指数函数与对数函数（知识清单+7典例讲义+6方法技巧+分层训练）解析版-2027届高考数学一轮复习

第13讲指数函数与对数函数

(知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练)

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近3年考查情况题型分值

指数对数大小比较、对数运算性质l0gaMN=10gaM+k)gaN、函数定点(1,0)单选、填空5分

题

对数函数单调性、对数不等式求解10g2(%-1)<1单选、多选5分/6分

题

复合指数函数y=2/-2》单调区间与最值填空题5分

012

指对辕综合比大小：a=2,b=Iog20.1,c=0.1单选题5分

对数换底公式】Ogab=*化简求值单选、解答5分/10分

题

指数型偶函数判定f(%)=标+a-单选题5分

复合对数函数y=logo.5(/-1)定义域、单调性判断单选题5分

指数不等式求解2“1>4“】，同底转化单调性单选题5分

【知识点01】根式

(1)一般地，如果炉=凡那么x叫做i的〃次方根，其中且"WN*.

(2)式子，0叫做根式，这里n叫做根指数.叫做被开方数.

(3)(近)"=@.

当〃为奇数时,

当〃为偶数时，9=同=伫』

【例i】化简下列根式：（1）（昨守；（2）VF可

解析：（1）由（近），=a,得（在=-5：

（2）偶次根式需绝对值：在可=1-2|=2。

【知识点02】分数指数幕

正数的正分数指数哥：an=V港£N'，心1）.

正数的负分数指数幕：QV=-ny==(«>0,///,/：£N*,/Z>1).

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数呆没有意义.

【例2］将下列根式化为分数指数累：（1）/；（2）盍

解析：（1）Va^=as；

⑵京=j=a"。

【知识点03】指数累的运算性质

就/=仁；(aT=a2；(abY=aW(a>0.b>0.r.s£R).

【例3】化简3•加+

原式

解析：=a7・

=a1

【知识点04】对数的概念

一般地，如果a=M〃＞（）,且。/1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=lo%N,其中生叫做对数的底数，”叫做真

数.

以10为底的对数叫做常用对数，记作加3.

以e为底的对数叫做自然对数，记作InN.

【例4】将指数式化为对数式：（1）34=81；⑵2-3=：

8

解析：（1）log381=4；

（2）log=一3。

2O

【知识点05】对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：log,』=QJogM=La"gaN=N3>0,且a=^\,N>0).

⑵对数的运算性质

如果心0,且l,M>0,/V>0,那么：

①1ogw(/W/V)=lr)gaM+lr)g4/V：

②log,=10gqM—log„M

③log,M=zd2gyM(〃eR).

(3)对数换底公式：10&力=警为>0,且a#l；b>0；c>0,且cWl).

logc。

【例5】i+Wlog6124-log63-log66

原式=log6(12x3)-1

解析：=>og636-1.

=2-1

=1

【知识点06】指数函数及其性质

⑴概念：一般地，函数y="(a>0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

过定点(01),即x=0时j=l

性质__________________________________

当A>0时，迂1；当A<0时,,V>1；

当x<0时，凶£1当A>0时,Ovycl

增函数减函数

【例6】比较大小：1.8。5与1.8。3

解析：函数y=1.8戈中a=1.8>1,在R上单调递增;

因05>0.3,iftl.805>1,803O

【知识点07】对数函数的图象与性质

a>\0<。<1

y

X=1.X=1

;产log/

«LO)

图象

1监,0)X0

1：)=】og/

定义域(0.+8)

值域R

过定点(L0),即x=l时,y=0

当工>1时住Q；当x>\时j<0：

性质

当0<x〈l时,v<0当00<1时,v>0

增函数减函数

【例7】求y=log2(x—2)的定义域与单调区间

解析：

定义域：真数大于0,x-2>0=>x>2,即(2,+8)；

外层函数y=log2〃递增，内层〃=%-2递增，由同增异减，函数在(2,+8)上单调递增。

【知识点08】反函数

指数函数且aW1)与对数函数y=k)&MG>0,且aW1)互为反函数，它们的图象关于直线v=x对称.

