第1章 全等三角形-八年级上册数学单元测试卷（苏科版）

八年级上册数学单元测试卷

第1章《全等三角形》

一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。

1.如图，已知aABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和^ABC全等的图是（）

D.只有丙

2.如图，在A/IAC中，^PAQ=^APQ,PR=PS,PRLABfR,PS_L4C于S,则三个结论①4S=

ARx②QP〃AR；③ABPRdQSP中()

A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确

3.如图，AC1AB,AC1CD,要使得△ABC^ZkCDA.若以“HL”为依据，需添加的条件是（)

C.ZB=ZB'D.ZACB=ZCAD

4.在aABC和△A'B'C‘中，①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A'C',©ZA=ZA\®ZB=ZB,,⑥

/C=NC”.在下列条件中，不能保证aABCg的一组条件是（）

A.①③⑤B.①②⑤C.②④⑤D.®@®

5.如图，NAC8=90°,AC=BC,BEA.CE,ADLCE于D,AD=2cm,BE=0.5cm,则DE的长为()

A.0.5(7??B.IcmC.1.5cmD.2cm

6.如图，AABC且ADEC,点A和点D是对应顶点，点B却点E是对应顶点，过点A作AF_LCD,

垂足为点F,若NBCE=65。，则NCAF的度数为（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

7.根据下列条件能画出唯一NABC的是（）

A.AB=I,BC=2,CA=3B.AB=7,BC=5,ZA=30°

C.ZA=50°,B=60°,C=703D.AC=3.5,BC=4.8,ZC=70°

8.AD是△AAC的中线，AB=5,AC=7,则AD的取值可能是（）

A.3B.6C.8D.12

二、填空题：每题3分，共10题，共计30分

9、如图，在aABC和^ADC中，AB=AD,BC=DC,ZB=130°,则ND<

10、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其

中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带第块.

11、如图，为6个边长相等的正方形的组合图形，则Nl+N2+N3=.

12、如图，AABE和AADC是AABC分另I」沿着AB、AC边翻折180。形成的，若Nl：Z2：Z3=28：5：

3,则Na的度数为度.

E

13、如图，AABC,aCDE均为等边三角形,连接AD,BE交于点0,AC与BE交与点P,贝U/AOB

1D

14.如图：已知AC=AD,BOBD,CE=DE,则全等三角形共有_________对，并说明全等的理由.

D

15.如图，在△ACD与中，A。与8E相交于点P,若AC=BC,AD=BE,CD=CE,NDCE=

55。，则/APB的度数为________

一

CD

16.在△人8c中，AB=AC,点。是ZkABC内一点，点石是CQ的中点，连接AE,作EELAE,若点

尸在B。的垂直平分线上，ZBAC=a,则NBF£）=________.（用a含的式子表示）

A

F

17.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,BE_LAD于E,5网边形ABCD=10，则

BE的长为_________。

B

18.如图，EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,ZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,

给出下列结论：其中正确的结论有个.

①N1=N2：®BE=CF：③△ACN/aABM；@CD=DN；⑤ZXAFN也△AEM.

二、解答题：共9题,共计86分.

19、已知：如图，AB/7CD,AB=CD,AD、BC相交于点O,BE/7CF,BE,CF分别交AD于点E、F.

(1)求证：△ABOgaDCO：

(2)求证：BE=CF.

20、如图，AB=AC,AB1AC,AD1AE,且ND二/AEC,求证：AD=AE.

21、已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB〃DF,ED=AB,ZE=ZCPD.求证：z\ABC

^△DEF.

B

22、已知：如图，在AABC、AADE中，ZBAC=ZDAE=900,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点

在同一直线上，连接BD.

(I)求证：ZkBADgaCAE：

(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.

23、如图（1）在ZiABC中，ZACB=90°,AOBC,直线MN经过点C,且AD_LMN于点D,BE1

MN于点E.

(I)求证：®AADC^ACEB；②DE;AD+BE.

(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明.

