2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷02【测试范围：人教A版必修第二册第6~9章】（全解全析）

高一数学下学期第三次月考卷02（全国通用）

全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡卜对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题R上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若复数z=（l_i）（4_i）（〃eR）为纯虚数，则〃=（）

A.-V2B.-1C.0D.1

【答案】D

【详解】因为（1-。（。一。="一1一（1+，犷为纯虚数，

月亍以a—1—0,且a+17t0,解彳导.。-1.

2.己知向量£花的夹角为冷，卜办，则2a+5=（）

A.4GB.5GC.48D.75

【答案】A

【详解】因为a_L（a-否），所以a,（a-B）=0,即屋—aj=0,则〃.B=4‘

所以2,卜8S]=4,解得忖=4,

所以悔+*,忻+河=^4（12+4a-b+b2=V4x22+4x4+42=4V5.

3.一组从小到大排列的数据：1,2,3,4,6,10,x,20,22,23.若它们的70百分位数是中位数的

两倍，则》的值为（）

A.10B.11C.12D.14

【答案】C

1/14

【详解】数据1,2,3,4,6,10,x,20,22,23已是由小到大的排列，数据共10个,

中位数为第5个与第6个数据的平均值即中位数为写=8,

由10x70%=7,

因此70百分位数为第7个勺第8个数据的平均值即已名

加上+20__.,

得-----=2x8=16,

2

解得x=12.

4.中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、

血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两人在同一星期内每口步数的折线统计图，则下列结论中正确的是

()

1000---------------------------------------------------------------------------

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

A.这一星期内乙的每日步数的中位数为12970

B.甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上

C.这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙

D.这一星期内甲的每日步数的极差小于乙

【答案】C

【详解】对于A,这一星期内乙的每口步数从小到大为：5340,7030,10060,11600,12300,12970,

14200,中位数为11600,故A错误;

对于B,甲星期三走1270()步，星期二走7965步，没有增加1倍以上，故B错误；

时干「，甲每n步数的平均值为：1(16000+7965+12700+2435+16800+9500+11600)=11000,

2/14

乙每日步数的平均值为：1（14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060）=10500,

这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙，故C正确：

对于D,这一星期内甲的每日步数的极差为：16800-2435=14365,

这一星期内乙的每日步数的极差为：1420（）-5340=8860,

这一星期内甲的每日步数的极差大于乙，故D错误.

5.如图，用斜二测回法回水平放置的四边形力8c其直观图为等腰梯形力'8'C'Q',若AB=6,

C0=4,则下列说法正确的是（）

B.AB=3

C.四边形48。。的周长为10+后+0

D.四边形44C。的面积为10及

【答案】D

【详解】由题设4。'=gx"3；C"==,人错；

由斜二测画法知，AB=A'B'=6,CD=C'D'=4,4）=2HO'=2上，

易知原四边形为直角梯形，ADA.AB,AB//CD,

所以8C=JIQ2+（48—CQ）2=>/^7Z=2石,

四边形的周长为10+26+2加,面积为:X2JIX（4+6）=10JLB、C错，D对.

6.己知/,〃?,〃为三条不同的直线，a,P为两个不同的平面，则以下选项正确的是（）

A.若m、nua、m"P、nl邛,则a///?

B.若aC\/3=l,rn//a.m//J3,则加/〃

3/14

C.若mLa,aLp,则〃"//

D.若a_L£,aD、=/,/nJJ,则用la

【答案】B

【详解】对于A，面面平行的判定定理要求〃?，〃相交，若m//n,则a,p可能相交，故A错误：

对于B,过机作平面7交a于斯则加//〃,过机作平面S交夕于力，则〃?故人〃吟

乂。不在平而£内.乂bu平而£,所以而an/=/oua,故a/〃.故/〃/〃.故R正确：

对于C,若mA.a,alflt贝ljmu夕或m”,极C错误；

对干D,若a工人acB=l,m工I,如果〃《/或〃?ua,则不能判断小la,故D错误.

7.圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同

学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物力B,高为36m,在它们之间的地面上的

点M。三点共线）处测得楼顶力、教堂塔尖C的仰角分别是45。和60。，在楼顶力处测得教堂塔

尖。的仰角为15°,则该同学“算索菲亚教堂的高度。。为（）

A.52mB.54mC.56tnD.58m

【答案】B

【详解】在中，NABM=90°，/.AMB=45°,

AR

故BM=AB=36m,AM=-....=36V2,

sin45

在△4CM中，N4WC=1800—60'-450=75',ZC/1A/=150+45°=60°,

ZACM=180-75,-60°=45°,

由正弦定理得=名7,CM=AM•2吟=36&•卡=36,

sin60sin45sin45J2

所以CD=CM-sin60=36百x—=54m.

