2026年高考数学一轮复习：数列的基本知识与概念 专项训练学生版+解析

第01讲数列的基本知识与概念

目录

01常考题型过关练

题型01数列的周期性

题型02数列的单调性

题型03数列最大（小）项园

题型04数列中的规律问题难

题型05数列中的递推关系区1

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

1.已知数列｛“｝满足%+1=l+Q/n+1，%=2,则此数列前100项的和为（）

A.yB.C.50D.詈

2.已知数列｛册｝中，gQn+1=三-，则。8=（）

A.-1B.\C.：D.2

22

｛｝（

3.在数列an中，%=2,an+=1n>2,nG,ffla2025=（）

A.-1B.1C.—D.——

a

4.若数列|｛Qn｝满足。1=a2=-2,Cln+2=Qi+l—QTJ，贝"。2026一2025=1

5.设3n(nGN*)的个位数为即，则由+a2+—+a2s=

散型IJ2数列的单调性

6.数列｛aj的通项公式如下，则潴增数列是（）

2

A.a7J=sinB.an=Q）C.an=2n—3D.an=n—3n

7.已知数列｛箸｝是单调递减数列，则2的取值范围为（）

A.（0,+00）B.（1,4-00）C.[1,+co）D.[0,+co）

8.（多选）已知斯二。%③1若数列｛册｝不是递增数列，则下列数值中攵的可能取值为（）

A.1B.-C.—D.-

323

9.已知数列斯="2—3几一2为严格增数列，则实数k的取值范围为一

10.已知数列｛a"的通项公式是斯=/一3九-28,画出该数列的图象.并根据图象，判断从第几项起，这

个数列是递增的.

散型IL03数列的最大（小）项

11.己知数列｛an｝满足an+1=&+3几一16,则数列｛©｝的最小项是第（）项

A.5B.6C.7D.8

12.已知数列｛a,J的通项公式为%=（九一9»则｛%j的最小项为（）

A1cl

A.—B.-C.-D.—

164416

13.己知数列｛%｝的通项公式为%=三£,前几项的和为Sn,贝]Sn取到最小值时九的值是（）

A.6B.7C.8D.9

14.已知数列3J的通项公式为即=几图,则数列｛册｝中的最大项为（）

A-；B-IUMD.塞

15.已知数列｛即｝的通项公式为册=若，则｛aj中的项最大为（）

A.-B.0C.-1D.2

2

16.已知只为数列｛时｝的前九项和，25yl=3n+n.

⑴求Sn｝的通项公式；

（2）若加=（26-0nA2%求勾取得最大值时几的值.

17.已知数列｛%J的通项公式是的=几修）,nEN+.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大

项的序号；若没有，请说明理由.

散型（04数列中的规律问题

18.已知数列1,-35—7,9,…,则该数列的第99项为（）

A.-197B.197C.-199D.199

19.将正整数排成下表

1

234

56789

10111213141516

则在表中数字2020出现在（）

A.第44行第85列B.第45行第85列

C.第44行第84列D.第45行第84列

20.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此

又被称为"大自然的几何学按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第荏行

黑圈的个数为白圈的个数为bn,则下列结论错误的是（)

Q---------------第1行

•O\——第2行

。二*O•O••-…第3行

图1图2

A.%=8B.坛=13

a

Un+i=2an+bnD.bn+1=2an-bn

21.将正偶数按如图所示的规律排列:

2

468

1012141618

20222426283032

则4048在第行，从左向右该行的第个数.

22.以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”:

12345-20142015201620172018

3579..........4029403140334035

81216...................806080648068

20281612416132

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其‘肩上"两数之和，表中最后一行仅有一个数,

则这个数为.

23.根据卜面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第5项的图形和点数.

