离散型随机变量【11大题型】（原卷版）-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

离散型随机变量【11大题型】

------------------目录

A题型建模•专项突破

题型一、随机变量分布列的性质..................................................

题型二、随机变量分布列与概率综合..............................................2

题型三、重复随机事件...........................................................4

题型四、分配问题...............................................................5

题型五、竞赛问题...............................................................6

题型六、摸球问题..............................................................10

题型七、两点分布..............................................................11

题型八、图表型................................................................11

题型九、函数型................................................................13

题型十、数列型................................................................15

题型十一、离散型随机变量数字特征及其应用.....................................16

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、随机变量分布列的性质

1.设随机变量X的分布列为P（＞=i）=h（，=123,4）,则。=（）

A.—B.—C.—D.-7

241064

2.已知随机变量X的取值为1,2,3,若尸（X=1）=P（X=3）=；,则P（X=2）=（）

A.；B.-C.YD.—

4324

3.（多选）若离散型随机变量X的分布列如卜表所示，则卜.列说法错误的是（）

X01

P9c2-c3-8。

A.常数c的值为彳2或;1B.常数。的值为:

•J2

1/27

i2

c.p(y=o)=-D.p(x=o)=§

4.设离散型随机变量X的分布列如下表，若随机变量y二|x-2|,则P(y=2)=.

X01234

P0.10.20.103m

5.己知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量y=2X+l,则P(Y25)=

X0123

\_

pa5a

36

6.已知随机变量X的概率分布规律为尸(X=")=湍D(〃=l，2,3,4),其中。为常数，则

题型一•、随机变量分布列与概率综合

7.一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为〃.如果

〃=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验：如果〃=4,再从这批产品

中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批

产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5,且各件产品是否为优质品相互独立.

⑴求这批产品通过检验的概率：

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用

记为X(单位：元)，分别求P(T=400)和P(¥=500).

2/27

8.某种量子加密技术所用光子有两种指向："0指向”和"1指向〃，光子的发送和接收都有48两种模式.当

发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发

射器以A模式，从两个“1指向”、两个"0指向〃的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以力或者B模

式接收，其概率分别为:和|•每次发送和接收相互独立.

⑴求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；

⑵记发射器共发射“0指向”光子个数为X,求X的分布列.

9.小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝

试3次，一旦输入正确，门立即打开：若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受愉入.根据

小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次尝试是否成功相互独立.

⑴设随机变量X表示小华实际尝试输入密码的次数，求X的分布列：

⑵求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率；

⑶若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率.

3/27

题型三、重复随机事件

10.甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时.视为平局，当

两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜.重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2

局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则尸(X=4)=()

A.±B.Ac.AD.兽

16326464

11.小明设计了一款虚拟甩子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目

标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该

弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，

若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准

枪口重复射击，直至击中FI标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能

击中目标，记参与者击中目标共需要射击X次.

⑴求P(X=1)和P(X=2)的值；

。)求”的所有可能取值：

⑶求X的分布列.

12.为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂〃进校园心理健康

教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之

间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配

合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行〃次这样的操作，记甲盒子中

黑球的个数为X”，恰好有2个黑球的概率为％,恰好有1个黑球的概率为2.

⑴求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率；

⑵求X3的概率分布和数学期望刈七).

4/27

题型四、分配问题

13.今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如

下：

高一年级高二年级高三年级

10人6人4人

⑴若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X

的分布列；

⑵若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立

的），记安排到高一年级的教师人数为求随机变量g的分布列.

14.2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组

合间进行，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一•对

赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，

则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金.已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的

概率为黄政/孙艺赢的概率为1-p,且每场比赛相互独立.

⑴若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组

合赢得全部奖金的概率/（P）;

⑵若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少

不同的情况？

⑶若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设夕二若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇

组合获得奖金数X的分布列.

5/27

15.已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.

血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.

（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验：②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液

混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验,

直至确定感染者.

（/）采取逐一化验，求所需检验次数4的数学期望；

（//）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方

案.

题型五、竞赛问题

16.甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为

⑴采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束）

（I）求一场比赛中，甲以3:2的比分赢得比赛的概率；

（ii）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率；

⑵判断“五局三胜制〃和“三局两胜制J〃哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由.

6/27

17.DccpScck是由中国杭州的DccpScck公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用.为提高

De叩Seek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek培训.培训结束之后，公司举行了一次DeepSeek

专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3

道及以上则进入决赛，否则被淘汰.

