2026年高考数学一轮复习专练指数与指数函数

第05讲指数与指数函数

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课后作业）（75）&.（6）0=（）

A.3B.3先C.9D.81

x>\

2.（2025•甘肃甘南♦模拟预测）若〃“二•,是R上的单调递增函数，则

4-|x+2,

实数〃的取值范围为（）

A.[4,8）B.（0,8）C.(48)D.(0,8]

3.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）定义一种运算（。*力）=<则函数/（x）=（e'xe—）

的值域为（）

A.(0,1)B.(0,1]C.[1收)D.(1,-Hx)

4.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）函数），=2、与），=-的图象关于（）

A.戈轴对称B.轴对称

c.直线丁=不对称D.原点中心对称

5.（25-26高一上•全国•课后作业）化简。力2•7a纺+-al2b67B.的结果为（）

,I3

x2&

D+显CZ这

A.-9"广氏Mb3J-9al2b3D--9a^b~

6.（24-25高二下•湖南•阶段练习）设函数/Q）=e丁，则/⑴（）

A.图象关于x=l对称，且在―）上是增函数

B.图象关干x=l对称,且在（1.+8）I•是减函数

C.图象关于1二-1对称，且在（-L-）上是增函数

D.图象关于x=-l对称，且在（7,内）上是减函数

二、多选题

7.（25-26高一上•全国•课后作业）已知.飞+〃6=3,则下列各式正确的是（）

A.产+产=7B.=18

86

c.a-+a-=45

三、填空题

8.(24-25高二上•四川绵阳•阶段练习)已知。＞。*＞。,且2a+b=2,则4"+2〃的最小值

为______

四、解答题

9.(24-25高一上•内蒙古乌兰察布•期末)计算:

⑴+(-6)。+yj(2-逐f

3

⑶若10-=4,10”=5,求I。年的值.

10.(24-25高一下•江西抚州•阶段练习)已知函数/(x)=(〃-2)(2-2-X)为偶函数.

⑴求。的值；

⑵若“力工17〃-5恒成立，求实数机的取值范围.

11.（24-25高一下•上海•阶段练习）设函数/（幻=优-/-1）・「">0且"1）是定义域

为R的奇函数.

⑴求左的值；

⑵若/⑴<（）,试判断并说明函数/*）的单调性；

⑶在（2）的条件下求使不等式/，+©+/（47）<0恒成立的1的取值范围.

B相遇高考

1.（2024,天津•高考真题）已知a,b£R,则"t?=瓜”是律"=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023•全国甲卷•高考真题）已知函数/（x）=e《T）2.记

W闺〜闺』闺,则（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3.（2023•全国乙卷•高考真题）已知/（幻=一口是偶函数，则。=（）

e-1

A.-2B.-1C.1D,2

c素养提升

5r+2。—1

__________x>1

1.（2025•河北张家口•三模）已知函数/（%）=x''Vx，wwR，且当〈占，

+4x,xv1,

都有，（内）-"九）〉4,则实数。的取值范围是（）

A.（0，B.（0.1]C.[1,2]D.（1,2]

2.（2025•山西忻州•模拟预测）函数/3=（2'+2一］，的大致图象是（）.

3.（2025高三•全国•专题练习）已知函数/（同=3,一3与g（x）=月+1（女工0）的

图象有3个交点（4y,）（i=123）,则£（七+>;）=.

i=!

4.（24-25高一上•江苏南通•阶段练习）已知函数/（力=22"+2-2'1.

⑴若“X）的最小值为-3,求女的值；

⑵在（1）的条件下，若不等式“工卜土-8有实数解，求实数。的取值范围.

4r

5.（24-25高一下•北京•开学考试）设/（x）=

⑴求表达式;

⑵计算/（X）+〃1T）；

/11/21/3、/2023)/2024、3注

认求'I2025卜J*，［2025卜…+2025卜2025J的值，

第05讲指数与指数函数

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（25-26居一上•全国•课后作业）（6）a.（6/=（）

A.3B.3拒C.9D.81

【答案】B

【知识点】指数鼎的化简、求值

【详解】（6）&.（百）立=［（a2/=3衣.

a\x>\

2.（2025•甘肃甘南•模拟预测）若吟，〃是R上的单调递增函数,则

4——x+2,x<1

2）

实数a的取值范围为（）

A.［4,8）B.（0,8）C.（4,8）D.（0,8］

【答案】A

【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数

【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组,

解得即可.