散型I05递推数列问题

1.已知数列｛。几｝中，%=2,an41=an+n（neN*）,则的值为（）

A.6B.7C.8D.9

2.对于数列｛册｝,若即+1=答匕，且%=1，则。2。26=（）

A.0B.-1C.1D.1

3.数列｛%.｝满足%=^n+l==1»2,3,则…+。2024+。2025=（）

A.2024B.2025C.2024+&D.2024-&

4.数列｛册｝中，若%=2,册+1=合。「则数列｛斯｝的通项公式为.

5.已知数列1｝的前〃项积为加%=2且即+i=1-A则/25=♦

）

6.若数列｛%｝满足Q1=1,a2=l,an+2=an+1+an（nGN*,则称数列｛斯｝为斐波那契数列，又称黄金

分割数列，则数列的｛aj的前2025项中偶数的个数为

■02

1.（2025•四川乐山•三模）已知数列｛Qn｝的通项公式为叼=3〃十（-1）“，则下列不是数列｛即｝的项的是（）

A.2B.13C.39D.49

2.（2025•山东潍坊•二模）已知数列｛5｝满足册+i=1号，册内偶数，若%=1,则。5=（）

307t+1,为奇数

A.1B.2C.3D.4

3.（2025•安徽马鞍山•一•模）己知数列｛即｝的通项公式为每=昌，前〃项和为Sn,则又取得最小时〃的

值为（）

A.6B.7C.8D.9

4-‘亨新角度「（多选）（2025•云南•模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再即上1；若是

偶数，就将该数除以2•反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈I-4T2Tl.这就是数学

史上著名的“冰雹猜想〃（又称“角谷猜想〃等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6T3TIOT5T

1618T4T2->1,共需要8个步骤变成1（简称为8步“雀程”）.现给出〃冰雹猜想”的递推关系如下：已

知数列｛册｝满足：4=m（m为正整数），a”4二1号,an为偎数：sG.记数列｛斯｝的前n项和为工，

（30n+为奇数•

若&6=1,则（）

A.m=5或32B.a2025=1

C.当m最小时的“雹程”是2步D.S2025=4774或4747

5.%葡去|（多选）（2025•陕西宝鸡•二模）近年来，

.在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和

风计划某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动.如

果将所有参加活动的学生依次按照1,2,3,4,5,6,7,...编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2,3,

5,7,10,…位置称为“拐角〃，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的

有（）

21-22-23-24-25-26

t

207—8—9—10

♦t♦

1961—211

♦tII

185—4—312

tI

17T6T5T4T3

A.站在第20拐角的学生是111号B.站在第23拐角的学生是137号

C.第13m号同学站在拐角位置D.站在拐角位置的同学共有79名

6.（2025・湖南长沙•模拟预测）任取一个大于1的正整数m,若m是奇数，就将m乘以3再加上1：若m是

偶数，就将m除以2.将所得之数反复进行上述两种运算，则经过k个步骤后，必将m变成1,然后进入循环

圈4T2->1,简称m为k步“霍程”，这就是数学史上著名的“冰春猜想〃（又称“角谷猜想〃）.例如取m=10,

根据上述运算规则，先后得出的数为5T1618T4T2-1,从而m=10为6步“雹程〃.

（1）m=6为步"雹程”；

（2）若m为7步“包程〃，则m的最大值为.

03

1.（2022•浙江•高考真题）已知数列｛册｝满足%=1,即+i=an-：W5£N*）,则（）

A.2<100aloo<|B.I<100aloo<3C.3<100aloo<\D.100aloo<4

2.（2022•全国乙卷•高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环

绕太阳K行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛匕“｝：瓦=1+2，匕2=

1+生，％=1+工=，…，依此类推，其中心£犷6=1,2,・・）则（）

ff2石

A.b]Vb,B.Z）3VZ?8C.匕6Vb?D.b《Vby

3.（2025•江苏苏州•三模）已知数列｛即｝满足%=1，乎=1-：Qn，则（）

a

n乙

A.an+1>anB.an>1

C.1013a202S<1D.2025a2025<1

4.（2025•全国•模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）.〃

意即"勾"a、"股〃b与"弦々之间的关系为Q2+62=C2（其中aWb）.当时，有如下勾股弦数组序

列：（3,4,5）,（5,12,13）,（7,2425）,（9,40,41）,…，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的"弦''等于（）