2

8.（新背景）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人仅制作成饰

品.如图所示，现有棱K为2cm的正方体水晶块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品

4/14

的表面积为（）

A.(16+3碎m?B.(16+45/3)cnr

C.(12+3>/3)cm2D.(12+4>/3)cm2

【答案】D

【详解】原正方体棱长为2cm,裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点,

每个面切掉四个角后，剩余一个边长为J5cm的小正方形，

则六个小正方形面的面积和为6x及，12cm2：

而切掉正方体的8个顶点后，每个切口新增一个边长为缶m的正三角形，

则八个正三角形面的面积和为LxVIxVIx立x8=4Gcn/，

22

所以该饰品的表面积为（12+46,/.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）

B.评分的众数估值为70

C.评分的第25百分位数估值为67.5

D.评分的平均数估值为76

5/14

【答案】AC

【详解】对于A,由频率之和为1,得20〃+40〃+60。+50〃+30。=1=>。=0.005,故A正确：

对「B,评分的众数约为=75.故B错误；

时干C,因为0.25=20。+30。，所以第25百分位数在［60,70)内，第25百分位数约为60+fx10=67.5,

故C正确；

对于D,评分的平均数约为55x20a+65x40Q+75x60a+85x50a+95x30a=76.5,故D错误.

10.已知复数Z，z2,则下列说法正确的是()

A.若Z；=Z；,贝1」「1+22卜卜1I2)=0

B.若Z：=z；,则闵=上|

C.若马=机+1-加()?£R),z2=1+2i,则-Zz|的最小值为20

D.若45为实数，则中夕0)也为实数

【答案】ABD

【详解】设4="+切幺2=c+di(〃,b,c,d€R),

若Z：=Z；,则(4+砌2=(c+di)2,则/+d2—〃-1+(2而—2cd)i=0,

贝ija2+d2-b2-c2=0,2ab—2cd=0,

22222

贝(jZ1-z2=(t7-/?i)~-(c-Ji)'=cr+d-b-c-(2ab-2cd)\=0>

22

故(Z］+Z2)«Z|—)=「+Z2)-(Z1-22)=Z1-Z2=0,故A正确;

：2222

|z,|-|z2|=(^+b)-(c+f/)=0,故B正确：

B-4表示点(〃?+1,-w),(1,2)两点间的距离,

因为^(w+1-l)2+(-/?/-2)2=12户/+4/〃+4,当〃?=-1时有最小值&,

则归一4的最小值为收，故C错误；

因为4•［为实数，所以幺=9为实数，故D正确.

11.点。是△/出。所在平面内的点,下列说法正确的有()

6/14

A.若方+历+灰^二。，则点。为△力8c的重心

B.若方•幅=历灰=加•场.则点。为的垂心

C.若方•砺=砺灰=友・方，则点。为△48C的外心

~AB~AC1—BABC'

D.在△48C中,向匐/=。啊•同5,则△48。为等边三角形

【答案】ABD

【详解】对于A,如图

因为方+O豆+1元=6，所以赤十灰而，取4C中点。，

则有方=而+方=2而，所以点4。,。三点共线，则/。为三角形中线，

同理50所在直线也是中线，所以点。为△力8。的电心，故A正确.

对于B,因为万.丽=砺灰=反刃，所以砺•（反-刀［砺左=0,

所以O8_L力C,同理CM18C,0C1AB,所以点。为△力8c的垂心，故B正确

对于C,由B可知，选项C错误.

ABAC

对于D,因为扁i表示方方向上的单位向量，同理应i表示及1方向上的单位向量,

由平行四边形法则,在N84。的角平分线上,

又因为1篇+南）^O,所以“胡。的角平分线垂直于EC,所以△⑷?C为等腰三角形,

又因为谷•篙BCcos侔灰）二g,

~BC\

所以cos（瓦i,肥）=:,所以48C=60,

所以ZU8。为等边三角形，D正确.

7/14

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若一组数据的不，士，七，七的平均数为4,则3内+1,3/+1,3七+1,3%+1的平均数为.

【答案】13

【详解】设一组数据的各，£，工3，Z的平均数为，则1=4.

则M+l,3X2+1,3XJ+1,35+1的平均数为£+1=3X4+1=13.

13.（新考法）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长2cm的正方体），

用来展示NaCl晶体中Na+的八面体配位环境：C「位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围

中心的则该正八面体C「配位多面体模型的体积是cm3.

41

【答案】

【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为正的正方形，正四棱锥的高为正方体棱长的•半，即

A=I,

所以正八面体的体积为r=2xjIx2xl=p4

14.在△力8c中，角4民。的对边分别为则下列命题中正确的序号为：

①若sin4>sin8,jj'iJa>b.

②若acos4=bcosB,则△48C一定为等腰三角形.

③产为△/8C所在平面内的一点，且可.而=而•斤=卮.可，则。为△力8C的内心.

【答案】①

【详解】对于①，若sinQsinB,由正弦定理，可得高〉上，所以“>〃，所以①正确；

2A2A

对于②，若“C0S/1=8cos〃，由E弦定理得sin/cos/=sin8cos8,所以sin24=sin24,

8/14

因为48w(0,兀)，所以24=28或21+28=冗，可得4=8或/+8

所以△N8C为等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

灼于③，由苏•丽=丽反，可得苏•丽-丽辰=丽•(⑸-定)=而4=0,

又由方•斤二正万，可得-丽衣-运•以=运•(而-甫)=运.刀=0,

所以而_L&i,定1.刘，所以点尸为△/〃c的垂心，所以③错误.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知复数z=(〃/-8〃1+15)+(〃/—5〃I4)i.