【例8】已知指数函数y=3%过点(2,9),求其反函数所过定点，并写出反函数解析式。

解析：

y=3”的反函数为y=log3x；

由反函数对称性质，原函数过(2,9),则反函数过(9,2)。

用卜典向精讲

【题型一】根式与指数基化简求值

【例1】(2026.重庆沙坪坝.模拟预测)已知集合4={0,1,4},8={14〃+3},若A=B,则y=()

A.亚B.2C.-1D.1

【答案】D

【详解】因为4=4,且力2+3之3,所以k°/即a=0，〃=±l，

Zr+3=4

所以。“=(±1)°=1.

【变式1】(2026•陕西榆根三模)已知实数。＞0月.awl,bwR,函数/'")=一-7+尿3+/+1,若/⑴=3,则

a+\

/(-9=()

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】B

【分析】根据函数/(X)的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可.

【详解】令g(x)=-7二+以，

a+\

贝|J8(T)=-+〃(-4=-以3，

a+11+a

所以g(x)+g(r)=l，

所以/(")+/(-x)=g(x)+x2+l+g(一人)+(一工『+1=2丁+3,

所以川)+/(-1)=2—+3=5,

因为"1）=3,所以/（—1）=2.

【变式2】（2026•山西临汾・二模）已知户=4（6/>0,且〃工1）,则"=______

as+a~x

13

【答案】亍/3.25

4

【详解】已知/工=4<«>（）.且awl）,令，一优，贝Uf>0,r=d,解得，=2,

【变式3］（2026•陕西安康・三模）若2"=次3'=〃，则4"-27"=.（用加,〃表示）

【答案】/

4"

【分析】由条件结合指数幕的运算性质可得4"=〃/,27〃=/,结合关系・可得结论.

4“27”~rF

【详解】因为2"二也3〃=〃，所以4“=疗,27〃=",

4"二加

所以4a.27”

27^-^

【题型二】对数式化简与求值

【例1】（2026•河南•模拟预测）log?（侬175°+tan150）=（）

A.1B.6C.&D.2

【答案】D

【分析】根据两角和与差的正切公式，结合对数运算性质求解即可.

。。3

[详解]tan75°=tan(450+30。)=⑶自」+tan30=----\=2+6,

''I-tan45°tan30°逐

1-lx——

3

3

…/…”c\tan450-tan3003,k

tanl50=tan(45°-30°)=---------------=-----=2—，3,

'7l+tan450tan30°..逐

1+lx——

3

所以log?(tan75。+tan150)=log2[(2+&)+(2-6)]=

log24=2.

3、>若/(〃)=：，

【变式1］（2026•甘肃武威・模拟预测）已知函数/"）则/(—〃)=()

3X+1

B

A.A-Ic4

【答案】D

【详解】法1：由八。）二（,3"1,所以3“=!，所以，log3,

得

3“+154

3.“44

所以-a=log34,即3"=4,所以/（一。）=

3"+14+15

3一"3"1

法2：/⑷+/(—〃)=J-——=---+一

3“+13-“+13“+11+3"

I4

所以/（—。）=】一/（/二1-3=3.

【变式2】（2026.山东泰安・模拟预测）已知3小=及，〃=1%6,则〃-2〃?

【答案】1

【详解】由3"'=可得机=logaa=!log32,又〃=loga6,

z

则n-2m=log36-2xTlog32=log3-=log33=1.

【变式3】（2026•安徽合肥・模拟预测）e^log2（log4x）+log4（log2x）=2,

【答案】16

log4x>0

【详解】由题意得log2K>0,解得x>l.

,r>0

log2(log4,v)+log.,(log2x)=2,

即log?(J1%工)+glog?(1%。=2,

2

则log?^log2x

+log2(log2x)2=2,

则log?log2Aj(log2x)2=2,

则自。8/）（皿/月=4,即；械2.»=4,即（log”*=8,

2

即（log,券=（2?）"Mlog2x=2,解得x=16.

【题型三】指数、对数函数定义域求解

【例3】（2025•黑龙江•二模）已知命题〃：Vxe（0,+8）,x>，；命题夕:3%£（0,+8）,。,=欣，则（）

■X^

A.。和q都是真命题B.-iP和“都是真命题

c.〃和r都是真命题D.力和r都是真命题

【答案】D

【分析】对于命题〃，对于命题，/,举出例子判断为假命题，进而根据选项判断正确选项.