A.145B.181C.221D.265

5.（多选）（2025•山西•三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数

除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈13402玲1.这就是数学史上著名的“冰

雹猜想”（又称"角谷猜想”）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出633310玲5316玲8玲43231,

共需经过8个步骤变成1（简称为8步“直程〃）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛即｝满足：^=m

（?当即为偶数时，

2，

（利为正整数），a7l+1=\y°记数列｛册｝的前几项和为治.则（）

13an+1,当为奇数时，

A.当。5=1时，m的值为16B.当m=13时，a10=1

C.当m=13时，是10步“霍程〃D.当m=13时，$2025=4822

第01讲数列的基本知识与概念

目录

01常考题型过关练

题型01数列的周期性

题型02数列的单调性

题型03数列最大（小）项园

题型04数列中的规律问题E3

题型05数列中的递推关系难

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01

常考题型过关练

敢型

1.己知数列｛册｝满足册+1=1+Q/n+i，。1=2,则此数列前100项的和为（）

A.yB.yC.50D.当

【答案】D

【详解】由Q^+l=1+,得=7~~9

11.111

所以即+2=工=韦=1一二，即+3=不=证书=品，

故数列｛。“｝是以3为周期的周期数歹IJ,

111

又a2=7T=-l，a3=-r~z-=且100=3x33+1,

则此数列前100项的和Sioo=（的++。3）X33+Qi=（2-1+3X33+2=当.

故选：D.

2.己知数列｛a“｝中，即+i"4"，则。8=（）

/乂“tt

A.-1B.|C.；D.2

【答案】D

【详解】。2=工、=2,a3=-l,a4=1,a5=2,数列｛g｝的底期为3，a8=a2=2,

故选：D.

3.在数列｛每｝中，%=2,an+亡■=1（〃之2,neN*）,则。2。25=（）

A.—1B.1C.；D.-［

【答案】A

【详解】因为4=2・an+-^―=1（n>2.n6.

an-l11

1

所以a=1-*=；,a3=-T-=。4=1一止=2,

所以｛四｝是以3为周期的周期数列,则。2025=03x674+3=。3=-工

故选:A.

4.若数列｛每｝满足%=。2=-2,an+2=|an+l-贝卜2026一«2025=-

【答案】2

【详解】利用“+2=K+1-*，结合=。2=-2,依次迭代可得:

数列｛的｝的前几项依次为一2,—2,0,2,2,0,2,2,,

且从第3项起以3为周期，所以Q2026-。2025=%—。3=2.

故答案为：2

5.设3n（nW/）的个位数为即，则%+的+…+。25=.

【答案】123

［详解］因为3,32,33,34,35,36,3?,的个位数分别为3,9,7,1,3,97,1,

所以数列｛an｝是周期为4的周期数列，

所以%+a2+•••+a25=（3+9+7+1）x6+3=123'

故答案为：123

观型数列的单调性

6.数列｛aj的通项公式如下，则递增数列是（）

2

A.an=sinB.=g)C.an=2n—3D.an=n—3n

【答案】C

【详解】A,Qn=sin?可得，a=v%=o,贝ij%>如故数列5｝不是递增数列，故A错误；

B,即可得，%=3a=p则a,>a,故数列｛a｝不是递增数列，故B错误：

\2z1ZZ412n

C,册=2n-3,则。计1-an-(2n-1)-(2n-3)=2>0,即即+i>即对任意九E4恒成立，故数列9"

是递增数列，故C正确；

2

D,an=n-3n,则%=-2,a2=-2,PM4=Q2，故数列｛。"不是递增数列，故D错误.

