高考数学：三角函数与解三角形 弧度制、任意角的三角函数 （附解析）

三角函数与解三角形

弧度制、任意角的三角函数

激活思维

1.（教材经典题）若。为第一象限角，则貌（D

A.第一象限角B.第二象限角

C第一或第二象限角D.第一或第三象限角

【解析】因为。为第一象限角，所以2EVa〈2E+],Z£Z,所以依法

VE+去kGZ.当仁2〃，时，2〃兀2ma是第一象限角；当仁

2〃+1,时，2〃兀+兀〈微〈2/2兀+季a是第三象限角.综上，卷是第一或第三

象限角.

2.下列各式不正确的是（C）

*7Q

A.一210。=一号B.405。=年

o4

C.335。=窄D.705,=誓

1乙I乙

【解析】对于A,-2100=-210X-j^=-y,故A正确；对于B,405。=

405X念=^,故B正确；对于C,335°=335XT^=-^,故C错误；对于D,705°

1oU41ovJO

jr477r

=705Xy^=-ji，故D正确.

3.当。为第一象限角时，喧一黑看的值是（C）

DiliCACA|

A.1B.0

C.2D.-2

【解析】因为。为第二象限角，所以sina>0,cosa<0,所以瞿1—黑松

^111€XCXI

sina,cosa

=--+------=2.

sinacosa

4.（多选）已知角。的终边上有一点P（a,20,若〃V（）,则（BD）

B.si…平

A.sin0=一乎

C.tan0=D.tan9=2

2小..2a-

sin9=,tan：=〃—2

【解析】由题知yja2-h4a2-y[5a5

5.（教材经典题改编）已知圆心角为前勺扇形所对的弧长为2兀，则该扇形的面

积为12兀.

【解析】因为a=7,l=art所以r=§=12,所以扇形面积S=1/r=!

□Tt22

6

X2兀X12=12兀.

聚焦知识

1.角的概念的推广

平面为一条射线绕着一遍点一从一个位置旋转到另一个位置

定义

所形成的图形

按旋转方向—正角_、—负角——零角—

分类

按终边位置一象限角「、轴线角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S

终边相同的角

={/?|/?=a+2E,k£Z\

2.弧度制的定义和公式

定义长度等于一半径长一的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

角«的弧度数公式|a|="（Z表示弧长）

①1。—180「ad；

公式

角度与弧度的换算

②1rad=（乎＞

弧长公式1=\a\r

扇形面积公式S—____=__51al尸

注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3,任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设尸(x,y)是角a终文i上异于原点的任意一点，其到原点o的

距离为r

定义

V

a—

y_tanX

sincos

(xWO)

I+++

各象

II十——

限符

III——+

号

IV—十—

(认加.(小A咻/平(剧

三角函

数线

有向线段MP有向线段0M有向线段—为

为正弦线为余弦线正切线

记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

注意：若办则tana>a>sina.

4.常见结论

(1)//,a的终边关于x轴对称O/?=-a+2E,kGZ.

(2)/?,a的终边关于y轴对称台夕=兀aI2履，后UZ.

(3)4，a的终边关于原点对称今夕=兀+6(+2阮，kSZ.

题型突破思维拓展

举题说法

目帧H象限角及其表示

例1(1)若夕是第二象限角，则专+4是(A)

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

7T

【解析】方法一：因为角/?是第二象限角，所以5+2EVQC兀+2E(MZ),

则2兀+2EV*+3<孚+2E(A£Z),故与+a是第一象限角.

方法二：因为角夕是第二象限角，所以取片界则:+”=笔所以:+4是第

一象限角.

(2)已知角a的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，

那么角a用集合可表示为{《k-360。+45。<〃〈左・3600+150。，kGZ\.

，y

、、、、/

30°>、<45。一

Ox

【解析】在0。〜360。内，终边落在阴影部分内的角表示为45°<a<150°,

所以所求角的集合为{a|k・360。+45。<。<女・360。+150。，kGZ].