【详解】对于命题P,当X«0,l）时;x<-t所以〃为假命题；

A

对于命题4,因为\/xe（0,+8卜e'>x>hu•成立，所以4为假命题.

故选：D

【变式1】(多选)(2024・广东•模拟预测)已知函数/(x)=ln(/+x+间(wwR),则()

A.当〃时，/("的定义域为R

B.f(x)一定存在最小值

C.f(x)的图象关于直线工=-；对称

D.当加之1时，/")的值域为R

【答案】AC

【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.

【详解】对于A：若〃>!，则△=则二次函数y=./+x+小的图象恒在x轴的上方，

4

即W+x+〃C0恒成立，所以/(x)的定义域为R，故A正确；

对于B：若〃?=0,则/(x)=ln(f+x)的定义域为(—,-1)50,”)，值域为R,没有最小值，故B错误:

对于C由于函数>=ln(x2+〃.；)为偶函数，其图象关于轴对称，

将该函数的图象向左平移3个单位长度即可得到函数m(x+g)+〃?-(=ln(x2+x+/”)的图象，

此时对称轴为直线工=-；，故C正确；

对于D：若〃栏1,则y=/+x+〃?=(x+g)+/〃一;,故/(x)的值域不是R,故D错误.

故选：AC

【变式2](2026•贵州毕节—模)函数/(6=1理2。26(9-16耳的定义域为.

【答案】(9,0)11(16,”)

【分析】根据对数的真数大于0即可得解.

【详解】令/一16工二1。-16)>0,

解得xvO或x>16,即XC(YO,0)U(16,+8),

因此函数/("的定义域为XW(Y\0)D(16,+8).

故答案为：(-℃,0)U(16,+oo).

【变式3】(2025•湖北恩施•模拟预测)若函数/(幻=风/-2at+2)定义域为R，则〃的取值范围是

【答案】［0,2)

【分析】应用一元二次不等式恒为正分4=0，〃>。两种情况计算求解.

【详解】G(x)=ax2_2ax+2>0对一切实数均成立，

所以当々:0时，显然成立；

当。>0时，△=4/-4〃x2<0,

解得ae(0,2)；

故〃的取值范围为［0,2).

故答案为：［0,2)

【题型四】指数函数、对数函数的值域

【例4】(2025•甘肃武威・模拟预测)如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为()

B.f(x)=\n^\/x2+\-xj

C./(x)=\n\/x2+1+xD./(x)=lnVx2+1-x

【答窠】B

【分析】应用函数对称性判断C,D,再根据x>()时，/(力>()排除A.

【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，

/(x)=ln>/7：i+x中，/(2)=lnV5+2,/(-2)=lnV5-2,一〃2),f(—2)不相等，所以C选项错误;

)(加功正巧-工中,/(2)=ln>/5-2,/(-2)=lnV5+2,-/⑵,〃一2)不相等，所以D选项错误;

对于/(6=ln(V71i+x),当x>0时，/(x)>0,与图象不符，故排除A.

故选：B

【变式1】(多选)(2026♦海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数/(幻=('丫，设a,Z^R且下列说法正

、2J

确的有()

A.f(a)>0B.f(a+b)=f(a)f(b)

D.—叽。

C.

a-h

【答案】ABD

【详解】对于A,由指数函数的值域是(0,+X),可得八〃)>0,故A正确;

可得/(〃+〃)=(£|""=6J•(£]"=/⑹/⑸，故B正确;

对于B,由函数f(x)=

对于c,两者不一定相等，故c错误;

对于D,因为。<卜，所以=在R上单调递减，所以〃：二［』<0,故D正确.

【变式2】(2025•贵州•二模)已知函数/(外=上一(6/>0)的图象经过点P(〃?,3),(2(/7,-2).若3M=25〃机,

3-ax

则4=.

【答案】5

【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出

/(^)=-——=3

【详解】依题意，3，整理得:，则6片”"?=6位，

3",2所=3-3”

/(^)=———=-2

3-an

而3'""=25〃〃?，因此a2mzi=25-,又〃〃z>0,则^=25,而。>(),

所以a=5.

故答案为：5

【变式3】(2025•陕西西安・一模)已知函数g(x)="一"m'且函数/*)的图象与g(M的图象关于直线x=-l对

⑴求“冲的解析式;

(2)证明：/(x)>0.

