对数运算及对数函数的应用（解析版）2027届高考数学一轮复习

第12讲对数与对数函数

题型一对数式的运算......................................................................2

题型二对数型函数的定义域................................................................7

题型三对数型函数的值域.................................................................10

题型四对数函数的单调性及解不等式......................................................15

题型五对数函数的比较大小...............................................................20

题型六对数函数的图像及应用.............................................................24

课时精练..................................................................................32

【基础回顾】

知识点1:对数的概念

一股地，如果"=N（〃>0,且娟1）,那么数即。为底N的对数，记作x=log“N,其中。叫作对数

的底数，N叫作真数。

以10为底的对数叫作常用对数，记作lgN.

以e为底的对数叫作自然对数，记作InN.

知识点2：对数的性质与运算性质

（1）对数的性质：logj=0,lo“=l,alo^N=N（a>0,且分1,N>0）.

（2）对数的运算性质

如果a>0,且分1,M>0,M>0,那么：

①=logJW+log“M

cM

②log，w=logJV/-logJV；

③log“M"=〃log“A/（z/GR）.

（3）对数换底公式：log/?=^^^（a>0,且/?>0；c>0,且存1）.

知识点3.对数函数的图像与性质

yy

x=l.X=1

y=log,K1

图像厂一”1,0)

O/：(1,0)xO

1

y=log(rv

定义域(0,4-00)

值域R

过定点（1,0）,即x=l时，y=（）

性质当Ql时，）>0；当0《<1时，尸0当x>l时，产0；当0*1时，y>0

增函数减函数

知识点4：反函数

指数函数），=〃（”>0,且存I）与对数函数y=log^（«>0,且际1）互为反函数，它们的图像关于直线），

=上对称。

【必备知识】

l.logzAlog/,67=l（6/>0,且b>0,且厚1）,log/,=力。义力&>°，且Wl,b>0）

2.如图，给出4个对数函数的图像。

y=iog„x

y=loghx

■—y=l

x

>-log（.x

则即在第一象限内，不同的对数函数图像从左到右底数逐渐增大。可以令尸1得到x值,

即为底数。

题型一对数式的运算

解决对数运算问题的常用方法

（1）将真数化为底数的指数累的形式进行化简。

（2）将同底对数的和、差、倍合并。

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及

变形应用。

【例题精讲】

1.（25-26高一下•云南•开学考试）若1。取口。83。。82工）］=0，则X=（）

A.8B.27C.64D.3

【答案】A

【详解】dal0g4[10g3（10g2X）]=0,得10g3（10g2%）=1，则log2%=3,

所以％=8.

2.（2526高一上•福建三明•期末）已知2a=3/og25=b,则22所》的值为（）

A.45B.IC.1D.|

【答案】B

【分析】先处理指数基22a的值，再运用指数与对数的互化求巴人最后根据指数幕的运算性质求解即可.

【详解】因为22a=（2。）2=32=9,

又因为log25=b,所以2b=5,

所以

故选：B.

3.（25-26高一上•贵州毕节•期末）雄—3豚32=（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【分析】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解.

【详解】因为嫉-3如=（23）1-3*2=2?—2=2,

故选：A.

4.（25-26高三下•浙江嘉兴•月考）设Q>0,QWl,x>y>0,下列等式：

①loga%•\ogay=loga（x+y）；

②log。％+logay=loga（x+y）；

③10ga，=l0gaQ-y）；

®loga（x-y）=^.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据给定条件，取特殊值逐一计算判断即可.

【详解】对于①②③，由a>0,awl,x>y>0,令％=2,y=l,

10gaxlogay=loga2-logal=0wloga3=Ioga(xIy)，①错误；

10gax+logay=loga2+logal=loga2loga3=ioga(x+y),②错误;

】ogaj=loga2Ho=logaQ-y)，③错误;

对于④，Kx=l,y=P10g(x-y)=10g1^0==④错误,

2aa

2ioga-【o&y

因此①②③④都错误.

5.125-26高一上•广西钦州•期末)lg|-lg50=().