<总结提燎A

(1)象限角

第一象限角）{a[2E<a<2E+下.AEZ}

第二象F艮角）{42府+今<a<2而+九AEZ}

第三象限角）{a|2E+?t<a<2E+竽,A£Z}

第四象限角]{a|2Ajt+y<a<2Art+2n.AGZ,

(2)轴线角

T终边落在*轴上的向]{a|a=EM£Z}

终边落在j，轴上的角)|da=£+EM£Z}

终边落在坐标轴上的角){*=等14€2}

变式1(多选)若a是第二象限角，则下列说法正确的是(AD)

A.一。是第三象限角

B.患第三象限角

C.是第二象限角

D.2a是第三或第四象限角或终边在)，轴负半轴上

【解析】由。是第二象限角，可得方+2EVaV7t+2E,k£Z.对于A,因

为一兀一2EV—eV一百一2E,kGZ,此时一a是第三象限角，故A正确.对于

B,因为k《Z,当女为偶数时，胡第一象限角；当Z为奇数

I乙乙乙

时，含第三象限角，故B错误.对于C,因为兀+2也〈升。V学+2也，k£Z,

7T

所以5+。是第三象限角，故C错误.对于D,因为兀+4A兀V2aV2兀+4E,kG

Z,所以2a是第三或第四象限角或终边在)，轴负半轴上，故D正确.

目恤日弧度制与扇形的弧长、面积公式

例2已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=6()。，R=1()cm,求扇形的弧长/;

【解答】因为〃=60。=1rad,所以/=a•R=^X10=号%:m).

(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角；

2R+Ha=10,R=4,

R=l,

【解答】由题意得1、解得，(舍去)或，1故扇形的

2«・审=4,a=8a=29

圆心角%

(3)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角〃为多少弧度时，这个扇形的

面积最大？

【解答】由已知得/+2R=20,所以

所以当R=5时，S取得最大值25,此时/=10,a=2.

＜总结提炼A

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方

法使问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

变式2如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由

扇形0C。挖去扇形后构成).己知该扇形玉雕壁画的周长为320cm.

图⑵

(1)若00=204=80cm,求该扇形玉雕壁画的曲边CO的长度；

【解答】设弧45的长度为/icm,瓠CQ的长度为/2cm.因为OO=20A,

所以所以八=3".因为OD=2OA=80cm,所以4。=8c=40cm.因

为该扇形玉雕壁画的周长为320cm,所以八+/2=240,所以斗2+/2=240,解得

〃=160,即该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度为160cm.

(2)若AD=2OA,求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.

【解答】因为人。=2。4,所以岩=/所以*=器=/则扇形0。。的

191

面积Si=5•OD••0/4•/i,扇形OAB的面积S2=z•0A•/i,故该扇形玉

雕壁画的扇面面积S=S—S2=4-OA•/i.因为该扇形玉雕壁画的周长为320cm,

所以/I+/2+AQ+8C=4/I+404=320,所以/1+。4=80,则2do4・+W0A+

/i=80,从而。4・71^1600,当且仅当OA=/i时等号成立，故S=4・OA・/W6

400,即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400cm2.

目帧目任意角的三角函数

例3⑴(2025•滁州一模)已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边上

一..14-tana1

有一点P(—l,2),m则B)

4八4

A--3B.3

「5n5

c,-3D.3

【解析】由题意可得尸一1,y=2,因此，)•=1(—1)2+22=小,所以sin

21八-1+tana1I+tana1

tz=~7T,cosa=~~rztana=-2,所以■;一=~-i~^r

y]511-tanacos2a1—tanacos2«—sin-a

_l-21_4

=单-r"i=j

5~5

(2)(多选)在平面直角坐标系xO)，中，角。的顶点为原点O,始边为x轴的非

负半轴，终边经过点P(l,〃i)(,〃V0),则下列各式的值恒大于()的是(AB)

sinan

A.-B.cosa-sina

tana

C.sinacosaD.sina+cosa

【解析】由题意知sina<0,cosa>0,lana<0,则:>0,故A正确；

LanfZ

cosa—sina>0,故B正确；sinacosa<0,故C错误；sina+cosa的符号不确

定，故D错误.

，总结提炼A

(1)当已知角a终边上一点。的坐标时，可利用三角函数的定义求出角a的

三角函数值.

(2)当已知角。的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐

标.