(.v+3)ln(-x-2)

【答案】⑴/3)=(x<-2)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件,利用轴对称列式求出解析式.

(2)由(1)的结论，按-3<x<-2,xW-3分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证.

【详解】(1)函数g(x)=』一)|n\因函数/8)的图象与g(x)的图象关于宜线x=-l对称,

x+1

(―A--2—1)ln(—x—2)(A*+3)ln(—A'—2)

则/(x)=g(-x-2)=

(x+3)ln(-x-2)

故函数/(x)的解析式为/。)=(xv-2).

(x+3)ln(-x-2)

(2)由⑴知，f(x)=(x<-2),恒有x+l<-l<0,

若一3Vx<-2,则0<-工一2<1,ln(-x-2)<0,而x+3>0,因此/(x)>。；

若xV-3,R!|-x-2>l,ln(-x-2)>0,x+3<0,因此/(x)NO,

综上，可得/(x)NO.

【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式

【例5】(2026・四川眉山・模拟预测)已知集合人=卜愣>9},集合8={1,2,3,4,5},则()

A.{2}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】C

【详解】由3*>9=32,解得x>2,所以A={x|x>2},

因为8={1,2,3,4,5},所以AP13={3,4,5}.

【变式1】(多选)(2025•湖北孝感•三模)己知函数〃x)Togjx-l|在区间(f,l)上单调递增，则()

A.0<"1B.a>\

C./(«+2022)>/(2023)D./(«+2022)</(2023)

【答案】AC

【分析】设Z=|x-l|,可得函数z=k-l|在(-8,1)上单调递减，根据复合函数的单调性即可得〃的范围即可判断AB,

利用单调性即可判断CD.

【详解】f(x)=log.|x-l|的定义域为(9,1)51+0)).

设2=卜-1|,可得函数z=|x-l|在(yj)上单调递减，

在(1，+8)上单调递增，

根据复合函数的单调性可得0<avl,故A正确，B错误；

由0va<l,可得2022va+2022V2023,

又/(x)在(1，+8)上单调递减，

则“a+2022)(2023),故C正确，D错误.

故选：AC.

【变式2](2025•福建宁德•三模)设函数/(x)=|log2/|,则满足的尤的取值范围是.

【分析】先求得函数定义域，然后分xN2与l<x<2讨论，结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果.

【详解】由/(力=|1。82可可得/(xT)=|log2(x—1)|，

x>0,

则工-1>0,解得%>匕所以定义域为(1，内)，

当时，log,x>0,log,(x-1)>0,

由可得log2X<】og2(xT)，即xvx-l,无解；

当1cx<2时，log2x>0,Iog2(x-l)<0,

由/(x)</(x-l)可得log2X〈Tog2(x-l)，BPlog2[x(x-l)]<0,

B|Jx(x-l)<l,解得!

又l<x<2,所以

2

即不等式的解集为[上半]

故答案为：(i，W)

4

【变式3】(2025•河北张家口•模拟预测)已知奇函数/(幻=。——-(6/eR).

1+2X

(1)求〃的值；

⑵若对于任意的不等式/6>+x+〃?-1)+/1-如)2。恒成立，求〃?的取值范围.

【答案】（1）。=2

⑵[1收）

【分析】（1）先根据奇函数性质求得。=2,然后利用奇函数定义判定即可得解.

（2）结合（1）根据指数函数单调性判断/J）是R上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为

9Lr

一丫2一丫+]m>-----1|3

〃，之t*十1恒成立,分离常数令17=/,贝I-11对不彳恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不

x--x+lt+L22J

等式求解最值即可.

【详解】（1）由题意知/*）的定义域为R,

又/。）是奇函数，所以/（0）=。一▼4=。-2=0,解得。=2,此时/。）=2-六4,

42'-J222川

故故t)=2-=一，

\+2-x1+2-¥1+2*=V-T7F

所以/（x）是定义域为R的奇函数，所以。=2.

