__0®

V5-＞/2一(-^-V2)(＞/5+V2)-3'

团2+百=竺逋＞工

〜＞短’

(712-V3＜V5-V2；

故答案为：＜.

【变式7-1】比较大小：V5-V3_V13-VTT.(填"V"、或"=")

【答案】＞

【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较.分别求出心，7=^=,即可求解.

v5-v3V13-V11

r/An1遥+百V5+V3

【详解】解：药=（、3（用、③=

vn-viT-（vn-vn）（vn+viT）—?

萨+遍vvn+vn

0V5-V3＞V13-VT1.

故答案为：＞

【变式