变式3(2025•岳阳质检)已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负

半轴重合，终边过点(3,4),若将角。的终边绕坐标原点顺时针旋转方得到角人则

4s—3

sin^=__V-——•

3344

【解析】由题意得cosa=-^=?=-,sin«=-?=^=-,则sinp=

=sin衣媚一cosasi4=9坐一我

66525210

慨探究三角函数线

例4（多选）已知sina>sin/?,那么下列结论正确的是（BCD）

A.若角a,£是第一象限角，则cosa>cos£

B.若角a,£是第二象限角，则tan6>tana

C.若角。，夕是第三象限角，则cosp>cosa

D.若角。，4是第四象限角，则tana>tan/，

【解析】设角a,4的终边分别为射线OP,0Q.对于A,如图(1),sina=

MP>NQ=s\nB，此时cosa=OM,cos8=ON,OM<ON,所以cosaVcos夕，

故A错误；对于B,如图(2),sina=MP>NQ=sin夕，此时tana=AC,tanP=

AB,且ACVAB,所以tanaVlan/?,故B正确；对于C,如图(3),sina=MP>

NQ=sin/?,此时cosa=OM,cos0=ON,且OM<ON,所以cos/?>cosa,故

C正确；对于D,如图(4),sina=MP>NQ=s\n此时tana=AC,tanAB,

AB<AC>即tan^Vtana,故D正确.

变式4在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,GH是圆/+9=1上的

四段弧（如图），点尸在其中一段上，角a以Ox为始边，。尸为终边，若tanaV

cosa<sina,则点P所在的圆弧是（C）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

【解析】方法一：设P（x,y）,如图，有向线段0M为余弦线，有向线段加尸

为正弦线，有向线段AT为正切线.对于A,当点尸在A8上时，x>y20,cosa

=x,sina=y,所以ccsa>sina,故A错误；对于B,当点尸在CQ（不含端点

））上时，所以

£OVxVyVl,cosa=x,sina=y,tan«=•^*v>1,lana>sina>cos

a,故B错误；对于C,当点P在E77上时，xVO,y>0,|y|>|x|,cosa=x,sin

a=y,tan«=,^<—1,所以sina>cosa>tana,故C正确；对于D,当点P在

GH（不含端点G）上时，xVyVO,贝Utana>0,sina<0,cosc（<0,故D错误.

方法二：若点P在0或G上（不含端点A,。），则a在第一象限，此时tan

a—sina=tana（l—cosa）>0,与tanaVsina矛盾，故排除A,B.若点P在GH

（不含端点G）上，则a在第三象限，此时tana>0,cosa<0,与tanaVcosa矛

盾，排除D,故选C.

随堂内化

1.与一2026。终边相同的最小正角是（B）

A.136°B.134°

C.57°D,43°

【解析】因为一2026。=-360。X6+134。，所以与一2026。终边相同的最

小正角是134°.

2.（2020•全国II卷理）若a为第四象限角，则（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

【解析】方法一：由a为第四象限角，可得当+2EVQV2TI+2E,kGZ,

所以3兀+4EV2aV4兀+4E,k^Z,此时2a的终边落在第三或第四象限或），轴

的负半轴上，所以sin2aV0.

方法二：当a=一1时，cos2a=cos（一§>（）,B错误；当a=一全时，cos2a

=cos（一年）V0,A错误；由a在第四象限可得sinaVO,cosa>0,则sin2a=

2sin6(cos«<(),C错误，D正确.

3.（2026•黄冈期初）（多选）下列说法正确的是（ABD）

A.sin2cos3<0

B.若圆心角为亨的扇形的面积为多，则该扇形的弧长为兀

C.终边落在直线x+y=0上的角的集合是||。=弓+E,kQZ

D.函数尸tan部勺定义域为'小兰+华，A£Z

兀

【解析】对于A,由］V2V3V兀，得sin2>0,cos3<0,则sin2cos3V

0,A正确；对于B,设扇形的半径为〃，由圆心角为和勺扇形的面积为竽，得品全

户=竽，解得r=3,因此扇形的弧长为“=兀，B正确；对于C,终边落在射线y

=-x（x20）上的角的集合为S=g+2E,kGZ,终边落在射线y=—

MxWO）上的角的集合为S2=a|a=^+2E,kGZ'=

力a=一：+（22+1）兀，&WZ,，因此终边落在直线x+y=O上的角的集合是SIU52

兀7T7E7E

=«|a=—W+E，C错误；对于D,由2x—石^^+也，kGZ,得

kGZ,因此函数y=tan（2x—^）的定义域为，小梏+g,kG"D正确.