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】依据对数运算法则即可求解.

［详解］lgg-lg50=也（言）二年击=

故选：D.

6.（25-26高三上•全国•月考）警需二（）.

Iog2562026

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】c

【分析】利用对数的运算法则及换底公式化简求值即可.

ln(2026)5扣2026

Iog4,2026I"_加4_n

【详解】--

Iog25620261112026-ln2O264

In4441114

故选：C.

7.(24-25高一上•山东滨州•期末)式子31+iog32+lg2+log72xlog27xlg5=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得.

［详解］31+啕2+lg2+log2xlog7xlg5=3x310g32+l2+xxIgS

72g馆7旧2

=3x2+lg2+lg5=7.

故选：C.

8.(25-26高一上•全国•单元测试)计算下列各式：

(l)(log43+log83)x(log32+log92)-logzV32;

(2)lg25+lg2-lg50+(lg2)2-e21n3.

【答案】(1)0

(2)-7

【分析】(1)(2)根据对数的运算:法则计算即可.

【详解】(1)原式=C】og23+?0g23)X(log32+|log32)-log224=1log23x|log32

故答案为：0

(2)原式=lg52+lg2-lg50+(lg2)2-eln9=21g5+lg2(l+lg5)+(lg2)2-9

=21g5+lg2+lg2-IgS+(lg2)2-9=21g5+lg2+Ig2(lg5+lg2)-9=2(lg5+lg2)-9=-7.

故答案为：-7

9.(24-25高一上•湖北恩施•期末)(1)若/Og32=l,求#-2*+1的值;

232

(2)计算：】g2+lg2xlg5+(lg5)+log3(9x3)—0.125一5.

【答案】(1)3；(2)7

【分析】(1)根据对数运算性质先求出2、二3,再由指数运算法则，即可求出结果；

(2)根据对数运算和指数塞的运算法则，即可求出结果.

X

【详解】(1):xlog32=1,.-.x==log23,2=3,

,O§32

4X—2X+1=(22)X—2x2X=(2*)2—2x2x=32—2x3=3.

323

(2)原式=lg2+Ig5(lg2+IgS)+log39+log33-(0.5)4

=lg2+lg5+310g332+210g33-O.5T=14-3x2+2-2=7.

10.(2024高三・全国•专题练习)求下列各式的值.

(l)，g25+lg2-Igx/OA-log29xlog32.

(2)lg5lg20+lg224-21+2]og23

(3)2(lgV2)2+lgV2-Ig5+J(lgV2)2-lg2+l.

103

(4)log3VT7+lg25+lg4-7^+log38-Iog4V3

23In2

(5)log49-log38-Ig2lg50-lg25-(lg2)-e-

(6)log535+21ogiV2-log52-log514；

2DU

【答案】⑴三

4

(2)19

(3)1

(4)1

⑸；

(6)2

【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得所给各对数式的值.

【详解】(1)^lg254-lg2-IgVOl-log29xlog32

=lg5+lg2-1(lgl0-1)-lgx!g=l+l-^g=-i

21+,09

(2)lg5lg20+lg2+21+2]og23=ig5,(ig2+1)+馆22+2^

=(1-lg2)•(lg2+1)+lg22+2x210g29=1+2x9=19

(3)2(lgV2)2+lgV2lg5+J("，一也2+1

2

=2Glg2『+5g2•(1-lg2)+lgZ)-IgZ+1

=如以+如-加2"产-产+4

log73

(4)log3V27+lg25+lg4-7+log38-log4V3

1lg8lgV3

=-log333+Ig100-3+^xA_

331g21lg311

=-+2-3+———=-+-=1

2lg321g222

231n2

(5)log49-log38-lg2-lg50-Ig25—Qg2)-e-

=x署一口•(1+联)-21g5-(lg2)2-e,n2-3

=罂X萼-lg2•(2-lg2)-2(1-lg2)-(lg2)2-i

21g2lg38

17

=3-21g2+(lg2)2-2+21g2-(Ig2)2--=-

oo

(6)logs35+2IogiV2-log5logs14

\21gV2

+14)+-^-

=脸侬£=log5l25+zfe=3-l=2

题型一对数型函数的定义域

定义域：

1.真数>。即解不等式/(幻>0(若对数函数为y=logj(x))。

2.若存在复合函数(如根号、分式等)，需结合其他函数定义域规则综合求解。

值域：

1,先确定内层函数，=/(x)的取值范围(/>0)o

2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导y=log/的值域。

【例题精讲】

1.(25-26高一上•广东深圳•期末)函数/■(%)=4^1+也(5-¥)的定义域是()