故选：C

7.己知数列｛噤｝是单调递减数列，则人的取值范围为()

A.(0,+8)B.(l,+oo)C.[1,+co)D.[0,4-oo)

【答案】A

【详解】数列｛噗｝是单调递减数列，

故三，>即2九4-2A>n+1+A,A>1—n,

+

且九eN,故4>0.

故选:A

8.(多选)已知斯=。“3/:1若数列｛时｝不是递增数列，则下列数值中k的可能取值为()

1/K71—K+1；71r_乙

A.1B.\C.在D.-

323

【答案】BD

【详解】若数列｛%｝是递增数列，则有即+i>an,(n>l,nGZ),

而因为｛Q"不是递增数列，

所以〃<0或。、J。-1，解得忆故BD正确.

故选:BD

9.已知数列斯=kn2-3n-2为严格增数列，则实数k的取值范围为一

【答案】(1,+8)

【详解】根据题意，可得VnW/«71+1>即软n十-3(n+1)-2>k九2一3九一2,

E，对皿，'，

又数歹山高｝是单调递减数列，则

就=L

k>1.

故答案为：(L+8).

10.已知数列｛an｝的通项公式是即=/一3九-28,画M该数列的图象.并根据图象，判断从第几项起，这

个数列是递增的.

【答案】图象见解析；从第二项开始递增.

【详解】列表如下：

n12345678.....

Qn-30-30-28-24-18-10012.....

作图如下:

徐

10-,

5'

246,8x

-10

-15

-20

-25

如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增.

散型IL03数列的最大（小）项

11.已知数歹”｛每｝满足an+i=Qn+3n-16,则数列｛册｝的最小项是第（）项

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】数列｛即｝中，由即+i=而+3九-16,得即+i—即=3〃-16,由3n—16VO,得nW5,

则当nW5时，0n+1<的；当"N6时，an+1>an,

即5>。2>。3>>a6VVQ8V…，

所以数列｛QN｝的最小项是第6项.

故选：B

12.已知数列｛Q，｝的通项公式为an=（n-^）\则｛册｝的最小项为（）

A.—B.-C.-D.—

164416

【答案】A

【详解】易知即=",。2=白，

lo1O

当英N2时，由二次函数性质可知函数y=单调递增，所以｛QN｝的最小项为*

故选：A

13.已知数列｛a,J的通项公式为册=鼻，前n项的和为又，贝IS”取到最小值时〃的值是（）

zn—1□

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

・、生c-n-2_12n_4_1(2n-lS)+ll_111

XX

【详解】7t-2n-15-22n-15-2-2n-15--5+2(2n-15)，

由%>0,得:+盛启>0，解得MV2或n>得，

因为HEN)所以当几=1或九工8时，an>0,当2W几W7时，an<0,

所以当日=7时，Sn取得最小值.

故选：B

14.己知数列｛%｝的通项公式为“="(|)"，则数列｛每)中的最大项为()

AA.-8cB.-2Cc.-64Dc.—125

9381243

【答案】A

1洋解】^+1-On=(n+1)Q)"+1-nQ)"=■-(5)"-

当日<2时，an+1-an>0,即册+1>。旌

当n=2时，an+1-an=0,即Q“+i=0；

当n>2时，an+1-an<0,即即+i<an,

所以Qi<。2=。3，a3>a4>a5>…>an,

所以数列｛Qj中的最大项为&或。3，且。2=%=2x(|)=*

故选：A.

15.己知数列｛册｝的通项公式为“=鉴，则｛an｝中的项最大为()

A.：B.0C.-1D.2

【答案】D

aa

【详解】an=^=；+z^7I»i=7>2=。，。3=-1，。4=2.

当冗>4时，函数y=「单调递减,

则当nN4时,数列｛Q,J单调递减，

所以｛册｝中的项最大为。4=2.

故选：D.

16.己知Sn为数列｛演｝的前71项和，2Sn=3M十九

⑴求｛④J的通项公式：

(2)若加=(26-即)•2n,求办取得最大值时"的值.

