高三数学一轮教案：随机抽样统计图表

§9.1随机抽样、统计图表

【课标要求】1.了解获取数据的基本途径2会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽

样3能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.

1.总体、个体、样本

调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总修，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查

对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为拄主，样本中包含的个体

数称为样本容量,简称样本量.

2.简单随机抽样

抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

3.分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个

子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样

方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.

4.统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差;

②决定组距与组数:

③将数据分组;

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

⑴在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关.(X)

(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.(7)

(3)在或比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(X)

(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.(4)

2.从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是

()

A.该年级500名学生的体重是总体

B.该年级每名学生的体重是个体

C.抽取的60名学生的体重是一个样本

D.抽取的60名学生的体重是样本容量

答案D

解析由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学

生的体重，个体是该年级每名学生的体重，

样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60,故只有D不正确.

3.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大、最灵敏的单口径射

电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（）

A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据D.通过查询获取数据

答案C

解析“中国天眼”主要是通过观察获取数据.

4.从某校随机抽取某次数学考试ICO分以上（含100分，满分15D分）的学生成绩，将他们的分数绘制成如图

所示的频率分布直方图.若共抽取了10（）名学生的成绩，则分数在［120,130）内的人数为.

答案30

解析因为频率分布直方图中所有的小矩形面积和为1,所以（0.005+0.035+。+0.020+0.010）乂10=1,

解得“=0.030,所以分数在［120,130）内的人数为100X0.030X10=30.

1.利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取,若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定

的技术处理，比如将结果取成整数等.

2.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.

题型一抽样方法

例1（1）现要用随机数法从总体容量为240（编号为001到240）的研究对象中挑选出50个样本，则在下

列数表中按从左至右的方式抽取到的第四个对象的编号为（）

324517449114562165100245689640

568165546441630856210521484513

1254102145

A.5B.44

C.I65D.210

答案D

解析由随机数表抽样方法可知，以3个数字为单位抽取数字，数字不能大于240,且要去掉重复数字，

据此第一个数字为114,第二个为165,第三个为100,第4个为210.

(2)为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲、乙、丙3地的空气质量进行调查，按地域特

点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2(),y,z,且依次构

成等差数列，而2(),〉，-10,z成等比数列，若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取3()个观测点,

则丙地应抽取观测点的个数为()

A.18B.16

C.10D.4

答案B

解析依题意知J20+Z=,解得p=5。，

l(y-10)2=20Z,(Z=80,

所以丙地应抽取观测点的个数为二—X8O=I6.

20+50+80

思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②等可能抽取.

⑵在於比例分配的分层随机抽样中，抽样比=把空=各层样本容量

总体容量各层个体总量

跟踪训练1(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是()

A.某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训

B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验

C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本

D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查

答案B

解析A选项中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；

B选项中，从1()部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；

C选项中，由于被抽取的样本总体的个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；

D选项中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是简单随机抽样，故D错误.

(2)(2024.驻马店模拟)某电影上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力

度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行按比

例分配的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多()

A.6人B.9人

C12人D15人

答案B

解析设中年人抽取x人，青少年抽取），人，由按比例分配的分层隧机抽样可知黑=/芸=专，解得x

=15,y=6,故中年人比青少年多9人.

题型二统计图表

例2（1）（多选）根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达

到9小时，高中生应达到8小时.某机构调查了1万名学生睡眠及学习的时间，利用信息得出如图所示

的折线图，则以下判断错误的有（）

A.高三年级学生平均学习时间最长

B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准

C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间

D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠

答案AD

解析根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，故A错误；

根据图象可知，中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准，故B正

确；

根据图象可知，学习时间长于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，占比为盘，睡眠时间长于学

16

习时间的占比为二，所以大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间，故C正确；

16

从高三到大学一年级，学习时间减少了9.65—5.71=3.94（小时/天），睡眠时间增加了8.52—7.91=0.61（小时

/天），故D错误.

（2）（多选）如图为某市2024年第二季度全市居民人均消费支出构成图.已知城镇居民人均消费支出7924

元，与上一年同比增长4.4%；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8%,则关于2024

年第二季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（）

A.2024年第二季度该市居民人均消费支出6393元

B.居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50%

C.城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小

D.医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6%

答案ABD

解析2024年第二季度全市居民人均消费支出为2084+453+1435+356+791+583+528+163=6

393（元），故A正确；

易知患住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为2084+1435=3519（元），占总人均消费支出的

鬻、1。。％=55.。%>5。％,故8正我；

依题意可得2023年第二季度城乡居民人均消费支出的差额为需一鬻叼520（元），2024年第二季度城乡

居民人均消费支出的差额为7924-4388=3536（元），由于3520<3536,故C错误；

医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的宁署X100%^20.6%，故D正确.