24、如图，在AABC中，AB=CB,ZABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

(1)求证：△ABEdCBF：

(2)若NCAE=20。，求NACF的度数.

c

25、如图(1),AB=4cm,AC±AB,BD1AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以Icm/s的速度

由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为I(s).

(I)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当1=1时./XACP与ABPQ是否全等,并判断此时

线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)如图(2),将图(1)中的“AC_LAB,=其他条件不变.设

点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得AACP与aBPQ全等？若存在，求出相应的x、t的

值；若不存在，请说明理由.

26.在AABC中，ZABC=90°,AB=BC,D为直线AB上一点，连接CD,过点B作BE_LCD交CD

于点E,交AC于点F,在直线AB上截取AM=BD,连接FM.

图①图②

(I)当点D,M都在线段AB上时，如图①，求证：BF+MF=CD；

(2)当点D在线段AB的延长线匕点M在线段BA的延长线」:时,如图②：当点D在线段BA的

延长线上，点M在线段AB的延长线上时，如图③，直接写出线段BF,MF,CD之间的数量关系,

不需要证明.

27.(1)如图1,图2,图3,在△A4C中，分别以AB,AC为边，向AABC外作正三角形，E四边形，

正五边形，BE,。。相交于点。.

①如图1,求证：△A8E名△ADC;

②探究：如图1,NBOC=；

如图2,NBOC=：

如图3,ZBOC=：

(2)如图4,己知：AB,AO是以为边向△A5C外所作正〃边形的一组邻边；AC,A£是以AC为

边向△ABC外所作正〃边形的一组邻边，BE,C。的延长相交于点0.

①猜想：如图4,NBOC=(用含〃的式子表示)；

②根据图4证明你的猜想.

参考答案

一、单项选择题：每题3分，共8题，共计24分。

1.B

【解析】解：甲、边c夹角不是50。，・••甲错误：乙、两角为58。、50°,夹边是小符合ASA,・•・

乙正确；丙、两角是50。、72°,72。角对的边是〃，符合AAS.・••丙正确.故选：B.

2.B

【解析】•:PR=PS,PR上AB于R,PS_LAC于S

，"平分NBAC,ARP=/ASP=90。，,/RAP二NPAQ

在AAPR和4APS中

[NPAR=NPAS

NARP=/ASP

[AP=AP

:.^APR^^APS,：.AR=AS,故①又寸

VZPAQ=ZAPQ,・・・NRAP=/PAQ,AQP/7AR,故②对

在ABPR和AQS'D中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的，故③错

故选：B

3.A

【解析】解：VAC±AB,AC1CD,

:.ZI3AC=ZACD=9O0,

・•・A4C和，CD4是直角三角形，

V和一QM有公共直角边AC,

，以“HL”为依据判断△ABCg/XC/M,需要使3C=D4,故A正确.

故选：A.

4.A

【解析】解：A、①③⑤符合SS4,不能判定aABC出△Ab。；

B、①②⑤符合SAS,能判定zU8cg△A'8'C；

C、②®⑤符合AAS,能判定

D、①②③符合SSS,能判定△人BCgaABC.

故选：A.

5.C

【解析】解：*：BEA.CE,ADICE,

；・/ADC=/CEB,

VZ4CT=90°,即NACO+NBCE=90。，

^ACD+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZBCE,

在"C。和△C8E中，

：NADC=NCEB

<ZCAD=ZRCF,

IAC=CB

:.△ACD@/\CBE(AAS),

：.AD=CE=2,CD=BE=0.5,

：.DE=CE-CD=2-0.5=1.5(cm).

故选：C.

6.B

【解析】解：*/ZVIBC^ADEC.

:.ZACB=/DCE,

:.ZACB-ZACE=NDCE-ZACE,即ZACF=NBCE,

VNBCE=65。,

:.ZACF=NBCE=65°,

'：AF±CD,

:.NAFC=90。,

:.ZCAF=90°-ZACF=25°；

故选B.