4

（2）因为）,=2、在定义域上单调递增'所以小）=〃-证在R上单调递增'又/⑴是R上的奇函数'

：

所以/（〃加+工+〃2-1）+/①一〃次）之（）等价于/（如2+4+〃?-1）之一/卜2一处），

即f(^V+x+/zz—1)>/(一厂+"w),所以nvc1+x+/〃—l>—Jt2+mx»

即〃?•(r—x+1)2-厂—x+1,因为f-x+i=x—g)+；>0恒成立,

匚Ll、l、—X2—x+1

所以〃此一;------，

X--x+1

机N[J+I=-(-")+2(j)=_1+_雪U—

r-x+1x2-x+\(1-x)2-(l-x)+l

令1—x二r,因为—gwxwg,所以

zr乙p-

所以〃此T+二石7对于一切恒成立，

，+一-I22

t

/\

因为，+42旧=2,当且仅当，=1时取等号，所以—j——1=1,

1I)max

所以〃]之1,当且仅当人=0时取等号，即加的取值范围为U,y).

【题型六】比较指数塞、对数式的大小

【例6】(2026•云南•模拟预测)已知a=2".A=3Ec=log23,则()

A.u>c>bB.b>c>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

,2L,L,

【详解】3>3>2>2Jog23<log24=2,故b>a>c

【变式1](2026.山东临沂.二模)已知实数X,)，，z满足r3'=y%g2)，=z310g2Z=1,则()

A.x<y<zB.z<y<xC.yvzvxD.xvzvy

【答案】D

【详解】由题意，.「3'=)，ziog2y=z31og,z=l.由十3'=1,得3x=i,

x

函数y=3*在(0,+8)上单调递增，y=-单调递减，

X

故方程有唯一解，且xe(0,l).

由Vlog2y=1，代入产应W(V2)2log,72=1,故y=五.

3

令h(z)=zlog2z,该函数在上单调递增，

3

因为/?(1)=0<1,/：(>/2)=(V2)log2Vl=>/2>1,所以1<z<yp2•

综上，x〈z<y.

【变式2](2024.河北衡水•模拟预测)己知。=lg99,Z>=log310,。=100处\则()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【分析1利用对数函数的单调性得到m人的范围，利用指数函数的单调性得到c的范围比较.

【详解】因为lgl0<lg99<lgl00,

所以1vaV2,方=log/O>log,9=2

易知c=100<svlOO°=l,

所以〃<万

【变式3】(2024•全国•模拟预测)己知命题“对于Vx£(。,—)，为真命题，写出符合条件的。的一个

值：.

【答案】-1(答案不唯一)

【分析】当xe(0,+8)时，er>1,当avO时，可得。可取任意负数，即可求解.

【详解】对于Vxe(0,+8),e*>l,

当a<0时，对于Vxe(0,+8),办+1<1,贝ij。可取任意负数，如-1；

故答案为：-1.

【题型七】反函数问题

【例7】(2026•广东广州•二模)若函数y=f(x)的图象与y=log34+a的图象关于直线对称,且"2)=18,则

。=()

A.-9B.-log.2C.log,2D.9

【答案】B

【分析】根据两个函数图象关于直线丁=大对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为/")的解

析式，最后根据题意得到关于。的方程，求解

【详解】因为两个函数图象关于直线y=x对称,

所以），=fM是y=log3x+a的反函数，

对y=log3X+a整理得：log/=y-。，x=3'“"，

交换HP可得反函数：=

又因为/（2）=18,所以32-0=18,

化简可得：—=18,即3"=:，

3"2

两边取以3为底的对数，则，=loga；=-log32.

【变式1】（2025•辽宁鞍山•一模）函数尸-痴』2?让的反函数是（）

A.y=—x2-2x-4t.v<2）B.y=—2x+4?xW（

C.V=-X2-2X-4?X>（D.y=-x2-2x+4?x>（

,2/2

【答案】B

【分析】求得原函数的值域，再用）'表示x,写出反函数即可.

【详解】因为），=-0T7+2W2：,所以函数>=-G7+2的值域为{y|y42},

由尸-必-4+2,所以y_2=_j2…,得（y_2f=2x_4,

所以x=?（y-2）2+2=：）2）,+4,

L2

所以函数y=-&rq+2的反函数为-2x+4?x4（.

故选：B.

