2026年中考数学：投影与视图（知识解读+例题讲义）解析版

第30讲投影与视图

3"知识导航.十.

知识点1:图形的投账

知识点2：视图

M知识梳理

知识点1:图形的投影

平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面或墙壁等）上得到的影子，叫做物体的投影.

只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光

线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影

长等于物体本身的长度.

2.物高与影氏的关系

（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光

下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指

向是：西一西北一北一东北一东，影长也是由长变短再变长.

（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

甲卢低的高中广体苗*分七

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长i一算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

注意：

1.平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要

分清不同时刻和同一时刻.

2.物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.

中心投影

若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.

这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主

要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短,

离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.•般情况下，离点光源越近，影子越长：离

点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子

上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

注意：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体

的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

知识点2：视图

1三视图的概念

(1)视图

从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

(2)正面、水平面和水面

用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫

做水平面，右边的面叫做侧面.

(3)三视图

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视

图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面

内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的

三视图.

2三视图之间的关系

(1)位置关系

三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右

边，

如图⑴所示.

(I)(2)

(2)大小关系

三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图

的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图⑵所示.

注意：

物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三

个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的

长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基

础.

3画几何体的三视图

画图方法：

画一个几何体的三机图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

⑶在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相

等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

4由三视图想象几何体的形状

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图

的前面；上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.

题型精讲

【题型1平行投影与中心投影】

【典例1】如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△4BC）平行于投影面时，在点

光源0的照射F形成的投影是△A/C],若08:8%=2:3,则△必/。1的面积是

【答案】375cm2/375平方厘米

【分析】本题考查平行投影，△48C与△力181cl是位似图形，求出位似比，再根泥面

积比等于位似比的平方即可求解.

【详解】解：由平行投影可知△ABC与△ABiG是位似图形，

=2:3,

•••0B:0B1=2:5,

•••△48。与△48/1的位似比为2：5,

,,-\sJ—25，

442

S—BRi=S&ABC+元=60♦元=375（cm）,

故答案为：375cm2.

【变式1】如图1,某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示

小红晚上在灯光照射下的影长/与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（）

A.由/走向。，再走回4B.由8走向C

C.由力走向C,再走回力D.由C走向从再走回力

【答案】C

【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出/随s的变化规律是解决

问题的关键.

根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的关系，进而得出符合

要求的选项.

【详解】••♦路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前：/随s的增大而减小；当小红走

到灯下以后再往前走时：/随S的增大而增大，

小红的行走过程是由力走向C,再走回人

故选:C.

【变式2】下列投影中，属于中心投影的是（）

【分析】根据中心投影的定义解答即可.

本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光.

【详解】解：A.是平行投影，不符合题意；

B.是中心投影，符合题意；

C.是平行投影，不符合题意；

D.是平行投影，不符合题意.

故选：B.

【题型2几何体的三视图】

【典例2】某物体如图所示，它的主视图是（）

【分析】本题考查了三视图，根据从物体的正面看到的图形是物体的主视图进行分析,

即可作答.

【详解】

解：依题意，该物体的主视图是匚，

故选：B.

【变式1】如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

【答案】A

【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画筒单组合体的三视图要循序渐进，通过仔

细观察和想象，再画它的三视图，即可作答.

【详解】解：依题意，这个几何体的主视图为：

故选：A.

【变式2】如图所示几何体的主视图是（）

【答案】C

【详解】解：几何体的主视图为:

即C选项符合题意.

【变式3】米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造

型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（）

是从几何体的上面看到的图形解答即可.

【详

解：该几何体的三视图如图:

故选：C.

【题型3由三视图还原几何体】

【典例3】如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆锥B.圆柱D.正三棱柱

【答案】B

【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图特征是解题的

关键.根据三视图的形状，匹配对应几何体的三视图特征.

【详解】解：圆柱的主视图：长方形，俯视图：圆，左视图：长方形，

该几何体的三视图符合圆柱的三视图特征，故该几何体是圆柱.

故选：B.

【变式1】如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

主视图左视图

俯视图

A.圆锥B.圆柱C.球体D.三棱锥

【答案】A

【分析】本题主要考查了三视图的知识，根据几何体的三视图，对各个选项进行分析,

用排除法得到答案.

【详解】解：根据主视图是三角形，可知圆柱和球体不符合要求，故选项B、C错误，

不符合题意；

根据俯视图是圆，可知三棱锥不符合要求，选项D错误，不符合题意：

根据几何体的三视图，圆锥符合要求.

故选：A.