7.D

【解析】解：A.当AB=1,BC=2,C4=3时，1+2=3,则线段AB、BC、。不能构成三角形，故

选项A不符合题意；

B.边边角三角形不能唯一确定，如图1,故选项B不符合题意；

C.角角角三角形不能唯一确定，如图2所示，故选项C不符合题意；

D.边角边可以画出唯•的三角形ABC,故选项。符合题意；

故选：

8.A

【解析】解—：如图,延长A。至点E，使得。E=AQ,连接CE,则AE=24），

E

AO是一/8。的中线,

:.CD=BD,

DE=DA

在t.CDE和丛BDA中，•ZCDE=NBDA,

CD=BD

:…CDE^.BDA（SAS）,

CE=AB=5，

在AACE中，AC-CE<AE<AC+CE,即7—5<2AZ）<7+5,

：A<AD<6,

观察四个选项可知，只有A符合，

故选：A.

二、填空题：每题3分，共10题，共计30分

9.130

AB=AD

【解析】解：在AABC和aADC中，BC=DC

AC=AC

.,.△ABC^AADC,.\ZD=ZB=130°,故答案为：130.

10.2

【解析】结合ASA判定三角形全等，选择2

11.135°

【解析】

VAABC和CDBE中，

\AB=BD

JzA=ZD

[AC=ED

/.△ABC^ADBE(SAS),AZ3=ZACB

ZACB+Zl=90°.・•・/1+/3=90°,，/1+/2+/3=90>+45°=135°

12.80

【解析】

解析：由题意得，Zl=140°,Z2=25°,Z3=15°

「△ABE和^ADC是AABC分别沿着AB、AC边翻折180。形成的

.\ZEBC=2Z2=50°,ZDCB=2Z3=30°

:.Za=ZEBC+ZDCB-5O0+300-80°

13.60

【解析】

解析：•••△ABC和aCDE是等边三角形

.*.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°

:.ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE

即/ACE=/BCD

在ZkACE和aBCD中

\AC=BC

^^ACE=ZBCD

[cE=CD

/.△ACE^ABCD(SAS),AZCAE=ZCBD

VZAPC=ZBPO,/.ZBOP=ZACP=60°,即NAOB=6()°

14.3

【解析】全等三角形共有3对，AACE^AADE,AACB^AADB,AECB^AEDB,

理由：在AECB和AEDB中

EB=EB

EC=ED,

BC=BD

/.△ECB^AEDB(SSS),

在ZkACE和ZkADE中

AC=AD

-AE=AE,

EC=ED

/.△ACE^AADE(SSS),

在AACB和AADB中

AB=AB

AC=AD,

BC=BD

.,.△ACB^AADB(SSS).

15.55°

【解析】解・：如图：

在"0。和△8CE中，

:AC=BC

<AD=BE,

\CD=CE

I

AACD^ABCE(SSS),

:・ND=NE,

•；NDPE+NI+NE=NDCE+/2+ND,

而NI=N2,

：.ZDPE=ZDCE=55Q,

：.ZAPB=ZDPE=55°.

故答案为：55°.

16.ISO0-a.

【解析】解：延长AE至使EM=AE,

连接A”，FM,DM,

•・•点E是CO的中点，

：.DE=CE,

在AAEC与△历中，

AE=EM

ZAEC=NDEM,

CE=DE

:・4AECgAMED(SAS),

:・NEAC=NEMD,AC=DMf

:EF上AE,

：.AF=FM,

•・•点?在8。的垂直平分线上，

：.FB=FD,

在△/%£>尸与448尸中，

AB=DM

<BF=DF,

AF=FM

:・AMDFgAABF(SSS),

：・ZAFB=NMFD,NDMF=NBAF,

:.ZBFD+ZDE\=ZDE\+ZAFM,

：.4BFD=4AFM

=180°-2(NDMF+NEMD)

=180。-(ZFAM+ZBAF+ZEAC)

=180°-ABAC

=180°-a

故答案为；180。-明

17.回

【解析】解：过点B作B/_LCD交DC的延长线交于点F,如右图所示,

,:BFICD,BELAD

/BFC=/BEA=90

•,/ABC=/ADC=90

.•.NABE+NEBC=90，NEBC+NCBF=90

；2ABE=/CBF

•.AB=CB

；・AAEBnCFB(AAS)

BE=BF,SABE-SBFC

'S四边形ABCD=S正方形BEDF=1°，

/.BExBF=10.