A>1

解得

【详解】若人力［4用x+2,E为R上的增函数，则4-^>0,4Wav8,

a>4--+2

2

故。的取值范围是［4,8）.

故选:A.

3.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）定义一种运算（〃*/，）=•则函数/("=,*e')

的值域为()

A.(0,1)B.(0,1]C.[h-Kc)D.(1,-Kc)

【答案】B

【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值

【分析】化简函数/（X）的解析式，结合指数函数的值域可得出函数/（X）的值域.

【详解】由dYe-x可得xW-彳，解得xWO；由可得x>—X，解得x>0.

e；A-<0

所以/(x)=(e、er)」

e-x,x>0

故当“40时,/(x)=evG(0,l］；

当x>0时，则一x<0,/(x)=e-xe(0J).

综上所述,函数f（x）的值域为（0』.

故选：B.

4.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）函数与尸-2-，的图象关于（）

A.x轴对称B.轴对称

c.直线y=x对称D.原点中心对称

【答案】D

【知识点】函数对称性的应用、指数函数图像应用

【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得.

【详解】令函数f（x）=2*,g（x）=-2-令

对于A,/（I）=2,仪1）=一；，/⑴工一冢1）,A错误;

对于B,/(1)=2,^(-1)=-2,/⑴工g(-l),B错误;

对于C,点（L2）在y=2「的图象上，而双2）=-“即点（2,1）不在），=-2-，的图象上，C错误;

（

对于D,VX（）GR,f（x0）=2^=-[-2--^]=-g（-x0）,两个函数图象关于原点中心对称，D

正确.

故选：D

fl2近1

・Q标%6的结果为（）

5.（25・26高一上•全国•课后作业）化简标〃2..3a6b3

JI'y

AH毕n工直r工迪D工农

A.-9a4b3B.-”助3J-9ai2b3_9#2〃3

【答案】C

【知识点】指数哥的化简、求值

nV2/三更、(i5n75n+s_5x显+旦—近

【详解】〃坨2._3a6h3=一9加612/236=_9川油3

3

6.（24-25高二下•湖南•阶段练习）设函数人力=14，则/。）（）

A.图象关于x=l灼称，且在（1,+W上是增函数

B.图象关于x=l对称，且在（1,+8）上是减函数

C.图象关于1=-1对称，且在（T，转）上是增函数

D.图象关于x=-l对称，且在上是减函数

【答案】B

【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性

【分析】验证“27）或八2+”是否与〃力相等即可判断函数的对称轴，再结合复合函数

即可判断单调性.

【详解】因为〃加尚，所以/（2r）=e-9=e号，

注意到〃力=/（2-力，所以/（x）图象关于直线1=1对称；

当x>l时，〃司=/？=；金，

因为，=宁在（1,竹）上单调递减，y=e'在（1,+功上单调递增，

由更合函数的单调性可知/"）在（1,+8）上单调递减，

故选：B

二、多选题

7.（25-26高一上•全国•课后作业）已知,「有+〃赤=3,则下列各式正确的是（）

A./赤+a-275=7B./赤+〃-36=18

C4邛去Dd叱+=4不

a-+a-=yJ5,二一6「（胪

【答案】ABC

【知识点】根式的化简求值、指数幕的化简、求值

【详解】对于人,/6+才2&=,/+/&『一2=32—2=7,故A正确；对于

+a3/3=（d2^+a2'5）*）=7x3-3=18,故B正确;对于C,由

题意可知。>0,由于a2+a2=心+，石+2=3+2=5,所以〃三”型一代,故C1E

/

（2^.空Y

确；对于D,原式=“-=，由于a2+a2=+a~^+2=18+2=20.所以原

式=病=2右，故D错误.

三、填空题

8.（24-25高二上•四川绵阳•阶段练习）已知。>0/>0,且2a+b=2,则4“+2〃的最小值

为

【答案】4

【知识点】指数索的运算、基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式结合指数的运算，即可得解.

【详解】由题意，¥+2〃=22“+2”22在片=4，当且仅当为=力=1时等号成立,

所以4"+2"的最小值为4.

故答案为：4.

四、解答题

9.（24-25高一上•内蒙古乌兰察布•期末）计算：

12

⑴1x83++（-6）°+7（2-75）2；

3

⑶若10"'=4,10"=5,求［0吟的值.