⑴若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；

(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目

则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答

2

对每道题目的概率均为且每次答题相互独立，设甲获得奖金为4,求4的分布列及数学期望.

18.甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一

直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为。，乙获胜的

概率为〃，双方平局的概率为C(Q+/)+C=1M>02>0,c>0),且每局比赛结果相互独立.

(1)若。=力=。,求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率.

⑵若c=0,且比赛最多进行5局.比赛结束时的比赛局数为X，

(i)求X的分布列(用字母表示)；

(ii)求£¥的最大值.

2

19.甲、乙两位同学进行乒乓球匕赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为。，乙获胜

7/27

的概率均为§.

⑴若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为x.求x的分布列;

⑵若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了,求在此条件下进行了5局比赛的概率.

20.如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1

格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束.在成语接龙中，甲获胜的概率为没有平局，且每轮比

赛的结果都相互独立.

第6格

>5^

第4格

第3格

甲乙

⑴求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率;

(2)求第2轮游戏结束，甲前进的样数比乙前进的格数大的概率;

⑶若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为X,求X的分布列与数学期望.

21.2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔

8/27

队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，

则需进行加发任意球训练，每人发10次.已知甲队员每次发中的概率为g且每次是否发中相互独立.

⑴求甲队员通过测试的概率；

2

⑵芳乙队员每次发中的概率为§且每次是否发中相互独立.设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意

球训练的次数之和为％,求x的所有情况及对应的概率.

22.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.为举行这场体育盛会，

某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其

中预赛规则如下：

①每组队伍先从48两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞

赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束;

②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛.

市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对/类中每个问题的概率均为0.7,答对B类中每个问

题的概率均为0.5,乙答对4类中每个问题的概率均为0.4,答对8类中每个问题的概率均为0.8.

⑴芳“梦幻〃队先回答/类问题，记X为"梦幻〃队答对问题的个数，求X的分布列；

⑵为使“梦幻〃队进入决赛的概率最大，"梦幻”队应选择先I可答哪类问题？并说明理由.

23.如果随机变量（XJ）全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我们就称（XJ）是二维离散

9/27

型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮捡答环节，共有三题供甲、乙二人抢答.已知

2

甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、乙答对的概率分别为5和

［对于每一个题，抢到题并回答正确的得1分，没抢到题的得。分，抢到题但回答错误的扣1分(即得T

分)，三题抢答结束后，得分高者获胜(每题都有人抢答).记这次比赛中，甲、乙得分数分别为x,y,(X,y)

是二维离散型随机变量.把(x,y)所有可能的取值，和取这些值的概率画在一张表中，这张表为二维离散型

随机变量(工丫)的分布列.

Y-3-2-10123

X

-3P(-3,-3)P(-3,-2)2-3阳A-3.1)WP(T3)

P(-2.-3)P(-2,-2)P(-2.O)P⑷)

-2々-21)々々J)p四

-1%7)P(-"2)%。)%」)%3)

0P(0.-3)P(o，FP(o.o)P(OJ)Pg)*

｛】「P(I.O)P(I3)

1P3)巴「1)Pg

2P(2T)gP(2.0)弧%2)生.3)

3P(3TPUT43T心)Pg)Pg)

其中P(fj)=P(X-

(1)求P(2.0)，P(2,f；

⑵求P(1—1|X=2)；

⑶已知随机事件X=0发生了，求随机变量Y的分布歹U.

题型六、摸球问题

10/27

24.一个不透明的口袋中装有3个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口

袋中一次性地摸出3个球.

⑴求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；

⑵记摸出的球的颜色种类为X,求X的分布列.

25.已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，x（2WxW8）个白乒乓球.

⑴甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中

有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回.当x=2时，

（i）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率；

（ii）记€表示游戏结束时甲摸球的次数，求彳的分布列.

⑵整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻.记不超过3

个黄乒乓球排在一起的概率为P，若吟,求x的最小值.

26.一个抽奖箱中有10个球，其中3个红球，4个黄球，3个蓝球.从箱中随机摸出一个球，根据颜色获

11/27

得相应奖金：红球10元，黄球5元，蓝球1元.定义随机变量郎为获得的奖金数额.

⑴求随机变量力的概率分布列.

⑵求w的累积分布函数厂（M,并画出其图象.

⑶计算P（沙<6）和尸（2<%410）.

27.一口袋中装有10个小球，其中标有数字1,2,3,4,5的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同.