A.(0,5)B.(1,5]C.[-1,5)D.[-l,+oo)

【答案】C

【分析】根据负数不能开偶次方根以及对数的真数要大于零求解.

【详解】由题可•知，t+1巴，解得-1WXV5,

即函数“幻的定义域为[-1,5).

故选：C.

2.(25・26高一上•广东佛山•期末)函数/(幻=1。80.5(/-5工+6)的定义域为()

A.(2,3)B.[2,3]

C.(—co,2)U(3,4-co)D.(―oo,2]u[3,4-co)

【答案】C

【分析】直接根据真数大于零求解定义域即可.

【详解】对于函数f(x)=logo,5G2-5%+6),需满足/一5%+6>0,

即[X-2)(x-3)>0»解得％<2或%>3,

所以函数/'(%)的定义域为(-8,2)U(3,+8).

故选：C.

3.(2026•湖南郴州•三模)已知集合4={工£/7|%2一7%一18<0},8=卜卜=也芸},则？1nB=()

A.(-2,9)B.(-2,3)C.[0,1,2}D.{1,2}

【答案】C

【分析】解不等式求得集合力，求函数的定义域求得集合8,进而求得力

【详解】对于集合4/7x18=(x9)(xI2)<0=>2<x<9,

所以A={0,1,2,3,4,5,678}.

对于集合8,—>0=>(3-%)(3+无)>0=-3VxV3,

3+X

所以B={x|-3vx〈3}.

所以An8={0,l,2}.

4.(25-26高一上・贵州•期末)函数/'(%)=电等的定义域是()

A.(2,+oo)B.(-2,1)U(1,+oo)

C.(l,+oo)D.(-2,1)

【答案】B

【分析】求出使函数解析式有意义的X的取值范围即可.

【详解】因为函数八%)=笔普，

所以『+：=>解得%>-2且％于1,

5—100

所以函数的定义域为：{无|无>一2且XH1}.

故选：B.

5.(25-26高三上,河南•月考)函数/(x)=log2025F的定义域为()

4-X

A.(4,6)B.(-co,4)U(6,-l-oo)

C.[4,6]D.(6,+8)

【答案】A

【分析】根据对数型复合函数的定义域求解即可.

【详解】由三〉。，则(X—6)(4-外>0,

则(%-6)(%-4)V0,解得4V%<6,

所以函数的定义域为(4,6).

故选：A.

6.(25-26高三上•安徽•开学考试)已知集合力={%|工2=%},B={x[y=则力Cl8=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1}

【答案】D

【分析】解一元二次方程得到集合人根据对数函数的定义域求出集合B,再根据交集的定义即可得解.

【详解】由题可得力={0,1},又又—3>0,则3={%k>g},所以AC8={1}.

故选；D.

X

7.(25-26高三上•湖南长沙•月考)已知集合力={x\y=log2(l-2x)),8={y\y=2},则4n8=()

A.(-8,g)B.&+8)C.(0,4-oo)D.(0，)

【答案】D

【分析】根据对数函数性质可得集合A,根据指数函数性质可求得集合8,根据集合的交集运算即得答案.

X

【详解】由已知可得：A={x\y=log2(l-2%)}=|^<|}»={y\y=2}={y\y>0},

所以4n8=(o,3.

故选：D.