【答案】(1)即=3n-l

[2｝n=7或71=8

【详解】(1)当九二1时，2sl=3+1=4,解得%=Si=2；

22

当">2时>2an=2Sn—2sH_]=3n+n-[3(n—l)+n—1]=6n—2,即即=3n—1.

因为%=2也满足an=3n-1,所以册=3n-1.

(2)由(1)得加=(27-3九)・2、所以/+i-bn=[27-3(7i+l)]・2n+i-(27-3n)・2n=(21-3n)・

所以当nV7时，bn+1-bn>0,即以+1>%;

当九=7时，bn+1-bn=0,即g=b8；

当九>7时,bn+1-bn<0,即8n+i〈bn,

所以瓦<b2<…<b7=bQ>b9>b10>…，

故当n=7或n=8时，bn取得最大值.

17.已知数列｛%｝的通项公式是nEN+.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大

项的序号；若没有，请说明理由.

【答案】有，为第2项和第3项，。2=。3=也

aa

【详解】根据题意，令(n-l—r.

lan之an+l

n-l

(n-l)x0

口n

(l),解得2WZIW3.

［啕W…）x（沪1

又荏€N+,则ri=2或ri=3.

故数列｛即｝有最大项，为第2项和第3项，且Q2=Q3=2x（|）-=g.

鼓型I04数列中的规律问题

18.已知数列1,一3,5,-7,9,…,则该数列的第99项为（）

A.-197B.197C.-199D.199

【答案】B

【详解】通过观察，该数列的通项公式为即=（一1尸+】（2九一1）,

所以的9=（-1）99+1（2X99-1）=197.

故选：B.

19.将正整数排成卜.表

1

234

56789

10111213141516

则在表中数字2020出现在（）

A.第44行第85列B.第45行第85列

C.第44行第84列D.第45行第84列

【答案】D

【详解】因为每行的最后一个数分别为1,4,9,16,所以由此归纳出第九行的最后一个数为九2.

因为442=1936,452=2025,所以2020出现在第45行上，

又由2020-1936=84,故2020出现在第84列.

故选：D

20.分形几何学是•门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此

又被称为"大自然的儿何学按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第九行

黑圈的个数为。九，白圈的个数为bn,则下列结论错误的是（）

第1行

第2行

。兰oeo'-第3行

图1图2

A.%=8B.坛=13

C.an+1=2an+bnD.bn+1=2an-bn

【答案】D

【详解】已知册表示第n行中的黑圈个数，设瓦表示第n行中的白圈个数，

则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈,

二金+1=2册+%，^n+l=an故C正确，D错误；

又丁=0,瓦=1,

所以。2=1,⑦=1，

03=2x1+1=3,星=1+1=2,

。4=2x3+2=8,九=3+2=5,

a5=2x8+5=21,为=8+5=13,故A、B正确.

故选:D

21.将正偶数按如图所示的规律排列：

2

468

1012141618

20222426283032

则4048在第行，从左向右该行的第个数.

【答案】4588

【详解】4048是第2024个数，

由已知得前几行所有的个数为1+3+5+…+（2几-1）=*匚2=M,

442=1936,452=2025,442<2024<452,

2024-44x44=88,

所以数字4048在第45行，第88个数.

故答案为：45；88.

22.以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角〃:

12345-20142015201620172018

3579..........4029403140334035

81216...................806080648068

2028..........................1612416132

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其‘肩上"两数之和，表中最后一行仅有一个数,

则这个数为.

【答案】2019x22016

【详解】观察每一行第一个数的规律：

第一行的第一个数为1=2x2-1，

第二行的第一个数为3=3x2°,

第三行的第一个数为8=4X2、

第四行的第一个数为20=5x22,

第〃行的第一个数为即=(n4-1)x2n-2,

表中一共2018行，

・•・第2018行的第一个数即。2018=2019x22。16.

故答案为:2019X22016.

23.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第5项的图形和点数.