【变式2】从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是

()

△

A.三楂锥B.三棱柱c.圆柱D.长方体

【答案】B

【分析】本题考查了几何体的三视图识别及常见几何体（三棱锥、三棱柱、圆柱、长方

体）的三视图特征，解题的关键是熟记各选项几何体的正视图、左视图、俯视图形状,

再与题目给出的三视图逐一对比匹配.

先明确题目给出的三视图特征：正视图为中间有虚线的正方形（虚线表示看不见的

棱），左视图为正方形，俯视图为等边三角形；再分别回忆各选项几何体的三视图，排

除与己知三视图不匹配的选项，保留完全匹配的选项即可确定答案.

【详解】解：A、三棱锥的三视图均为三角形（或由三角形组成的图形），小存在止方

形，此选项不符合题意；

B、三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面边长相等且垂直底面）的正视图为中间有

虚线（表示看不见的恻棱）的正方形，左视图为正方形，俯视图为等边三角形，与题目

给出的三视图完全匹配，此选项符合题意；

C、圆柱的俯视图为圆形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不

符合题意；

D、长方体的俯视图为矩形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项

不符合题意；

故选：B.

【变式3】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

D.H

【答案】C

【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，根据几何体的三视图判断即可，掌握

三视图的画法是解题的关键.

【详解】

解：由几何体的三视图可知，这个几何体是

故选：C.

【题型4三视图的相关计算】

【典例4］如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积

为

俯视同

【答案】544

【分析】本题考查/三视图，勾股定理，等腰三角形的性质，先认真分析和观察三视图

得出这个几何体是倒放的三棱柱，再算；1四"=屈二］=6,48=12（等腰三角形

的三线合•），结合三棱柱的表面积等于两个三角形面枳和三个长方形的面积，即可作

答.

【详解】解：如图所示:

上视图左视图

结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱，

结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是8,

WJ/lW=V102-82=6,AB=2x6=12（等腰三角形的三线合一）

•-12x8x1=48,

则48x24-14x10+14x10+14x12=544,

故答案为：544.

【变式1】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm）,根据图中所示数据计算这个

几何体的侧面积为（）cm2.

【答案】A

【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几

何体的形状是解题关键.由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式

求出答案.

【详解】解：由题意可得此几何体是圆锥，

底面圆的半径为：1,母线长为：3,

故这个几何体的侧面积为：7TX1X3=37T.

故选：A.

【变式2】一个几何体的三视图如图所示，则这个儿何体的体积是（）

A.36KB.24nC.12KD.8K

【答案】C

【分析】本题主要考查了由三视图还原几何体，勾股定理，圆锥的体枳计算，根据三视

图可得该几何体是圆徒，由勾股定理求出圆锥的高，再利用圆锥体积计算公式求解即可.

【详解】解：由三视图可知，这个儿何体是一个圆锥，且母线长为5,底面圆直径为6,

底而圆半彳争为3.

.••该圆锥的高为后码7=4,

.••该圆锥的体积为|X4XTTX32=12zr,

故选：C.

【变式3】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为().

主

左

视

视

图

图

俯视图

A.32nB.36nC.40nD.160n

【答案】C

【分析】本题主要考查已知三视图求体积，熟练掌握三视图即可求解.

根据三视图判断出该几何体是圆柱，再借助圆柱的体积计算公式求解即可.

【详解】解：由图可知，该几何体是一个空心圆柱，

•..V=(1)xnx8—(1)xTtx8=40n,

故选：c.

【题型5由三视图，判断小立方体的个数】

【典例5］某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么

构成这个几何体的小正方体的个数是（）

H

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】A

【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一

层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可.

［详解】解：由三视图易得最底层有3个止方体，第二层有2个止方体，那么共存3+2=5

个正方体组成.

故选：A.

【变式1】如图，根据三视图，它是由（）个正方体组合而成的几何体

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】在俯视图中，标出小正方形的个数，可得结论.

【详解】解：由俯视图可知，小正方形的个数=2+1+1=4个.

主视图左视图

EP

俯视图

故选：B.

【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关健是掌握三视图的定义.

【变式2】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示,

那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（）

A.7B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用

能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视

图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案.

根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成,

故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体.

【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有5个小正方体，

第二层最少有2个小正方体，

因此组成这个几何体的小正方体最少有5+2=7个.

如图：（其中一种情形）

俯视图

故选：A.

【变式3】由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，贝J搭成

该几何体所用的小正方体的个数最多是（

【答案】B

【分析】根据主视图和左视图判断该几何体的层数及每层的最多个数，即可得到答案.

【详解】解：根据主视图和左视图判断该几何体共有两层，

下面一层最多有4个小正方体，上面的一层最多有3个小正方体，故该几何体所用的小

正方体的个数最多是7个，

故选:B.