【答案】⑴2+石；

（2）〃+1；

7

⑶丁

【知识点】根式的化简求值、指数累的运算、分数指数恭与根式的互化、指数幕的化优、求

值

【分析1（1）（2）应用有理数指数晶的运算性质化简求值；

（3）将有理数指数哥化为根式或分式形式求值即可.

3产）

【详解】（1）原式++1+V5-2=-+-+1+^-2=2+75

35;33

（/，（版/j〃记1

（2）原式----2+-----r=~2+~~T=4+1;

〃3（af2a2b2

⑶由心4*5得芦=席;=导|.

10.（24-25高一下•江西抚州•阶段练习）已知函数/（"=（〃-叫（2-27）为偶函数.

⑴求〃的值；

（2）若/（"4川―〃，一5恒成立，求实数，”的取值范围.

【答案】（1）。=2

(2)(-co,-2]U[3,+00)

【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式

的恒成立问题、由奇偶性求参数

【分析】(D由偶函数的性质可得出〃1)=/(-1)，求出”的值，然后验证函数/(“为偶函

数即可；

(2)利用基本不等式可求出函数/(X)的最大值，即可得出关于实数机的不等式，解之即可.

【详解】(1)因为函数/")=(。-2')(2-2—)的定义域为R,且为偶函数.

则/(1)=/(-1)=0,即川)=[(<-2)=0,解得。=2,此时，/(.r)=(2-2')(2-2-r),

则〃r)=(2-2一、)(2-2、)=/(x),即函数/(x)为偶函数，故〃=2.

(2)因为仆)=(2—2)2总)=4+1-2卜+扑5—2、2卜接=5一4=1,

当且仅当才=]时，即当工=0时，等号成立，故函数八")的最大值为1,

因为〃力0病-m-5恒成立,则加一m-5N/(")1mx=】，即>_加_620，

解得mK-2或〃后3,即实数〃?的取值范围是(f,—2]U[3,茁).

11.(24-25高一下•上海•阶段练习)设函数/")="-(女-1)•「(。>0且〃工1)是定义域

为R的奇函数.

(1)求％的值;

(2)若/(1)<。，试判断并说明函数/5)的单调性；

⑶在(2)的条件下求使不等式/(』+a)+/(47)<0恒成立的，的取值范围.

【答案】(1)A=2：

⑵/(A)=优-「在R上单调递减;

⑶-3</<5

【知识点】判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不

等式恒成立问题

【分析】(1)根据奇函数的性质可得/(。)=0,由此求得左的值；

(2)由/⑴<(),可求出。的范围，利用函数的奇偶性；

(3)将不等式化为/(/+〃)<再利用函数的单调性转化为丁+女>”—4,利用

△<0即可求解.

【详解】(1):/(力是定义域为R的奇函数,

/./(())=6Z0-(A:-1)6/°=I-(A-1)=0,

k=2,此时/(力=，-叱，满足/(-x)=ax-a、=-/(x),

综上，k=2.

(2)由(1)知/")=优一。-，(〃>0,且。工1),

,//(1)<0,/.A--<0,

a

又a>0,且a=1,0va<1,

••.y=优在R上单调递减，)，="7在R上单调递增，

故/(刈="—才'在R上单调递减，

(3)不等式/(f+fx)+/(4—x)<0化为/(厂+fx)v-/(4—%),

.二/(»是定义域为R的奇函数，

/.-f(4-x)=f(x-4),g]/(x2+rx)</(x-4),

2

■-x+tx>x-4t/-V+«-l)x+4>0恒成立，

/.△=(/-l)?-16<0,葩E得-3</<5.

/.-3<r<5.

B相遇高考

1.(2024•天津•高考真题)已知贝『公=/产是"3“=3〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数昂的大小、判断一般

寻函数的单调性

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，/=/和3“=3人都当且仅当。="所以二者

互为充要条件.

故选：C.

2.(2023•全国甲卷•高考真题)已知函数=记

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【知识点】比较函数值的大小关系、比较指数嘉的大小

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即

可.

【详解】令g*）=-a-l）2,则g（x）开口向下,对称轴为x=l，

-：，rTn(x/6+>^)2-42=9+6A/2-16=6N/2-7>0,

_90,即警］＞1一当

由二次函数性质知g（争＜g吟）,

(布+应)2-2=8+4痒16=4后-8=4(6-2)<0,

即告一1＜1一等，所以g（告）＞g（¥），

综上,g（4）＜g（*）＜g（手），

乂），=金’为增函数，故avcv〃，即〃＞c＞a.