【答案】(1)答案见解析

⑵答案见解析

⑶答案见解析

【详解】（1）设第九项的点数为MSWN*）,

v=1,。2=1+5,<13=1+2x5,Q4=1+3x5,

该数列的第5项为。5=1+4x5=21,

数列｛an｝的一个通项公式为an=1+5（n-1）=5n-4,

第S项的图形如下图所示：

21

（2）设第九项的点数为%5€/），

by=ItZ?2=1+3»b3=14-2x3»/=1+3x3,

该数列的第5项为坛=1+4x3=13,

数列｛%｝的一个通项公式为=1+3（n-1）=3n-2,

第5项的图形如下图所示：

13

（3）设第九项的点数为CnS6N*），

***Cj=1x3,c?=2x4,C3=3x5,=4x6,

该数列的第5项为C5=5x7=35,

数列｛%｝的—个通项公式为。i=n（n+2）,

第5项的图形如下图所示；

散型05递推数列问题

1.已知数列｛册｝中，%=2,an+i=an+n(nGN*)»则的值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【详解】由题，Q4=Q3+3=Q2+2+3=QI+1+2+3=2+1+2+3=8,

故选：C.

2.对于数列｛即｝，若厮+1=且%=1，贝以2026=（）

Ol*UJ

A.0B,-1C.1D.；

【答案】B

【详解】因—%=1,

一5。口+35cn--5Z5(Xn-15

所以以此类推，对VnGN*,Q"4=即，即数列｛%｝是周期为4的数歹U，

故々2026=a4x506+2=a2=一1•

故选：B.

3.数列｛即｝满足%=&，(九=1,2,3,…)，则由+&+%+…+。2024+。2025=()

A.2024B.2025C.2024+V2D.2024-V2

【答案】C

【详解】因为为=或，an+i=^-(n=1,2,3,…)，

所以取=1=2+奁,。3=1=-&，%=&=2-近,饵=鼻=五=%,。6=自=2+

V2….…

则该数列的周期为4,

所以内+。2+的+…+。2024+。2025=506（Q1+a2+。3+。4）+%=506x+2+x/2-\2.+2—

V2）+V2=2024+V2.

故选:C.

4.数列｛斯｝中，若%=2,册+1=3。„,则数列｛斯｝的通项公式为.

【答案】an=-

【详解】因为册+1=热出1，所以（九+1）册+1="品，

所以数列｛〃&｝为常数列，且mzn=1x%=2,

所以册=*

故答案为:Qn=*

5.已知数列｛册｝的前〃项积为Tn，%=2且即+1=1-右则72025=-

【答案】-1

【详解】因为即+1=1-1,%=2,

则电=l-^-=^,a3=l-^-=-l,a4=l-^-=2,…，

可知数列｛5｝是周期为3的数列，2g=2x1x(-l)=-1,

且2025=3x675,所以72025=(-1)675=一L

故答案为：一1.

6.若数列｛%｝满足的=1,a2=l,0n+2=%+1+%(neN*),则称数列｛每｝为斐波那契数列，又称黄金

分割数列，则数列的｛an｝的前2025项中偶数的个数为.

【答案】675

【详解】由两奇数的和为偶数，一奇数与一偶数的和偶数，

结合%=1,a2=l,an+2=an+1+an,可知数列第3,6,9,…项为偶数，即每3项有1项为偶数，

又2025=675x3,所以数列的的前2025项中偶数的个数为675.

故答案为:675.

02

1.(2025•四川乐山•三模)已知数列｛斯｝的通项公式为即=3n+(-l)\则下列不是数歹式即｝的项的是()

A.2B.13C.39D.49

【答案】C

【详解】对于A,令n=1,at=3-1=2,故A错误；

对干B,令九=4,at=12+1=13,故B错误；

对于C,当n为偶数，令即=3n+(-1尸=3几+1=39,解得：n=y

当靛为奇数，令an=3九+(-1尸=3几一1=39,解得：n=yN*,

故39不是数列｛斯｝的项，故C正确；

对于D,令九=16,%6=16x3+1=49,故D错误.