(多选)8.(25-26高一上•重庆•期中)关于函数/(%)=1。82(%2-2%+3)有以下4个结论，其中正确的有

()

A.函数八外的定义域为(—8,-3)U(l,+8)

B.函数f(x)的单调递增区间为口,+8)

C.函数/'(%)的最小值为1

D.函数/(幻的图像恒在％轴的上方

【答案】BCD

【分析】利用二次函数的单调性利最小值，结合对数函数的单调性，可确定对数型函数的各选项.

【详解】由/一2工+3>0=(¥-1)2+2>0可得解集为心故A错误；

由二次函数y=M—2%+3=(x—1)2+2性质可得递增区间为［1,+8),

结合对数函数性质可知函数f(x)的单调递增区间为［L+8),故B正确；

由二次函数y=x2-2x+3=(x-I)24-2的最小值为2,且log?2=1,

结合对数函数性质可知函数/(%)的最小值为1,故C正确：

由于函数/•(%)的最小值为1,所以函数/(%)的图像恒在％轴的上方，故D正确；

故选：BCD

(多选)9.(25-26高一上•广西南宇•期木)已知函数/(%)=log9，则下列说法正确的是()

2

A.函数/'(%)的定义域为(0,+8)B.当0VXC1时，/(X)>0

C./(%)：>1的解集为&+8)D.f(/G))=O

【答案】ABD

【分析】根据对数函数的图像性质逐项解决即可.

【详解】对于A：函数/'(x)=log受的定义域为(0,+8),故A正确:

对丁B：函数/Q)=lug”在(0,十3)单调递减，所以当0<x<1时，函数/(x)=lugix>lugil=0,故B

222

正确；

对于C：函数f(x)=logy在(0,+8)单调递减，/(X)>1,即]ogy>log4,解得0cxV：,故C错误；

22222

对于D：/(/G))=/(logi1)=/(D=0,故D正确.

故选：ABD

(多选)10.(25-26高三上•河北保定•月考)已知函数/(町=川》-。|,贝U()

A./'(%)的定义域为RB.f(x)的值域为R

C.f(x)在(见+8)上单调递增D./•(、)的图像关于直线x=a对称

【答案】BCD

【分析】根据对数函数的性质即可求解AB,根据复合函数单调性法则即可求解C,利用f(r+2a)=f(x)

即可求解D.

【详解】由口一。|>0可得XWQ,故/(幻的定又域为｛x|xWQ｝,值域为R,A错误，B1E确，

由于函数y=忱一在(。,+8)单调递增，在(一8,0)单调递减，而y=Inx为(0,+8)上的单调递增函数，因

此f(x)在(a,+8)上单调递增，C正确，

由于/'(%)的定义域为｛x|xHa｝关于％=Q对称，且/(一％+2a)=ln|-x4-2a-a|=ln|x-a\=f(x),故

f(x)的图像关于直线％=a对称，D正确，

故选：BCD

题型三对数型函数的值域

【例题精讲】

1.(25-26高一下•河北邢台•开学考试)函数/(幻=1-e1nx的值域为()

A.(1,4-co)B.(-00,1)C.(0,+oo)D.(-oo,+oo)

【答案】B

【详解】依题意可知函数定义域为(0,+8),

所以函数/(%)=1-elnx=1-xG(-co,1),

即的值域为(-8,1).

1v3X<2

2.(2025•湖北宜昌•二模)已知a>1,函数/"(x)=4*"-'的值域为R,则实数a的取值范围是()

(logax,z>2

A.[2,+oo)B.(1,&]C.(1,V2)D.[V2,+oo)

【答案】D

【分析】根据吊函数与对数函数性质结合题意列式计算即可.

【详解】当“工2时，函数/•(%)单调递增，所以/'(x)=；x3工2,

要使得函数/•(%)的值域为R，

则当x>2时，loga2<2,解得。之企，所以实数a的取值范围是［加,+8).

故选：D.

3.(25-26高二上•湖南长沙•月考)已知a>l,函数/(幻=尸亡；。，则/'(%)的值域为()

A.RB.(0,4-oo)

C.［1,+oo)D.［a,+8)

【答案】C

【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解.

【详解】因为向十康H，3>1)

当xWa时，/(%)=—X+Q+1,/(乃在(—8,a］上为减函数，

所以/a)Nf(a)=-a+a+l=l.