⑴某人从中一次性摸出4个球，设事件月"摸出的4个球中至少有一个数字是5〃，事件4“摸出的4个球中

恰有两个数字相同”；分别求事件力和事件8的概率；

⑵现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；

否则继续摸球，当摸到第〃（〃之2）个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设X表示摸球的次数

（i<y<«,yey*）,求随机变量x的期望，并比较期望与i的大小.

题型七、两点分布

12/27

28.已知随机变量服从两点分布，且尸仔=1)=0.28,设〃=1-3久则P("=1)=()

A.0.72B.0.28C.0.16D.0.84

29.若X服从两点分布，且P(X=l)=7P(X=0),则P(X=0)=()

A.--B.—C.-D.—

81284

I70

30.已知随机变量x,y均服从两点分布，且P(X=I)=E，p(r=i)=-,若夕(x=i,y=i)=w，则

P(K=I|%=O)=()

238

A.—B.—C.—D.—

551515

31.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.4,若y=3X-2,则P(y=l)=.

32.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)+4P(X=l)=3,则P(X=0)=.

33.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变最X

表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列.

题型八、图表型

13/27

34.某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所

示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.

八频率/组距八频率/组距

0.030-------------0.032--------------

O2—0.028-------------

O.O20

O.O190.020----------T-

.O0.016------1—

0.006

0.0040.004—1-

寂Him成绩分O05060708090成绩办

图1图2

⑴根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由.

(2)规定学员得分80分以上(含80分)的为“优秀学员〃，低于80分的为“非优秀学员〃，现采取分层随机抽

样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求

选出这3名队员中优秀人数X的分布列.

35.某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV｝和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况，在该

14/27

市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）

低收入群体（收入＜20中收入群体（收入20万元高收入群体（收

车型

万元/年）-50万元/年）入＞50万元/年）

愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意

EV502040403020

PHEV254540403515

假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.

⑴在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV）的概率p；

⑵从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购

买纯电动（EV）汽车的人数，求X的分布列和数学期望；

⑶若该市。社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2,从该社

区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（EV）汽车的概率设为幺，试比较〃和P”的大小.

36.在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有笫25百分位数（即下四分位数）与笫75

15/27

百分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分

成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底

边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示.已知48两个班级人数相同,

在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示.

分数，

1AAJ「上边缘

一上四分位数150

80-一中位数120

—工90

卜四分位数

60-60

下边缘30

40-一

力班B班班级

图1图2

⑴求A班成绩的上四分位数和B班成绩的中位数;

⑵据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中4班3人，/?班5人，从中抽取3人作学习经验分享,

设这3人中来自8班的人数为X,求X的分布列.

⑶在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自4班和8班的概率分别是多

少？

16/27

题型九、函数型

2

37.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为〃的函数：1(x)=x,f2(x)=x,

=,/；(x)=sinx,4x)=cosx,f6(x)=2\x\+\.现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每

次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X,则X<3

的概率为.

38.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08,只选

甲和乙的概率为0.12,至少选一门课的概率为0.88,用彳表示小张选修的课程数量和没有选修的课程数量的

乘积.

⑴求学生小张选修甲的概率.

⑵记“函数/'(力=/+欠为R上的偶函数”为事件人求事件彳的概率.

⑶求4的分布列.

17/27

39.已知某地居民某种疾病的发病率为0.02,现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者.

⑴若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01,未患病但检测显示患病的概率为

0.05.

①求检测结果显示患有该疾病的概率；

②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）

⑵若该检测方法不可能出错•，采用混合化验方法：随机地按攵人一组分组，然后将々个人的血样混合再化验,

如果混合血样呈阴性，说明这4人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一

小组都要按要求独立完成），左取何值时，总化验次数最少？

说明：函数/（》）=’-0.98«>0）先减后增.

X

0.9860.9870.98K0.989

0.88580.86810.85080.8337

17

40.一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：J.=x12+-,乃=工+—,%=sin2x,

2x

1-1,、111

y=cos-x,必二tan2x,^=-—,y=logx,y=2x+-y=~,J=--.

4261+272s2t9x2lo

⑴现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继

续进行，求抽取次数X的分布列：

⑵现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

⑶甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1

张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平,

请说明理由：若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.

18/27

41.某医药开发公司实验室有n(neN.)瓶溶液，其中M〃?wN)瓶中有细菌R,现需要把含有细菌R的溶液

检验出来，有如下两种方案：

方案一：逐瓶检验，则需检验〃次；

方案二：混合检验，将〃瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R,则〃瓶溶液全部不

含有细菌R：若检验结果含有细菌R,就要对这〃瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为“+L

(1)假设〃=5,〃?=2,采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；

⑵现对〃瓶溶液进行检验，己知每瓶溶液含有细菌氏的概率均为「(0WF41).