思维升华统计图表的主要应用

（1）扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.

（2）折坡图：描述数据随时间的变化趋势.

（3）条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.

跟踪训练2（1）（多选）（2025・商洛模拟）如图，是某款新能源汽车在速度、稳定性、安全性、易用性、续

航能力这五个方面的综合评分的雷达图，则下列结论正确的是（）

A.这款新能源汽车在速度方面的综合评分高于稳定性方面的综合评分

B.这款新能源汽车在稳定性和续航能力这两方面的综合评分相等

C.这款新能源汽车在安全性方面的综合评分最低

D.这款新能源汽车在速度方面的综合评分商丁易用性方面的综合评分

答案ABC

解析由雷达图可知，这款新能源汽车在速度方面的综合评分在（8,10）内，在稳定性和续航能力这两方面

的综合评分都是8分，在安全性方面的综合评分在（6,8）内，在易用性方面的综合评分是10分，故A,B,

C正确，D错误.

（2）（多选）给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）

A.从折线图能看出世界人口的变化情况

B.2050年非洲人口大约将达到13亿

C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多

D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

答案AC

解析对于A,从折线图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的；

对于B,从条形图中可得到，2()5()年非洲人口将达到大约18亿，所以是错误的；

对于C,从扇形图中能够明显的得到结论，2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以是正确的；

对于D,由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是错误的.

题型三频率分布直方图

例3某中学随机抽取50名学生进行体能测试，其得分(满分100分)如下(单位：分):

48645286714864418679

71688284686462688157

90527473567847665564

56886940739768566759

70527944556962583258

根据上面的数据，回答下列问题:

(I)这次测试成绩的最高分和最低分分别是多少？

⑵将区间［30,100］平均分成7个小区间，试列出这50名学生体能测试成绩的频率分布表，进而画出

频率分布直方图和频率分布折线图.

解(1)这次测试成绩的最低分是32分，最高分是97分.

(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：

分组频数频率

[30,40)10.02

[40,50)60.12

[50,60)120.24

[60,70)140.28

[70,80)90.18

[80,90)60.12

[90,100]20.04

合计501.00

频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.

思维升华频率分布直方图的相关结论

(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.

(2)频率分布直方图中纵轴表示把，每组样本的频率为组距X把，即小长方形的面积.

组距组距

(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率X总数.

跟踪训练3某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成［40,

50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］六组后,得到不完整的频率分布直方图如图

所示，观察图形，回答下列问题：

(1)求分数在区间［70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

⑵根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？

解(1)设分数在［70,80)内的频率为x,

根据频率分布直方图,可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)乂10+1=1,解得x=0.25,

所以分数在［70,80)内的频率为().25,

补全这个频率分布直方图，如图所示.

(2)因为分数在区间［80,90)内的频率为0.25,在区间［90,100］内的频率为0.05,

而0.05<10%<0.25+0.05,

设排名前10%的分界点为90-6/,则0.025a+0.005X10=10%,解得。=2,

所以排名前10%的分界点约为88分，即获奖的学生至少需要88分.

课时精练

［分值：90分］

I。知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时

间进行统计分析.在这个问题中，5()0()名居民的阅读时间的全体是()

A.总体

B个体

C.样大容量

D.从总体中抽取的—个样本

答案A

解析样本容量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每个居民的阅读时间就是一个个体，5

000名居民的阅读时间的全体是总体.

2.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（）

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.红星中学共有学生I600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为

200的样本

C.从1000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间

D.从生产流水线上抽取样本检杳产品质量

答案B

解析A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数

较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.

3.把过期的药品随意丢弃，会对土壤和水体造成污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机

对若干家庭进行调查，调查结果如图所示，其中对过期药品处理不正确的家庭有（）

A.79%B.80%

C.18%D.82%

答案D

解析把过期药品扔到垃圾箱、拆开冲进下水道会污染土壤和水体，卖给不法收购者再制成药品也会危害

人的健康，故处理不正确的家庭为79%+2%+1%=82%.

4.为了解某校今年报考飞行员的学生的体重情况.将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图（如图）.已知

图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,第1小组的频数为4,则某校报考飞行员的学生总人

数是（）

A.40B.32

C.28D.24

答案B

解析由图可知后两个组频率为（0013+0.037）X5=0.25,又因为从左到右的前3个小组的频率之比为1:

2：3,所以第1小组的频率为（l-0.25）X」^=0.125,又因为第1小组的频数为4,所以报考飞行员的

1+2+3

学生人数是4・0.125=32.