当x>a时，fix')=logax,

因为a>1,所以/Xx)在(a,+8)上为增函数，

所以/'(%)>/(a)=logaa=1.

综上，/(%)的值域为［1,+8).

故选：C.

4.(25-26高三上•重庆南岸•月考)下列函数中最小值为2的是()

A.y=2'+2rB.y=lnx+.

C.y=x2+2+D.y=x2+2x2

【答案】A

【分析】求出最小值判断ACD;举例说明判断B.

【详解】对于A,y=2x+2-x>2>］2X-2~x=2,当且仅当x=0时取等号，A是；

对于B,当0VXV1时，Inx<0,则yVO,B不是；

对于C,令t=7+222,函数¥=亡+：在［2,+8)上单调递增，当t=2,即％=0时，ymin=C不是;

对于D,y=(x+l)2+l>l,当且仅当％=-1时取等号，D穴是.

故选：A

5.(25-2G高三下•青海西宁・月考)函数f(x)=lg(x2-25)-lg(x-5)的值域为()

A.(1,4-oo)B.(Ig5,4-oo)C.(Igl5,+co)D.(-oo,4-oo)

【答案】A

【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域.

【详解】由俨2—S*。，解得x>5,

(x-5>0

则f(%)=lg爸=lgQ+5)(%>5),

则f(%)为增函数,所以/(%)>lg(5+5)=1.

6.(2026•湖南•三模)已知函数/Xx)=-logax(a>。且a工1)在［1,+8)上的值域为［2,+8),则a=

()

A.4B.2C.1D.［

【答案】C

【详解】函数y=(J,y=-loga%=logy在［1,+8)上具有相同的单调性，

所以/•(%)在［1,+8)上单调，要满足题意，则/(%)在［1,+8)上单调递增，

所以/'(1)=，一log。=2,解得a=£故选C.

2

7.(25-26高一上•天津滨海新•期末)已知函数f(x)=log2(x-mx+m-1),则下列说法俏洋的是()

A.当m=0时，函数/(%)的值域为R

B.若函数/(%)的定义域为(一8,1)u(3,+8),则?n=4

C.若函数在［2,+8)上单调递增，则实数〃?的取值范围是(—8,2］

D.对任意的meR,函数/•&)都不存在最小值

【答案】C

【分析】求出函数的值域为R可判断A,由函数定义域求出m判断B,由函数的单调性求出m的范围判断C,

根据函数的值域为R可判断D.

22

【详解】对于A,当TH=0时，/(X)=log2(x-1),此时不€(-8,-1)U(1,+8),X-1G(0,4-00),

所以"%)=］082(/-1)值域为&故A正确；

对于B,由题意知/-mx+m-1=0的两根为1,3,所以。解得m=4,故B正确；

I】X3—771—1

对于C,因为y=log2t单调递增，又函数/(%)在［2,+8)上单调递增，所以由复合函数单调性知t=/一7n%+

m-1在［2,+8)上单调递增，且c>0,

所以号一，解得m<3,故C错误；

L22—2m+m-1>0

对于D,因为对任意的m6R,方程/-mx+m-1=0的判别式A=m2-4(m-1)=m2-4m+4=

(m-2尸>0恒成立,

令口=%2一瓶％+机一1,则y=log2〃中，u6(0,4-oo),所以函数/'(%)=log2(%2—m%+6-1)的值域

为R,函数不存在最小值，故D正确.

故选：C.

(多选)8.(25-26高一上•江苏常州•期末)下列说法正确的是()

A.若函数/(I一幻的定义域为［0,2］,则函数/(幻的定义域为［一1,1］

B.'=二是定义域上的减函数

X

2

C./(%)=log2(x4-x-6)的值域是(一8,-3)U(2,4-00)

D.，=2〃是“函数f(x)=|x-a|在区间［2,+8)上为增函数〃的充分不必要条件

【答案】AD

【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A,举反例判断B,根据对数函数的性质判断C,根据充分条件、

必要条件的定义判断D.