若采用方案一.需检验的总次数为殳若采用方案二.需检验的总次数为〃.

⑺若27的期望相等.试求产关于〃的函数解析式P=/(〃)；

㈤若p=]_e±且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望•求〃的最大值.

参考数据：In2«0.69,In3»1.10,In5«1.61,In7®1.95

题型十、数列型

42.设离散型随机变量J的取值为1,2,3,99,且』(设=&)=。痣=1,2,3,.・,99),则()

A.当数列｛&｝为等差数列时,牝。$

1

B.数列｛4｝的通项公式可能为%=9(«+g)

C.当数列｛4｝满足4=L…,98)时，。「生…须二白？

D.当数列｛4｝满足尸(/小血(〃=1,2,…,99)时，叫=称

19/27

43.某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为1,

投不中的概率为］为激励学生运动的枳极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次,

4

每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分.

⑴若投篮2次，最终得分为X,求随机变量X的分布列和期望；

(2)设最终得分为〃的概率为匕，证明：数列｛勺.「勺｝为等比数列，并求数列｛勺｝的通项公式.

44.2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据

23

调查拥有电动车的家庭中，石的家庭只拥有电动车，W的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭,

JJ

若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立,

且视调查频率为概率.

⑴从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

⑵从被调查家庭中随机抽取〃(“END户，记这〃户的合计得分恰为〃+1的概率为P.，求

P^P2+-+P„.

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45.投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1,2,3,4时得1分，独立

地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.

⑴设投掷2次骰子，最终得分为X,求随机变量X的分布列与期望；

⑵记〃次抛掷得分恰为〃+1分的概率为%,求｛%｝的前〃项和S,:

题型十一、离散型随机变量:数字特征及其应用

46.已知随机变量X的方差为。（X）=2,则。（3X-1）=（）

A.18B.17C.6D.5

47.己知随机变量X的分布列如表所示（其中qrR）：

X012

2

P1-317q

5

则随机变量X的数学期望E（X）等于（）

I334

A.—B.—C.-D.—

4455

48.一个将输入计算机的正整数〃“归零〃的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用曲〃）中的任

意•个整数替换〃的值并输出替换后的〃值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值〃为

3,终止操作时按回车键的次数为X,则X的数学期望为（）

II「13…7c5

A.—B.—C.-D.—

6632

49.在一个盒子中装有4张卡片，卡片.上的编号依次为1,2,3,4,现从中有放回地抽取〃［次卡片，每次

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仅抽取1张，记这用次抽取的卡片的最大编号为X,则使得万(X)N孩成立的最小的〃?的值为.

50.在临床上，£4病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为:.若感染£4病毒，检测结果呈阳

919

性的概率为正；若未感染破病毒，检测结果呈阴性的概率为5.检测结果相互独打

⑴求某人£8病毒检测结果呈阴性的概率；

(2)现有4人参加此项所病毒检测，用X,丫分别表示这4个人中E6病毒检测结果呈阳性和阴性的人数,

记z=|x-y|，求随机变量Z的分布列及均值.

51.甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球(分3次发，每次发1个一球)，若某次发球成功，则该

次发球者得2分，对方得T分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得7分，对方

得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为|,乙每次发球成功的概率为且第一次发球

者为乙，每次发球是否成功相互独立.

⑴在前两个球发完后，求甲共得1分的概率；

(2)设甲这次发球练习的总得分为K求X的分布列与期望.

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52.某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便

正式录取，且这两个环节能否通过相互独立.现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通

过笔试、面试的概率分别为9乙、丙通过笔试的概率均为:，通过面试的概率均为9

⑴求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；

⑵为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标

准如下表：

参与环节笔试面试

补贴（元）100150

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望.

综合攻坚•能力跃升

1.己知随机变量X的分布列为P（X=i）=；,（i=l,2,3,4,5）,则P（XN3）=（）

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

2.已知一组数据Xj々，…%的平均数为亍，方差为一,则数据4占-3,4吃-3,…，4工-3的平均数和

方差分别为（）

A.4x-3,4?-3B.4x,16r-9C.4x-3,16?-9D.4J-3,16?

3.已知随机变量X满足两点分布，且P（X=l）=a,则“E（X）=2〃是9（X）="的（）

37

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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.现有编号1,2,3，…，〃的〃个学生，入座编号1,23…，〃的〃个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不

同的学生数为X,己知X=3时共8种坐法，则()

A.〃=6B.P(X