即BE2=10，

:.BE=加，

故答案为JiU.

18.4

【解析】VZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,

/.△ABE^AACF(AAS),

.\ZBAE=ZCAF,BE=CF,AF=AE,故②正确，

ZBAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,即N1=N2,故①正确,

VAABE^AACF,

；・AB=AC,

又・.・NBAC=NCAB,ZB=ZC

.,.△CAN^AABM(ASA),故③正确，

CD=DN不能证明成立，故④错误

VZI=Z2,ZF=ZE,AF=AE,

AAAFN^AAEM(ASA),故⑤正确.

三、解答题：共9题，共计86分。

19.(1)证明见解析：(2)证明见解析

【解析】(1)证明：QAB//CDZA=ND,ZABO=ZDCO,

vA13=CD,:.iABO^DCO(ASA\

(2)证明：•.FA80gOCO,「.80=CO

•/BE//CF,NOBE=NOCF,ZOEB=ZOFC

.qOBEgOCF(AAS)...BEnCF.

20.见解析

【解析】证明：VABIAC,AD1AE,

:./BAE+/CAE=9O°,/BAE+/BAD=900.

:.ZCAE=ZBAD,

又AB=AC,/D=ZAEC,

.,.△ABD^AACE(AAS),

；・AD=AE.

21.见解析

【解析】

VAB/7DF

.\ZB=ZCPD,ZA=ZFDE

VZE=ZCPD

.\ZE=ZB

在aABC和z\DEF中

ZE=

<ED=AB

［乙4=ZFDE

AAABC^ADEF(ASA)

22.见解析

【解析】答案：(1)证明如下(2)BD1CE

解析：(1)VZBAC=ZDAE=90°

:.ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD

Z.ZBAD=ZCAR

在ABAD和ACAE中

AB=AC

</BAD=/CAE

AD=AE

.'.△BAD^ACAE(SAS)

(2)VABAD^ACAE

.\ZABD=ZACE

VAB=AC,NBAC=90°

.\ZABC=ZACB=45°

；・ZABD+ZDBC=ZABC=45°

■:ZABD=ZACE

:.ZACE+ZDBC=45°

:.ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=90°

:.ZBDC=I8O°-ZDBC-ZDCB=90°

即BD±CE

23.(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)DE=AD-BE,证明见解析.

【解析】解：(1)①证明：；AD_LDE,BE1DE,

:.ZADC-ZBEC-9O0,

'：ZACB=90°,

:.ZACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

.\ZDAC=ZBCE,

在aADC和ACEB中，

NCDA=NBEC

ZDAC=/ECB：.AADC^ACEB(AAS).

AC=BC

②证明：由(1)知：AADC^ACEB,

；.AD=CE,CD=BE,

VDC+CE=DE,

；.AD+BE=DE.

(2)成立.

证明：VBE1EC,AD±CE,

AZADC=ZBEC=90°,

.\ZEBC+ZECB=90°,

VZACB=90°,

ZECB+ZACE=90°,

.\ZACD=ZEBC,

在AADC和ACEB中，

/ACD=4CBE

ZADC=ZBEC,.,.AADC^ACEB(AAS),

AC=BC

；・AD;CE,CD=BE,JDE;EC-CD=AD-BE.