【详解】对于A：因为/<1一切的定义域为也2］,即0WXW2,所以一141一X41,

所以函数/(公的定义域为故A正确；

对于B：y=/(%)=：的定义域为(一8,0)u(0,+8),又/(-1)=-1</(I)=1,

所以y=：是定义域上一定不是减函数，故B错误；

对于C：令/+无一6>0,解得x>2或3〈一3,所以/(x)的定义域为(一8,-3)U(2,+8),

因为/+%—6能取到所有的正数，所以/'(%)=］〃2(/+¥-6)的值域是/?,故C错误；

对于D：当a=2时，八切=优一2|=｛彳］：黄；，

则函数/(幻在区间［2,+8)上为增函数，故充分性成立，

若羽数/■(%)=|%-。|=｛：二：；1：在区间［2,+8)上为增函数，WJa<2,故必要性不成立，

综上所述，，=2〃是"函数/a)=|x-Q|在区间［2,+8)上为增函数〃的充分不必要条件，故D正确.

故选：AD.

(多选)9.(25-26高一下•河南•月考)己知函数f(x)=ln(/++几)，其中则()

A.八%)可能有最大值

B.当机2-471之0时，若f(x)有定义，则其值域为R

C./(%)在定义域内的区间(-8,-胃)上i定单调递减

D.当根2-4几<0时，f(x)一定存在最小值In(几-拳)

【答案】BD

【详解】A选项，令g(x)=/+n,则/(%)=lng(x),其中g(x)>0,

因为f(x)外层函数为lng(x)，而lng(x)在定义域g(x)>0上单调递增，

且9(%)在定义域内可以取到任意大的正数，所以lng(x)在定义域内没有最大值，

因比/■(%)也没有最大值，A选项错误；

B选项，。(外二7+小工+"的定义域为《△=?n2-4n>0,

则g(x)与工轴有交点，且开口向上，所以仪无)在定义域内能取遍所有大于0的实数，

则FG)=lng(x)的值域为R,B选项正确；

C选项，g(x)=/+爪％+几对称轴为：x=且开口向上，

所以g(x)在(-8,-上单调递减，

若血=一1,n=—2,则g(x)在该区间上的最小值为gQ=-gv0,

则f(x)在该区间上无定义，因此C选项说法不准确；

D选项，若巾2一4九<0,则A=m2-4"<0,即g(x)=/+切工+〃与x轴无交点，且开口向上，

g(x)的最小值为：.(_1)=(-j)2-+n=n-4■且九一;>0,

所以/(%)=lng(x)最小值为：lng(-£)=ln(n—9)，D选项正确.

(多选)10.(25-26高一上•山东烟台•期末)已知函数/"(刈=111(7-1),则下列结论正确的有()

A./(%)为偶函数B./(%)有两个零点

C./(外在区间(1,+8)上单调递减D.f(x)的值域为R

【答案】ABD

【分析】根据函数奇偶性的定义与判定方法，可判定A正确；令/(幻=0,求得x=+V2,可判定B正确;

结合复合函数的单调性的判定方法，可判定C错误；根据对数型函数值域求法求解，可判定D正确.

【详解】对于A,由函数/■(%)=ln(x2-i),则满足/一1>0,解得“<-1或%>1,

所以函数/(%)的定义域为(一8,-1)U(1,+-),关于原点对称，

乂由/(一切=]n[(—x)2—l]=lna2—i)=/(x),所以函数/(%)为偶函数，所以A正确；

对于B,令/'(%)=0,可得ln(%2一1)=0,即工2-1=1,解得％=±企，

所以函数人幻有两个零点，所以B正确：

对于C,令£=%2-1,因为(1,18),可得t>0,且f(t)=Int,

因为二次函数t=公一1在(1,+8)为单调递增函数，且y=Int在(0,+8)也是单调递增函数，

根据复合函数单调性的判定方法，可得函数/'(%)=也(7-1)在(1,+8)为单调递增函数，所以C错误;

对于D,由函数/(%)=ln(x2-1)的定义域为(-8,-1)u(1,4-00),

令1二/-1,则t>0,即/取遍所有正数，所以函数/'(£)=1比的值域为R,

即函数=)n(x2-1)的值域为R,所以D正确.