故选：A.

3.（2023•全国乙卷•高考真题）己知/（幻=-^一是偶函数，则。=（）

eI

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【知识点】指数塞的化简、求值、由奇偶性求参数

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解加为小六器为偶函数，则仆）./（一）=壬—*=#：,）［»

ce-1e-1e-1

又因为x不恒为0,可得e—e电3=0,即e，=e（"3，

则x=（a-l）x,即l=a-l,解得a=2.

故选：D.

C素养提升

5r+2。-1

---------T)1

1.（2025•河北张家口•三模）已知函数/"）二•x'”,x2eR,且王<々，

«ev1+4A,X<1,

都有则实数”的取值范围是（）

A.B.（0,1]C.[1,2]D.（1,2]

【答案】B

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）

的单调性求参数

f+2--1>

【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数g（x）=/（x）-4x=-X-'在R上单

«e1-1,x<1

调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性,

列不等式组求解即可.

【详解】,s€R，X<W，都有/（>[/（>>4即例]—[/、）-4与]>0

X]一工2芭一，2

x2+2a—1

记g（%）=/（x）-4x=<x"一，

aex'\x<I

则由单调性的定义知，函数g（"在R上单调递增，

则需满足：力（*=二3二1在[1,H）上单调递增①，

x

G）=“J在（_“』）上单调递增②，

且41）=々（?=〃«〃⑴=1+2。_1=2〃③，

对于①，要使Mx）=i+2a-1在，物）上单调递增,

X

则”（力=「-（”）>0在。口）上恒成立，即2a-1Kf在3田）上恒成立，

所以2。一1工（丁），因为2之1,所以2。一141,解得〃41；

对于②，因为y=ei在（田,1）上单调递增，

所以，（x）=在（―。,1）上单调递增时，〃>0；

对于③，ci<2a.所以。20；

a<\

所以<。>0,解得所以实数〃的取值范围是（0』.

//>0

故选：B

2.（2025•山西忻州•模拟预测）函数〃力=（2'+27）[的大致图象是（）.

【答案】B

【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、指数函数的判

定与求值

【分析】根据函数的定义域判断D,根据奇偶性判断A,再由函数自变量1>0，1<。时,，函

数值的变化趋势判断C.根据函数性质，判断B.

【详解】函数/("的定义域为(—0)5°，也)，排除选项D；

/(r)=(2—+2')，=_(2-+2,)?=_/(x),

故函数/(.i)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；

当/(.r)=(2A+2，)凶=2"+2*>292〃2*=2;

.X

当x<0时，/(力=-(2\2-*)〈-2>/2r2T=-2,排除选项C；

综上所得，选项B符合题意.

故选：B.

3.(2025富三•全国・专题练习)已知函数/(力=3*_3：+(;-1)与g(x)=&+l(/*0)的

图象有3个交点(冷£)(/•=123),则丈a+y)=.

i=!

【答案】3

【知识点】函数对称性的应用、指数函数的判定与求值

【分析】根据〃T)+〃X)=2,得到f(x)与g(x)的图象均关于点(0,1)对称,即可根据函

数的对称性求解.

【详解】由题意得了")=3'3:+(公1)-=]+3；——2x,

r+1r+1

因为/(T)+/(X)=]+3工；2%+3=：：=二2,/(力的定义域为R,所以/(x)的

图象关于点(0,1)对称.易知,由于g(x)的图象为一条直线且恒过点(0,1),故

屋力=爪+1(攵工0)的图象关于点(0,1)对称

因为〃0)=g(0)=L所以3个交点(x,.»)(，=123)中的一个交点为(0.1),且剩余2个交

点关于点(0.1)对称，则£(匹+»)=3.

/=|

故答案为：3

4.(24-25高一上•江苏南通•阶段练习)已知函数/(力=22'+2k2+1.

⑴若/(x)的最小值为-3,求k的值：

⑵在(1)的条件下，若不等式”x)工亍-8有实数解，求实数。的取值范围.

【答案】⑴k=-2；

(2)0<«<1.

【知识点】求指数函数在区间内的值域、对勾函数求最值、根据二次函数的最值或值域求参

数、函数不等式能成立(有解)问题

【分析】(1)令32*>0,则/(x)=g(，