【变式2】（多选）（2024•湖南怀化•二模）已知函数尸x+e、的零点为%27+底的零点为超，则（）

A..V,+x2>0B.中2<。

v,

C.e+lnv2=0D.x}x2-xy+x2>\

【答案】BC

【分析】利用函数零点的意义，结合函数y=e，与），=lnx互为反函数，确定不为的关系，再逐项分析判断得解.

【详解】依题意，%+e"=0oe"=-％,x2+Inx2=0<^>Inx2=-x2,

则X，巧分别是直线丁=一与函数1e'，y=Inx图象交点的横坐标，

而函数y=1与.y=hi4互为反函数，它们的图象关于直线y=%对称，

又直线），=一不垂直于直线），=工，则点（和炉）与点（占，M刍）关于直线y=x对称，

则W=e，=—%>0,于是内+工2=（）,士式2<。，9+140=0，BC正确，A错误；

因为0<12〈I，％+&=0,所以-1<%<0，

则%电-西+%-1=（%+1）（%即芭&一%+七v1,D错误.

故选：BC

【变式3】（2025•陕西宝鸡•二模）已知厢石分别是函数〃x）=e'+x—2,g（x）=lnx+x—2的零点，则e*+ln占的

值为•

【答案】2

【分析】根据,=ex与y=lnx的对称关系可知内十七=2,由此可求得结果.

【详解】由题意知：r'=2"'v,,

*t-N，%分别为y=eA、y=\nx与直线y=2-x交点的横坐标,

•.•y=e*与y=lnx关于直线y=x对称，y=2.1关于直线y=x对称,

y=2-x

则由，得t：

y=x

1

7.e*4-lnx,=2-X］+2-x2=4-(x)+xj=2.

故答案为：2.

Q方法技巧

【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧

技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为塞形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步出

错。

核心公式：

am

mnm+nmn

a-a=a,—=a~,logaM+logaN=log.(MN)

［例1］计算1叫8+近*

3

log48=log222=1log22=?

解析：VI>=(24)4=23=8

原式=1+8=y

【解题大招02］指对函数定义域秒杀技巧

技巧口诀：对数真数必大于0,底数大于0且不为1,分母不为0,根式非负，多重限制联立求解。

【例2】求/⑺二号二的定义域

解析：列约束条件：

<x—1>0,%>1.(|

(l=Lx2

10g2(x一1)。0={%-1工1=">1*

定义域：(1,2)U(2,4-co)

【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法

技巧原理：设复合函数y=f(g(x)),内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。

xx

单层单调性：a>1»y=a>y=logax递增；OVaVl,y=a>y=logax递减。

【例3】求y=logi(x2-4x)的单调区间

2

解析：①定义域：x2-4x>0=>x<0或%>4

②拆分：外层y=logL〃（递减），内层〃=/一4%

2

③同增异减：

XG（-oo.O）,内层递减、外层递减，复合函数单调递增

XG（4,+oo）,内层递增、外层递减，复合函数单调递减

【解题大招04］指对基数值大小比较

解题套路：找中间量0、1分层，先分层再精细对比。

1.指数：a>l底数大则值大；0VQV1底数大则值小；

2.对数：logaX>0（x>1）,logaX<0（0<X<l）o

0,23

【例4】比较a=3,b=log30.2,c=0.2大小

a=302>3°=1

解析：b=log30.2<log31=0

0<c=0.23=0.008<1

大小关系：b<c<a

【解题大招05】指数、对数不等式通用解法

核心规则：同底函数单调性脱壳，Q>1不等号不变，0<Q<l不等号反向，对数必须保留真数大于0。

【例5】解不等式22*1>243

解析：底数2>1,单调递增，直接脱壳：

2x—1>%+3=>%>4

解集：（4,+8）

【解题大招06］反函数性质秒杀技巧

核心结论：y=a"与y=logax互为反函数，图象关于y=x对称；原函数点（m,n）,反函数必过（八,血）。

【例6】已知y=2x过点（3,8）,求其反函数定点。

解析：

y=2"反函数为y=log2x,由对称性质，反函数过定点（8,3）。

。分层加练

【基础过关】（共8题）

一、单选题

1.（2026•甘肃兰州•模拟预测）记〃=2・皿，力=log[；,c=log56,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【详解】^=Iog||=l,

4=2-3=/，因,3〉？=2,故

c=logs6>log55=1.

综上可得大小关系：a<b<c.

