2026高考数学复习：空间直线、平面的平行（附答案）

空间直线、平面的平行

（分值:66分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.己知直线4力,平面火给出下列四个命题：

①若则。〃火②若a//a,b//”,则a//b;③若力〃a,则〃〃a;④若则a

//b.

其中真命题的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

2.如图所示，在四棱锥尸人5co中,MN分别为PC/C上的点，且MN〃平面尸人。则下列说法

正确的是（）

3

AB

（第2题图）

\.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

3.（2025•浙江强基联盟模拟）在棱长为1的正方体A8CQ-A出GOi中，点P,。分别为棱

AA\,C\D\上的动点（可与端点重合），若PQ〃平面ABC,则线段PQ的长度为（）

A.yB.V2C.yD.V3

4.如图所示，平面a〃平面伙PA=64B=2,8Q=12,则AC=.

（第4题图）

5.在三棱锥A-BCD中,4B=C0=2,过BC中点E的截面与AB,CD都平行，则截面的周长

为.

6.（12分）（2025•上海,18）如图,P是圆锥的顶点，。是底面圆圆心工8为底面圆直径,AB=2.

（1）若PA与底面所成角大小为小求该圆锥的侧面积；

（2）已知0是母线A/，的中点，点CQ在底面圆周上，公弧长为会且CD〃AB,点、T在OC上运

动,求证:QT〃平面PBD.

综合提升练

7.（2026•浙江温州高二期中）球。是棱长为位的正方体/WCO-A山iGD的内切球，点做为球

。表面上一动点,且满足〃平面ADC,则MAj+M4的最大值为（）

A.1g4B.2C.6D假8

8.（多选题）（2025•江西赣州模拟）如图，透明长方体A6cO-A山Ci"容器内灌入了一些水，棱

3c固定在地面.若改变容器的倾斜度（水不溢出），则（）

A.水的体积不变

B.水的部分呈棱柱状

C.水面四边形EFGH的面积不变

D.当E在棱A4］上时工E+BF是定值

9.如图1,在梯形"CD中工8〃。）,。）二24伐£：/分别为4/）,。）的中点,以4尸为折痕把

△AQE折起，使点/）不落在平面ABCF内（如图2）,那么在以下3个结论中，正确的结论

是.

①C"〃平面ABQ;②BE〃平面CQF;③CQ〃平面BEF.

图2

10.（13分）如图，在三棱柱8CE-AOE中，若G,"分别是线段AC,。产的中点.

（1）求证6〃〃平面BFC.

（2）在线段。。上是否存在一点P,使得平面GHP〃平面BC灯若存在，指出P的具体位置并证

明;若不存在，说明理由.

参考答案

空间直线、平面的平行

1.A解析对于①，若a//@UQ,则a//a或故①不是真命题;对于②，若a//a,〃〃夕，则a,b

可共面，也可异面，不一定得到故②不是真命题;对于③，若力〃氏则a//a或aua,故

③不是真命题;对于④，若a//a.〃ua,则a不一定平行于b,a也可以与b异面，故④不是真命题.

故选A.

2.B解析直线MNu平面PAC,MN〃平面PA。,平面P4CCI平面以。二左,所以MN〃尸4.故

选B.

3.B解析在正方体ABCD-A\B\C\D\中,ACi〃AC.

又ACu平面ABCACiQ平面ABC,所以AiC〃平面ABC

因为P,Q分别为棱A/UGR上的动点,PQ〃平面ABC,折以PQ即为4G,因此|PQ|二夜.故

选B.

4.9解析因为平面a〃平面⑶平面加平面P8D=AC,平面阳平面PBD=BD,所以AC〃BD,

旦MACSMBD%=*导，贝啜=磊=萍得AC=9.

5.4解析设CAAD,DB的中点分别为AG,”,连接EF,FG,GH,HE.

由三角形中位线定理知,EF〃48,/G〃CDGH〃AB,”E〃CQ,且

所=〃6=/8=1/6=，七=#。=1,所以E/"G〃,FG〃”段因此四边形ErG”是平行四边形.