故选：ABD.

题型四对数函数的单调性及解不等式

1.若对数底数。确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0,如：

当a>1时,log4/(x)>log”g(x)n/'(x)>g(x)>0；

当0vav1时,log„f(x)>log“g(x)=>0<f(x)<g(x).

2.若底数。不确定，需分a>1和0<a<1两种情况讨论。

3.比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值(如log,9=l、log"=0)辅助判断。

【例题精讲】

1.(25-26高一上♦北京延庆•期末)下列函数在其定义域内是增函数的是().

11

A.y=B-y=-log2xc.y=--D.y=X3

【答案】D

【分析】根据指数函数，对数函数，幕函数，反比例函数的单调性可判断选项.

【详解】对于A,因为所以y=G)”为减函数，A不正确：

对于B,因为y=log2%为增函数，所以y=-log?”为减函数，E不正确；

对于C,由反比例函数的单调性可知y=在区间(-8,0)和(0,+8)上分别递增，但在定义域内不是增函

数，C不正确；

对于D,因为:>0,所以y=/在［0,+8)上为增函数，

又〔一万二一蓝，所以y=A为奇函数，所以y=£在区间(一8,0］上也是增函数，

即y=U在定义域内足增函数.

故选；D

2

2.(25-26高一上•湖南常德•期末；设函数f(x)=-x+2%+3,g(x)=logax(0<a<1),则函数g(f(x))

的单调递减区间为()

A.(—1,3)B.(3,4-oo)C.(—8,-1)D.(—1,1)

【答案】D

【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间.

2

【详解】由g(f(x))=logj(x)=loga(-x+2x+3),

由定义域可知：一/+2x+3>D=>-l<x<3,

结合二次函数的对称轴％=1,

可知：/(%)=-%2+2x4-3在一1V%V1上单调递增，在1VxV3上单调递减，

因为0<a<1,所以函数g(/(x))的单调递减区间为(一1,1).

故选：D

z

3.(2026•安徽安庆•二模)已知集合M={x|0<log2(x+1)V2},N={x|x+%-2<0},则MnN=()

A.[0,2)B.(-oo,0)C.[0,1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】分别解对数不等式与二次函数不等式，结合交集运算即可求解•.

【详解】解不等式0<log2(x+1)<2得0<x<3,即集合M=[0,3),

解不等式/+x-2<0得一即集合N=(-2,1),

则MnN=[0,1).

4.(2026•江西抚州•二模)已知函数/2,若八1一a)“(a),则实数a的

Iz—/(—x),一乙<X<U

取值范围是()

A•卜21)B.8+8)C.(-8,JD.(1,2)

【答案】D

【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式.

【详解】根据复合函数的单调性可知函数/'(X)=2-log2(—x+2)在[0,2)上单调递增.

当xe(一2,0州寸，-xe(0,2),则f(%)=2-/(-X)=2-[2-log2(x+2)]=log2a+2),

易知f(%)在(-2,0)上单调递增,

而函数/(%)在％=0处连续，故/(%)在(-2,2)上单调递增，

由f(l-a)</(Q),得一2<1-Q<Q<2,解得：VQV2,

故实数a的取值范围是G，2).

5.(2026・江苏•二模)若loga^Cl,贝ija的取值范围是()

A.(1,2)B.(1,4)C.(2,+8)D.(4,+8)

【答案】D

【详解】由题可得：—>0,。>0月政。1,可得

a-1

则bga言<1Ol°ga言<Sg/，

根据y=logt(a>1)单调递增可得上_<a,

afl—1

解得a>4,即a的取值范围是(4,+8).

6.(2026・陕西榆林•模拟预测)若函数丫二收(/一。》一2。)在区间(2,+8)上是单调函数，则实数Q的取值

范田是()

A.(1,2)B.(—8,1]C.(—8,2]D.(—8,4]

【答案】B

【详解】因为函数y=lgx在(0,+8)上单调递增，

函数y=x2-ax-2a在E，+oo)上单调递增，在(一co,皆上单调递减，

函数y=lg(%2一一2a)在区间[2,+8)上是单调函数，所以且4一2Q—2Q>0,

所以a<1.