5.已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（）

A.全国农产品熨季价格比冬季低

B.全国农产品批发价格200指数2023年每个月逐渐增加

C.2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化趋势基本保持一致

D.2023年6月农产品批发价格200指数大于116

答案C

解析图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误；

全国农产品批发价格200指数2023年4~6月呈下降趋势，并未增加，故B错误；

根据图中曲线的变化趋势可发现2023年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数的变化

趋势基本保持一致，故C正确；

2023年6月农产品批发价格200指数在115附近，故D错误.

6.（2024•成都模拟）“数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第81天，“数九”

结束，天气就变得温暖起来.如图，以温江国家基准气候站为代表记录了2023〜2024年从“一九”到“九九”

成都市的“平均气温”和“多年平均气温”（单位：°C）,下列说法正确的是（）

A.“四九”以后成都市“平均气温”一直上升

B.“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1C

C“一九，，到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差

D.“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差

答案D

解析“八九”“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误；

“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”高0.1℃,故B错误；

由图表可知，“一九”到“五九”成都市“平均气温”的波动比“多年平均气温”的波动大，所以“一九”

到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误；

“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为10.6-5.4=5.2，“多年平均气温”的极差为10.7-5.3

=5.4,则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合

的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，其他组合均无人选.现从高一学生中选取25人作样本调

研情况.为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是()

A.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生为12人

B.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生为5人

C.物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大

D.政史地组合学生小刘被选中的概率为专

答案ABD

解析用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生为25X—=12(人)，故A正确；

600+J40。0。+250

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生为25X-至匕一=5(人)，故B正确；

600+400+250

根据按比例分配的分层随机抽样的特征知，每名学生被选中的概率相等,均为FT号==白，故C错

600+400+25050

误，D正确.

8.某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程，

每个学生从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1,并用按比例分配

的分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是

()

A.满意率调查中抽取的样本容量为5000

B.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250

C.该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875

D.若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,则a=70

答案BC

解析满意率调查中抽取的样本容量为5000X2%=100,A错误；

由扇形图知1一35%—40%=25%,则5000X25%=1250(A),B正确；

该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为500()X35%X50%=875,C正确；

若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为3(),则l()0X40%X〃％=3(),则a=75,D错误.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.一个总体的60个个体编号为00,01,…，59,现需从中抽取一个容量为6的样本，请从下面给出的随

机数表的第1行第10列开始向右读取，直到取足样本，则抽取的第五个样本的号码是.

9533952200187472001838795869328176802692828084

2539

答案17

解析依题意，抽取的前5个样本的号码依次是()1,47,2(),28,17,所以抽取的第五个样本的号码是

17.

10.在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师根据数学内容所占课时比例，绘制如图所示的统

计图表(图卜图3),请根据图表提供的信息，回答下列问题：

⑴图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为度；

(2)图2,3中的,b=.

答案⑴36(2)6014

解析⑴由扇形图可知”统计与概率”所在扇形的圆心角为(1—45%—5%—40%)乂360。=36。.

(2)由图1和图2可知0=380X45%—67—44=60,由图3知匕=60—18—13—12—3=14.

四、解答题(共28分)

11.(13分)某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查

了他门每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为小并按以下规定分为四档：当〃<3时，

为“偏少”；当3W〃v5时，为“一般”；当5W〃<8时，为“良好”；当心8H寸，为“优秀”，现将调

查结果统计后绘制成不完整的统计图表：

阅读本数123456789

人数7名126712X7y1

请根据以上信息回答下列问题：

(1)求出本次随机抽取的学生总人数；(4分)

(2)分别求出统计表中的x,)，的值；(4分)

(3)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数.(5分)

解⑴由统计图表可知，当3W〃<5时，“一般”档次占比26%,对应的学生人数为6+7=13,故学生总

人数为急=50.

(2)由统计图表可知，当5-<8时，“良好”档次占比60%,即50X60%=12+x+7,解得x=\\,又总

人数为50,故)=50—(1+2+6+7+12+11+7+1)=3，即％=11,y=3.

(3)由统计图表可知，“优秀”档次占比为誓=8%,故该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数约

OV

为400X8%=32.

12.(15分)(2023・新高考全国H)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明

显差异，经过大量调态，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于。的人判定为阳性，小于或等于c的人

判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为“(c)；误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率〃(。)=0.5%时・，求临界值。和误诊率4(c)；(6分)

(2)设函数=c)=p(c)+q(c),当［95,105］时,求〃)的解析式，并求加)在区间［95,105］的最小值.(9分)

解⑴依题可知，患病者该指标