因为EF〃48,EFu平面EFGH,AB@平面EFGH,

所以A8〃平面EFGH.

同理,CD〃平面E/G”,因此平行四边形EFGH的周长为2x(1+1)=4.

6.(1)解如图，连接P。,由题意知P0垂直底面,二PA与底面所成角大小为半

：.ZPAO=-,ZPOA=-,

3'2，

又0A=/B=1,，PA=2,

・1S自三兀0A/A=2兀.

(2)证明如图,作出点CQ7连接CD,BD,QT,QC,QO,OD,PD,在APAB中,丁。,。分别是

A8,”的中点,・・・OQ〃PB,又P8u平面P8Z),。如平面PBD,

.••0Q〃平面PBD.

二ZAOC=—=:且CD〃AB、："OCD=/AOC=1又是等边三角形，

0A33

：.CD=\=OBX8〃。氏J四边形088是平行四边形,・・・OC〃A。,又平面PBD,BDu

平面PBD,，0C〃平面PBD,又。。0。。=。,。。=平面0CQ,0Qu平面0。0,，平面。。。〃

平面PBD.

•・・QTu平面OC0,・・・Q7〃平面PBD.

7.A解析正方体ABCD-ABGQi中，可得A由〃CZ)i,AC〃AC

因为A归Q平面ADCCDiu平面ADC,所以A山〃平面ADiC.

同理可证AiG〃平面AD\C.

又因为A山rue尸Al,且A1BAGU平面A山G,所以平面45cl〃平面ADiC.

要使得〃平面AOiC,且点M为球。表面上一动点，

所以点M在平面A\BC\与球。的截面圆上，且截面圆恰为△AIG的内切圆.

因为正方体的棱长为0,可得正三角形48G的边长为2,其内切圆的半径为T，

以4B所在直线为x轴，以4B的中垂线为,，轴,建立平面直角坐标系，如图所示,

可得A(1,0),8(1,0),内切圆的方程为/+°[)24

设M(x,y),则MA]=(x+1)2+/+(x-1)2+^=2(^+/)+2,

=2(yjx2+y2)2+2

=2(J(x-0)2+(y-0)2)2+2.

因为J(x・0)2+(y・0)2表示内切圆上点到原点的距离，

可得内切圆与)，轴的交点为(0,竽)时，距离最大，最大距蕾为公2片竽,

•5O

所以(K4；+MB2)max=2x(争2+2咛故选A.

8.ABD解析因为水不溢出，则长方体中水的体积不变，故A正确;

因为水面EFG〃平行于地面，且棱BC固定在地面，即BC〃平面EFGH.

又平面BCGB£平面EFGH=FG,BCu平面BCC向，则BC//FG.

因为四边形EFGH恒为矩形，则BC//FG//EH.

又BCAD都垂直于平面

故均垂直于平面4884,

则水的部分呈棱柱状，故B正确；

由题意，旋转过程中，四边形EFG”恒为矩形，且8C=/G=而E尸二HG在倾斜过程中会发

生变化，故四边形EFG”的面积也会发生变化，故C错误；

当£在棱A4上时，由B可知，水的体积丫=1以4七+8斤).8。恒定不变.

又ABIC长度不变，故AE+"也为定值，故D正确.故选ABD.

9.①©解析对于①，因为C尸〃A8C网平面48。1Bu平面ABD,

所以CF〃平面ABR所以①正确.

对于②，延长AB到G,使4B=BG,连接OG,如图.

因为E为A。的中点，所以BE//DG.

因为DG与平面CDF交于袅D所以BE与平面CO/不平行，所以②不正确.

D

对于③，连接AC交3产于点O,连接。£如图.

因为CD=2AB、F为8的中点，所以48=CF.

因为人片〃。£>,所以四边形A8CF为平行四边形，即O为AC的中点.

因为E为A。的中点，所以。七〃CD.

又。比平面BERC8平面BEF,所以CQ〃平面BEF,所以③正确.

10.(1)证明连接8D.

・・•四边形ABC。为平行四边形,G是线段班)的中点，则G,”分别是线段B