函数的概念及其表示-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）原卷版

专题2.1函数的概念及其表示.重难点题型精讲

”20否兴

1.函数

函数

两个集合A,B设A，B是两个非空数集

如果按照某种确定的对应关系力使对于集合A中的任意一个数

对应关系/：Ai

x,在集合B中都有唯一确定的数/(幻和它对应

名称称/：A-8为从集合A到集合B的一个函数

函数记法函数y=/(x),x^A

2.函数的相等

同•函数：只有当两个函数的定义域和对应去至都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.

3.函数的表示法

函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别月几个不同的式子来表示，这种函数称为分

段函数.

5.抽象函数与复合函数

(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.

(2)复合函数的概念：若函数：尸也)的定义域为A,函数4g(x)的定义域为。，值域为C,则当CGA时,

称函数y=i/(g(x))为/⑺与g(x)在。上的复合函数，其中/叫做中间变量，片g(x)叫做内层函数，)可(/)叫做外层

函数.

短储千一五三

【题型1函数的概念】

【方法点拨】

⑴函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以

“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.

【例I】（2022春•三明期末）已知集合4={M-2VxW“,8={y|0VyW4},则下列对应关系中是从集合人

到集合3的函数是（）

A./：A—*y=x+lB./：C./：L,y=/D./：L.y=|M

【变式1-1]（2022春•兴庆区校级期末）设集合M={x|0WxW2},N={），|0W）W2},那么下列四个图形中,

能表示集合M到集合N的函数关系的有（）

A.①②®®B.①②③C.②③D.②

【变式1-2](2021春•九龙坡区期末）设A={.r|0WxW2},4={y|lWyW2},图中表示4到8的函数的是

【变式1-3]（2021秋•锡山区校级期中）下列各式中，表示），是x的函数的有（）

®y=x-(x-3)；

②y=Vx-2+V1-x；

x-1,X<0

③y=

/+1,x>O'

-C，X为有理数

9,x为无理数

A.4个B.3个C.2个D.1个

【题型2函数的定义域问题】

【方法点拨】

①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式(组)，即可求解，把不等式(组)的解集表示成

集合或区间的形式.

②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.

【例2】(2022春•兴庆区校级期末)函数y=+2的定义域为()

A.{x|x>・1且xWO}B.{x\x^-1}C.(小2・1且xWO}D.{x\x>

-1)

【变式2-1](2022春•玉林期末)已知函数f(x)的定义域为(3,5),则函数f(2x+l)的定义域为()

A.(I,2)B.(7,11)C.(4,16)D.(3,5)

【变式2-2](2022春•渭滨区期末)若函数/(%)=>/。%2+以+1的定义域为R,则〃的范围是()

A.[0,4]B.10,4)C.(0,4JD.(0,4)

【变式2-3](2022春•让胡路区校级期末)已知函数/(公的定义域为(-2,2),则函数g。)=f(2%)+

Jl-lgx的定义域为()

A.|.v|0<x<4}B.(x|-4<x<10}C.{x\-l<x<l|D.{A|0<X<1}

【题型3函数的值域问题】

【方法点拨】

①已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；

②已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值

或取值范围.

【例3】(2022春•兴庆区校级期末)函数f(%)=%+7^=1的值域是()

7

A.[2,+8)B.6，+00)C.[0,+8)D.(2,+«>)

【变式3-1】(2022春•定南县校级月考)函数y=的值域为()

A.(一8,一第B.(一8,一呈)C.(竽，+8)D.[呈，+00)

【变式3・2】(2021秋•鞍山期末〕若函数/(x)=]4*-；-2'+久的值域为[0,+8),则实数。的取值范围

是()

A.g}B.+co)C.(-8,刍D.[O,+°°)

【变式3・3】(2022春•金华期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

关兴，用其名字命名的“高斯函数”：设在R,用卬表示不超过x的最大整数，则丁=卬称为高斯函数,

也称取整函数，例如：[-1.3]=・2,[3.4]=3,已知/(幻=7二7,则函数尸外幻]的值域为()

3+1J

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【题型4求函数的解析式(待定系数法)】

【方法点拨】

待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法.

【例4】(2021秋•蚌山区校级期中)己知/(%)是二次函数，且/(-I)=4,/(0)=1,/(3)=4.

(1)求/(x)的解析式.

(2)若疾[-1,5],求函数/(%)的值域.

【变式4-1](2022春♦桃源县月考)若指数函数/(x)的图像过点A(2,9).

(1)求函数/6)的解析式：

(2)当入0・2,3]时，求函数/(公的值域.

【变式4-2](2020秋•松山区校级期末)已知函数/'(X)=置产，/(I)=1,/(2)=5.

(I)求函数/(x)的解析式；

(2)求函数/(x)在[-1,一上上的值域.

【变式4・3】(2021秋•武平县校级月考)已知二次函数/(x)满足/(x+1)-fCx)=2丫且/(0)=1.

(I)求/(x)的解析式；

(II)在区间[-1,1]上求y=/(x)的值域.

【题型5求函数的解析式(换元法)】

【方法点拨】

换元法：主要用于解决已知复合函数f(g(x))的解析式，求解函数八用的解析式的问题，先令g(x)=t解出X

及用含t的代数式表示X,然后带入“X)中即可求得/⑺，从而求得/(X),要注意新元的取值范围.

【例5】(2020秋•南康区校级月考)已知函数/(#满足/(与)=%.

(1)求/(X)的解析式；

(2)求函数y=f(*)-右有的值域.

【变式5-1](2021秋•太和县校级月考)(1)已知函数)，=/(%)满足fG)=2fC-)+x,求/(%)的解

x

析式；

(2)求函数y=3x+，l-3%的值域.

【变式5-2](2020秋•遵义期中)已知函数f(x)满足/(2x+2)=3+log2(x+1).

(1)求/(x)的解析式:

(2)若/(x)的定义域为[1,8],求函数8(A)=/(x)-3/-(2v)的值域.

【变式5-3]（2021秋•翠屏区校级期中）已知函数/'（4+2）=3x+2+2,函数g（x）=1-2x+衣率2

人

（1）求函数/（X）的解析式，并写出其定义域.

（2）求函数g（x）的值域.

【题型6分段函数的求值问题】

【方法点拨】

①求函数值：当出现了4（幻）的形式时，应从内到外依次求值.

②求自变量或求参：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或含参的代

数式，切记要代入检验.

【例6】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f（x）=｛二、；；；；；，则/■[/&）]的值为（）

【变式6-1](2021秋•泸州期末)函数/•(x)=fs6'O’