故选：C.

an—i/W^fr

2.(2025•山东潍坊•二模)已知数列｛0｝满足即+i"T，,，若%=1,则与二()

3an+1,为奇数

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【'佯解】因为数列3J满足*1=]洋'即为偶数，且%=1,

3an+l,Qn为奇数

所以。2=3al+1=34-1=4,。3=券=；=2,。4=半=;=1，。5=3a4+1=34-1=4.

故选:D.

3.（2025•安徽马鞍山•一模）已知数列｛即｝的通项公式为册二号，前〃项和为右，则Sn取得最小时〃的

值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【详解】令即二三Z0,解得：〃工3或九>?,

zn—17z

当n<3时，%>0,故当〃=1,2时，Sn递增，且S3=S2

当4WnW8时，an<0,故当n=4,5,6,7,8时，S”递减；

当九29时，an>0,Sn递增.

且。2=3«3=°»/=…,。8=-5,

XDAOV

故$8<Si，所以又取得最小时〃的值为8.

故选:C

4.新角度；（多选）（2025•云南•模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是

偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈IT4T2Tl.这就是数学

史上著名的“冰雹猜想”（又称"角谷猜想''等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6-3-10-5T

1618T4T2-1,共需要8个步骤变成1（简称为8步〃雹程"）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已

知数列｛即｝满足：即=m（皿为正整数），Q〃+i=[『即为偎数,（九e*.记数列｛Q,J的前n项和为S”，

（3an+1,册为奇数,

若%=L则（）

A.771—5ski32B.。2025=1

C.当m最小时的“雹:程”是2步D.52025=4774或4747

【答案】BC

【详解】对于A,因为。6=1，所以%=32,a2=16,。3=8,。4=4,%=2,a6=1：

=

或=5,a216,%=8,。4=4,%=2,即=1；或％=4,a2=2,ci3=1,

a4=4,a5=2,a6=1,即m=32或5或4,故A错误；

对于B,因为%=1，所以从。4=4开始，周期为3,乂（2025-3）+3=674,

所以。2025=L故B正确；

对于C,由A选项得m的最小值为4,故雹程是2步，故C正确：

对于D,当％=32时，S2O25=32I16I8I（4I2I1）x674=4774；

当Gi=5时，S2025=5+16+8+（4+2+1）x674=4747；

当Gi=4时，S2025=（4+2+1）x675=4725,故D错误.

故选：BC.

5.‘%造法|（多选）（2025•陕西宝鸡•二模）近年来

在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和

风计划某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动.如

果将所有参加活动的学生依次按照1，2,3,4,5,6,7,...编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2,3,

5,7,10,...位置称为“拐角〃，因为指向它的箭头与离开它时的笳•头方向发生了改变，那么下面说法正确的

有（）

21-22-23-24-25-26

t

207-8―尸10

♦t♦

1961—211

♦tII

185—4—312

t♦

17T6T5T4T3

A.站在第20拐角的学生是111号B.站在第23拐角的学生是137号

C.第133号同学站在拐角位置D.站在拐角位置的同学共有79名

【答案】ACD

【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2,3,5,7,10,13,17,21,26...

将奇数项的拐角即为。2吁1，易得：。2时1=足+1；

2

偶数序号的拐角即为取“，由规律可得：a2,t=n+n4-1

第20拐角的学生编号为：a?。=102+10+1=111正确；

站在第23拐角的学生编号为：©3=122+1=145错误：

由北2+九+1=133,解得几=11,也即第133号同学站在第22拐角位置；

由"2+1<1630,可得n<40,

由N+n+1<1630,可得ri<39,

所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律；

6.（2025・湖南长沙•模拟预测）任取一个大于1的正整数m,若m是奇数，就将m乘以3再加上1：若m是

偶数，就将7几除以2.将所得之数反复进行上述两种运算，则经过k