【点睛】此题考查了几何体的三视图，由三视图判断小正方体的个数，正确理解三视图

是解题的关键.

二;随堂检测

1.如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（）

【答案】C

【分析】本题考查小正方体的组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题关犍.

根据三视图的概念逐项判断即可.

【详解】解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形，

其中C选项符合该特征，

故选：C.

2.某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是()

JE

【答案】C

【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的

对应关系是解题的关犍.

通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分(圆柱和长方体的

组合)，再结合各视图的特征排除不符合的选项.

【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A；

由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D；

由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C

符合.

故选：C.

3.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm),则这个几何体的底面圆的周长为

()

A.6TTCH1B.9iTcmC.12ncmD.16ncm

【答案】A

【分析】本题考查由三视图，解题的关犍是通过三视图判定几何体.

由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可.

【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，

由图中数据可知，圆锥的底面半径为3cm,

，根据圆的周氏公式得，底面圆的周长C=2nr=2;rx3=6?r（cm）

故选：A.

4.如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（）

正面

A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同

C.左视图与俯视图相同D.主:视图、左视图和俯视图都不相同

【答案】A

【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是

从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此结合图形画出对应的三视图即可

得到答案.

【详解】解：该几何体的三视图如下所示：

俯视图

•••主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同,

故选：A

5.如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△/8C）平行于投影面时，在点光源。

的照射卜形成的投影是若OB:B/=2:3,则的面枳是（）

4

A.90cm2B.135cm2C.150cir2D.375cm2

【答案】D

【详解】解：•.一块面积为60cn?的三角形硬纸板（记为△“赤）平行于投影面时，在

点光源。的照射下形成的投影是=2:3,

•O--B-.....-2

•'OB、­5，

•••位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5,

•・•三角形硬纸板的面积为60cm2,

•二遇g=5=25;

.•.△4/1的的面积为375cm.

故选：D.

6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）.

主视图左视图

俯视图

A.127rB.157rC.187rD.247r

【答案】B

【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为5,再根据圆锥的

侧面（扇形）面积公式，即可求解.

【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，

如图，过点力作AD1BC于点D,

A

根据题意得：AB=AC,AD=4,BC=6,

-CD=^BC=3,

"C=7AD?+CD?=5,

即圆锥的母线长为5,

•••这个几何体的侧面积是嬴x6x5=157r.

故选：B

【点睛】本题主要考查/简单几何体的三视图，求圆锥的侧向枳，根据题意得到这个儿

何体为圆锥是解题的关键.

7.由若干个相同的小正方体构成的儿何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正

【答案】5

【分析】根据三视图得出这个几何体的构成情况，由此即可得.

【详解】解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正

方形的个数）

则构成这个几何体的小正方体的个数是2+1+14-1=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题关键.

8.数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标

杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为米.

【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形

的性质解答.

【详解】解：设旗杆为力8,如图所示：

DEEF

=~BC

•:DE=2米,EF=1.2米,8c=7.2米,

21.2

'AB=72

解得：45=12米.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角

形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

9.如图，圆锥的母线长为10,侧面展开图的面积为60处则圆锥主视图的面积为.

【答案】48

【分析】圆锥的主视组是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式s=nrl代入数据求出圆锥的

底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可.

【详解】根据圆锥侧面积公式：s=nrl,圆锥的母线长为10,侧面展开图的面积为6071,

故60n=nxl0xr,

解得：r=6.

由勾股定理可得圆锥为i&；=V102-62=8

•••圆锥的主视图是一个底边为12,高为8的等腰三角形，

.••它的面积=1x12X8=48，

故答案为：48

【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式

是解题关键.

10.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为.

俯视图

【答案】48+12百

【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几

何体的形状及各部分的尺寸，难度不大.观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱

柱，然后根据提供的尺寸求得其表面积即可.

【详解】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，

底面如图，连接AZ）,BE£F交于点O,过点。作0M1AB于点M,

由图知，0C=0尸=2,

又底面为正六边形，则△OAB为等边三角形，边长为2,

••.M为48中点，则4M=1,

:.0M=>JOA2-AM2=百，

底面正六边形面枳S正六边形ABCDEF=6s△048=6x1x2xV3=6百，

底面正六边形周长C正六边形4BCDEP=6X2=12,

所以其表面积为S表=。正六边形+2s在六边形4BC0EF=12X4+2X6百

=484-12底

故答案为：48+12百.

11.某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度.因路上设

有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面.同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并

不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长EC=1米时停止移动，并标记为点C,然

后沿