24.(I)证明如下(2)70°

【解析】解析：(1)VZACB=90°

:.ZCBF=ZACB=90°

在RlAABE和RCACBF中

\AE=CE

[43=BC

；・RlZkABE和RMCBF(HL)

(2)VAB=BC,ZABC=90°,ZCAE=20°

:.ZBAC=ZACB=45°

■:ZBAE=45°-20°=25°

由(1)可得，ZBCF=ZBAE=25°

:.ZACF=ZBCF+NACB=45°+25°=70°

7=1尸2

25.(1)全等，理由见详解；PC1PQ,理由见解析；(2)存在，,一，或13.

x=1x=—

2

【解析】解.：(1)当，=1时，A"=8Q=1,BP=AC=3.

乂・・・N4=NB=90。，

在AACQ和MPQ中，

AP=BQ

ZA=ZB:.\ACP^M3PQ{SAS).:,ZACP=NBPQ,

AC=BP

ZAPC+ZBPQ=AAPC+Z4CP=90°.

ZCP(2=90°,

即线段PC与线段PQ垂直.

(2)①若AACQ=ABPC，

则AC=BP,AP=BQt

3=4—/t=\

则《,解得：\

t=xtx=\

②若AACP合RBQP,

则AC=8Q,AP=BP，

t=2

3=xt

则（解得:3；

x=—

2

t=2

综上所述，存在o或

3使得MCP与ABPQ全等.

x=\

26.（1）见解析；（2）图②：BF—MF=CD；图③：FM+BF=CD

【解析】（1）证明：如图，过点A作4V_LAB交所的延长线干点N.

图①

/.ZNAB=90°.

■:Z4BC=90。，

:・ZABF+/EBC=90。,ZNAB=ZABC.

,：CDA.BF,

:.ZBCD+ZEBC=90°.

:.ZAB1・=/BCD.

乙NAB=/ABC,

在MBN和△8CO中，AB=BC,

NABF=/BCD,

・•・用侬△8CO（ASA）.

:・AN=BD,BN=CD.

;AB=CB,ZABC=90°,

:.ZC4B=45°.

ANAF=^NAB-ABAC=45°.

:.ZNAF=ZFAM.

,:AN=BD,AM=BD,

；・AN=AM.

AN=AM,

在ANAF和中，ZNAF=NA以F,

AF=AF,

:.△A^F^A;W1F（SAS）.

:.FN=FM.

VBN=FN+BF,

Z.BF+MF=CD.

（2）图②：BF-MF=CD.

证明：过点A作4V_LA3交M于点N.

图②

:.ZA^4/?=90°.

,:ZABC=90°,

:.ZABF+/EBC=90°,/NAB=NDBC.

CDA.BF,

:.NBCD+NEBC=90°.

:.ZABF=/BCD.

NNAB=/DBC,

在4.ABN和△BCQ中，AB=BC,

ZABF=/BCD,

:.△A8Vd8CQ（ASA）.

:,AN=BD,BN=CD.

,:AB=CB,ZA/?C=90°,

:.NC48=45。.

:.NC48=NM4F=45。，

■:zLNAM=90°

:.4NAF=ZNAM-ZMAF=45°.

:.NNAF=NFAM.

'：AN=BD,AM=BD,

:.AN=AM.

AN=AM,

在$N4尸和AJlM厂中，＜/附尸=/加4尸,

AF=AF,

△A64F^AM4F（SAS）.

:.FN=FM.

'：BF-FN=BN,

:.BF-MF=CD.

图③：FM+BF=CD.

证明：如图，过点人作人义工4人交所的延长线于点N.

图③

:.ZM4B=90°.

'：ZA«C=90°.

：・ZABF+/EBC=90。.ZNAB=ZABC.

CD1BF,

:.ZBCD+ZEBC=90°.

:.ZABF=NBCD.

NNAB=ZABC,

在i.ABN和ABCD中，•AB=BC,

NABF=/BCD、

:.△A8Ng48CO（ASA）.

:.AN=BD,BN=CD.

•：AB=CB,ZABC=90°,

:.ZCAI3=450.

：・4NAF=乙NAB-ZBAC=45。.

:.Z^IAF=^FAM.

VAN=BD,AM=BD,

:.AN=AM.