4.（2025•保定一模）设。是第二象限角，PG，1）为其终边上一点，且cosa

1....\3

=?则tana=j

【解析】由题知cosa=1=^^7=%,因为x#0,所以df+l=2,解得x

所以x=­所以tana=：=_^5=-•

=±A/5.又G是第二象限角,

配套精练

一、单项选择题

1.点4（cos2,1@114）在平面直角坐标系中位于（B）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.（2025•九江一模）已知角a的终边在直线2x—y=0上，则tan2以=（A）

BR.&3

D-4

3.已知角〃的顶点与原点重合，始边与其轴的非负半轴重合，终边经过点

4

P（2a,々-2）,且cosa=\,则实数々的值是（B）

A.-4和'B.之

C.-4D.1

3

4.己知角a的终边在直线y=-3x上，则10sina+;^的值为（C）

wVJo（X

A.—6,\/T6B.6V15

C.0D.-3710

【解析】由题知cosaWO,设角a的终边上一点（a,—34）（〃W0）,则r=

~3a3回

\la2-\~9a2=y[\0\a\.当〃>0时，r=y[7ba,sina=

丽=_10,COSa=^

所以lOsina+T—=—3dT5+3，T5=O；当aVO时，r=—[76〃，sin«

1ucosa

=三就=嚼，cosa=J^=一喀，所以lOsina+瘾=3回—3也

=0.综上，10sina+T-=0.

(.A

5.（2025•青岛期初）在平面直角坐标系xOy中，角a与角夕均以工轴的非

负半轴为始边，它们的终边关于X轴对称.若cosa=—g,则cos（a一6）=（B）

1

A1B-

八•9D'9

9

C.1D.7

【解析】因为隹a与角4均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x

8

2-

轴对称,所以cosa=cos£=-sina=-sin/7,且sin2a=19sinasin

夕=-sin%=—Q,故cos9一夕)=cosacos夕+sincsin£=3—3

6.如图，单位圆。内接一个圆心角为号的扇形ABC,则扇形48C的面积为

(A)

C.兀D.,

【解析】如图，连接B。，OC,BC.由单位圆。内接一个圆心角为7T飘扇

形ABC,知AB=AC,/B0C=2ZBAC=y,OA=OB=OC=\.故BC=®又

A6=AC,N£4C=等所以△A6C为等边三角形，故A6=AC=6C=/.由扇形

的面积公式可得S鱼形48c=：x/x（小）2=3.

二、多项选择题

7.关于角度，下列说法正确的是（BD）

A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60。

B.钝角大于锐角

C.三角形的内角必是第一或第二象限角

D.若。是第四象限角，则方是第二或第四象限角

【解析】对于A,时钟经过两个小时，时针转过的角是一60。，故A错误.对

于B,钝角一定大于锐角，显然B正确.对于C,若三角形的内角为90。，则该

角是终边在y轴正半粕上的角，故C错误.对于D,因为角。的终边在第四象

限，所以2E+^VaV2E+2兀，k^Z,所以E+于戏＜也+兀，当k为偶数时，

2〃兀+,V5V2〃兀+兀，〃£Z,得微是第二象限角；当2为奇数时,（2〃+1）兀+苧

〈V（2〃+l）兀+兀，HGZ,得概第四象限角，故D正确.

8.下列说法正确的是（CD）

A.若sina=sin£,则a与夕是终边相同的角

4

B.若角a的终边过点P（3左4QaW0）,则sin

C.若扇形的周长为3,半径为1,则其圆心角的大小为1弧度

D.若鬻>0,则角。的终边在第一象限或第三象限

（X

【解析】对于A,当。+夕=7［时，sina=sin/?,但终边不同，故A错误；

对于B,r=］（34）?+（必）2=5因,当女V0时，sina=一§,故B错误；对于C,

由2r+/=3,r=1,得/=1,a=4=l,故C正确；对于D,若当今>0，即sin

a与cosa同号，则角。的终边在第一象限或第三象限，故D正确.

9.若上那么下列不等式成立的是（BC）

A.sin«<cosa<tanaB.cosa<sina<tana

C.sina<a<tanaD.a<sina<tana

【解析】对于A,B,如图，在单位圆中分别作出。的正弦线MP、余弦

线OM、正切线47,当时，0MVMPVAT,即cosaVsinaVtan跖