2.（2026.山西.二模）集合A=卜弧42},B={yGN|2v>8）,贝1」八口月=（）

A.（3d]B.{3,4,567,8}C.{45,6,7}D.0

【答案】C

【详解】由A={x|lnxW2}=N0vx4e、7.389},其中e2az389,

又6=卜七叫2，>8卜{”用户3},

则Ac4={4,5,6,7}.

3.（2026•河北保定•三模）已知集合人={“£2|1门>1},4={-1,0,1,2,3,4},则Ac"的非空真子臭的个数为（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【详解】由lnx>l=x>e,所以{xeZ|x>e},

所以AC|3={3,4},所以AcB的非空真子集有{3}和{4}共2个.

二、多选题

4.(2025•河北保定•二模)若函数/(幻=电：+怆(2百，则()

A./*)为减函数B.f(x)=1<=>x=5

C./(x)的值域为RD./。)<2。工<50

【答案】BC

【分析】根据对数的运算性质化简函数/。)的解析式，即可判断选项A,C；根据对数函数的性质解方程与对数不等

式，即可判断选项B,D.

【详解】因为/W=lg』+lg(2W)=lg|L2x2

lg(2x)=lg2+lgxx>0,

X•X

所以/(X)为增函数，/(X)的值域为R,故选项A错误，选项C正确;

/(-v)=1<->lg(2x)=1<->2.v=IO<->.v=5r故选项B正确；

/(x)<2olg(2x)<2o0<2x<100o0<x<50,故选项D错误.

故选：BC.

三、填空题

5.(2026・浙江绍兴•模拟预测)已知H吗2=1,则2-"=.

【答案】|

【详解】由。陛32=1,得1叫2“=1,所以27,所以2-。=晟=；.

6.(2026・云南•模拟预测)已知J",则/(〃2))=_______

Inx,x>\

【答案】2

pvX<1

【详解】因为〃x)=J

Inx,x>1

则/(/(2))=/(卜2)=/2=2.

四、解答题

7.（2024・山东•模拟预测）计算:

(l)(-7r)°4-(1.5)-2x/y

+

+江+江

【答案】⑴1

⑵//

【分析】（1）利用根式与指数辱运算法则计算即可得出结果;

（2）由根式与分数指数塞的互化，计算化简即可得出答案.

⑴原式…停卜停）1449

【详解】——+9=l+-x-10+9=l+-x一一10+9

0.19<2>94

=1+1-10+9=1

（2）由根式与分数指数暴互化运算可得，

________3223_3_=2_3」

WaE+址F+=a方-rZ?5/行-b5-b^=a

8.（2024•广东肇庆•一模）已知函数/6）=。?"（其中〃，b为常量，且a>0,awl,0）的图象经过点

A（l,10）,B（2,50）.

（1）求〃，b的值；

（2）若关于戈的不等式//-（［］2，〃+3在k2,2］上有解，求机的取值范围.

【答案】（l）a=5,b=2

【分析】（1）把AK两点坐标代入函数解析式，求。，〃的值;

(2)证明函数g(x)=L-有g⑵之加+3,可求〃?的取值范围.

【详解】(1)函数/(X)=〃?"的图象经过点A。,10),8(2,50),

ba=1()。二5

得…5。,解得

b=2

⑵由⑴得〃=5,b=2,

二］=(qJ在［-2,2］上单调递减,

因为函数)，="=2'在［-2,2］上单调递增，函数)，=

在卜2,2］上单调递增,

所以g(x)在［-2,2］上的最大值为g(2)=2、

因为关于工的不等式"-目？/〃+3在［-2,2］上有解，

所以〃?+3«骨9924解得小黄，

即，〃的取值范围为•

【拔高选练】(共6题)

一、单选题

1.(2026•陕西榆林•模拟预测)已知集合人二田产囚，集合8山eZ|/_2x_3v0},则4nA=()

A.(-1,3)B.(0,3)C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析［化简集合，即可根据交集的定义求解.

【详解】由题意，得4={乂y>0},8={xeZl—lvxv3}={(U2},所以4口8={1,2}.

2.（2026•山东德州•模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数AW训练数据量x

（单位：GB）的关系式为4=h]5竽，其中攵为常数,当训练数据量为，GB时，模型的