7.(25-26高一下•湖南长沙•月考)设Q>0且QO1,函数f(x)=一”+5'”一/的定义域为R.若/(幻

13+Iogax,x>2

的值域为L+8),则〃的取值范围为()

A.[a,+8)B.[4,+a))C.(1,V2]D.(1,4]

【答案】D

【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数.

【详解】若8,2],则/(外的取值范围是t,+8).

当X>2时,/(%)=3+logax,分两种情形讨论：

若则/(%)在(2,+8)单调递增，相应/1(%)的取值范围是(3+10ga2,+8),

因此要使f(x)的值域是卜+8),应当有3+loga2Ng两端都取。为底可得。四星之最，解得1VQW4.

当OvaVI,则人外在(2,+8)单调递减，相应/(幻的取值范围是(-8,3+log.2),此时无法满足/(幻的

值域是t，+8）,故舍去.

综上可得1VQ44.

（多选）8.（25-26高一上•四川遂宁•期末）下列说法正确的有（）

A.函数y=Q）国的最大值为1

B.任取XER,都有铲>3"

C./（X）=log2a2-2%）的单调递增区间是（1,+8）

D.在同一坐标系中，函数y=2*与函数y=log2%的图像关于直线y="对称

【答案】AD

【分析】利用指数函数单调性求值域可判断A,利用指数函数性质即可判断B,利用对数函数的定义域可

判断C,利用反函数性质判断D即可.

【详解】对于A,由于|万之0,由指数函数的单调性得y=G）凶£Q）°=1,故A正确，

对于B,由于当％=-1时，=故B错误，

对于C,令/—2%>0,解得工€（-8,0）U（2,+8）,

则八%）的定义域为（一8,0）11（2,+8）,其单调递增区间不可能是（1,+8）,故C错误，

对于D,由于函数y=2*可得％=10g2y，

可得函数y=2#与函数y=log?》互为反函数，

则它们的图像关于直线y=x对称，故D正确.

故选：AD

（多选）9.（2025•辽宁•模拟预测）已知实数a,b满足log^Q—1）>log1。）一1）,则（）

A.3a<3bB.(a—匕)(a+b—2)>0

2a-i>2b-iD.-2)2V-23

【答案】AC

【分析】根据给定条件，结合对数函数性质可得1<a<6,再结合指数函数性质、不等式性质逐项判断.

【详解】由logKa-1）>logKb-1）,得0<a-l<b-1,则l<avb,

22

对于A,3a<3b,A正确；

对于B,令Q=2,b=3,则（a-b）（a+b-2）VO,B错误；

对于C,2b-l>2a-l>1,则hJ>Y-，C正确；

2a-l2D-1

对于D,若a=1.5,b=2,则y(a-2)?>0=飞(b-2)2,D错误.

故选；AC

(多选)10.(25-26高一上•重庆•月考)“给出下列结论，其中正确的结论有()

A.函数y=的最小值为:

B.已知函数y=loga(3-ax)(a>0且QH1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1,3］

C.函数y=/(%)的定义域为［1,2］,则函数y=f(2。的定义域为［2,4］

D.若函数/a)=lg(a/+5x+4)的值域为R,则实数Q的取值范围是［0潦］

【答案】ABD

【分析】根据复合函数值域的求法，结合指数函数的单调性，艮］可判断A的正误；根据复合函数单调性的

求法，可判断B的正误；根据抽象函数定义域的求法，计算化简，可判断C的正误；根据复合函数值域的

求法，结合二次函数的性质，分析求解，可判断D的正误.

【详解】选项A：令£=一/+L因为/NO,所以

囚为y=Q)'在(-8,1］I.单调递减，所以当t=i,y=Q)’有最小值;

所以函数y=的最小值为%故A正确；

选项B：令〃=3—QX,因为Q>0