(1)若发数z是实数，求实数〃，的值；

(2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数〃?的取值范围.

【答案】(1)7或一2；(2)(-2,3)。(5,7).

【详解】(1)因为复数n是实数，

所以m2-5m-14=0>

解得加=7或〃？=一2；

所以实数〃?的值为7或-2：

(2)因为复数z表示的点在第四象限，

〜,m~-8///+15>0

所以2<“n，

m-5m-14<0

J(〃L3)(〃L5)>0

即《、，

|(w-7)(w+2)<0

解得一2<〃7<3或5<〃？<7,

所以实数机的取值范围为(-2,3)。(5,7).

16.(15分)“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选

者的面试成绩，并分成五组：第一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组

［85,95］,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相

同.

9/14

(2)若面试成绩前34%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分;

(3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成

绩的平均数和方差分别为62和30,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40,据此估计这

次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差.

。=0.0051030

【答案】(1)“0.025⑵73。)于

10〃+108=0.3…。=0.005

10x(0.045+0.020+a)=0,7,解得j

【详解】(1)由题意可知，力=0.025；

(2)由(1)及图知，(0-020+0.005)X10<0-34<((H)45+0-020+0-005)X|0,

所以面试成绩前34%候选者(分数从高到低)的最低分位于区间［65,75),设为x,

所以0.25+(75-x)x0.045=0.34,可得x=73.

(3)设第二组、第四组的平均数分别为方差分别为s；，4,

且各组频率之比为:

(0.005x10):(0.025x10):(0.045x10):(0.02x10):(0.005x10)=1:5:9:4:1,

5

所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者x20=5人,

U5+9+4+1

4

第四组面试者布再币'2。=4人,

5x62+4x80

则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数x-----7-----=7(),

9

第二组、第四组面试者的面试成绩的方差

2:222

(x,-x)-l+-r^+(A2-x)-l=-x[30+(62-70)]+-x[40+(80-70)]=-^

」9L」999

10/14

故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是增

17.（15分）如图,在正方体"8-4瓦40中，点G,E,F,P分别为棱45,Dg，B£,用的中点,

点M是棱42上的一点，且RM=34历.

（1）求证：平面。8用；

（2）已知点N是棱4片上的一点，且用N=34/V,求证：平面PMN//平面£）夕户£\

【答案】（1）证明见详解（2）证明见洋解

【详解】（1）连接。C、GC分别交。氏。月于点〃、O,连接“0,

在正方体ABCD-48clA中，D.EHDC且。«=；OC,

所以“IED「"IDC,嚅噜T

但GOBG1,D.HGO

同理可得===-，所rri以v1=--所以HO//D£,

COCD2CHCO

又“Ou平面DBFE,平面。8匹f,所以平面。8斤£.

（2）连接。£,因为点瓦尸分别为棱AC，8c的中点，则以7/R4,

11/14

AN_J,A/_1

因为。1财=34〃B、N=3A、N,则}

4B]AR4

可得MV//Z)£,plljMNHEF,

且〃N<Z平面。8/芍，EFu平面DBFE,则MN//平面08户石,

取4。的中点。，连接力。,。尸,

因为尸,M分别为例,从。的中点，则PMHAQ,

又因为。,尸分别为4A用G的中点,则。尸〃44，。尸=4%

且N8//44，/8=44，则QF=AB,

可知48月。为平行四边形，贝IJ/0//8尸，可得PM//BF,

且平面。叼E,BFu平面DB尸E,则尸“〃平面。8正，

又因为A/NnPM='W,."MPMu平面PAW,所以平面PMN//平面。8/五.

18.(17分)已知在△月8c中，角48,C的对边分别为a力,c,且“cosC+GasinC-6-c=0.

(1)求4的值;

(2)若△NBC的周长为6,内切圆半径为半，求助+c-a的值.

【答案】(1)"=](2)4

【详解】(1)在。中，rhacosC十JJasinC—b—c-O及正弦定理得；

sinAcosC+5/3sinJsinC-sinB-sinC=0»

则sin/IcosC+VJsinJsinC-sin(.4+C)-sinC=0,

整理得:sinAcosC+VJsinsinC-sinAcosC-cosJsinC-sinC=0，

即石sinJsinC-cosJsinC-sinC=O.

由OVCVJI,得sinC>(),则Jisin月=cos月+1,

12/14

两边平方得(1+cosA)2=3sin2J=3(1-cos2A),

BP2cos2A+cosJ-l=0

由0<力<兀，得一1<cosA<\,

解得cos4=!，故4=g；

23

（2）由△力8C的周长为6,内切圆半径为坐,

得S4BC=—^csin—=—x6x—,

““2323

解得儿=4,

由余弦定理得/+。2-2bccos5,即a2=(6-a)2-2bc-2bccos—,

33

整理得。2=36・12。+/-12,

解得。=2,b+c=4,又be=4,解得b=c=2,

因此2人+<?—4=4.

19.(17分)在梯形488中，AB=2CD=\2,ZDAB=