函数的性质（讲义）-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）练习卷

第7讲函数的性质•讲义

一、考情分析....................................1

二、知识清单....................................2

1.函数的单调性............................................................2

2.函数的奇偶性............................................................3

3.函数的对称性............................................................3

4.函数的周期性............................................................3

5.重要技巧................................................................4

三、方法总结............7

考点一：函数的单调性.......................................................7

考点二：函数的奇偶性.......................................................8

考点三：函数的对称性与周期性...............................................8

考点四：函数性质的综合应用.................................................9

四、典题精讲............9

考点一：函数的单调性.......................................................9

考点二：函数的奇偶性......................................................11

考点三：函数的对称性与周期性..............................................12

考点四：函数性质的综合应用................................................13

五、高考真题............15

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考查内容

202619题•解答题17分抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用

20255题•单选题5分函数的奇偶性与周期性的综合应用

20246题-单选题5分分段函数的单调性及参数范围求解

20248题•单选题5分抽象函数的递推关系与不等式应用

近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答

题的抽象性质综合探究，占有一定分值.

2.命题角度与特色

・核心考点：考杳函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与

抽象函数.

•命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思

维和逻辑推理能力的要求逐步提升.

・试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题

则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.

3.备考策略

・扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与

奇偶性.

・强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心

技巧.

•提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时,

注意临界条件和定义域的限制.

二、知识清单

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

一般地，设函数/(%)的定义域为4区间0G4

如果对于。内的任意两个自变量的值%1，%2当％1<%2时，都有f(%T)V1(%2)，那么就

说/(%)在区间0上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值X1，%2»当％1<%2时，都有f(%l)>f(%2)，那么

就说/(%)在区间0上是减函数.

•属于定义域/内某个区间上；

•任意两个自变量%1,Q且<X?;

・都有/(与)Vf(M)或/(，)>f(%2)；

・图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

(2)单调性与单调区间

•单调区间的定义：如果函数/。)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数/(X)在

区间。上具有单调性，。称为函数/(X)的单调区间.

•函数的单调性是函数在某个区间匕的性质.

(3)复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函

数，内层函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是

减(增)函数，复合函数是减函数.

2.函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个％,都有/(-%)=/(%),那么关于y轴对

偶函数

函数/(X)就叫做偶函数称

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个工,都有/(-%)=-〃>),那关于原点

奇函数

么函数/(X)就叫做奇函数对称

・关系判断法：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果/(-幻-

/(%)=0或与?=1(/(X)¥0)，则函数f(x)为偶函数；如果/(-X)+/(%)=0或与?=

-1(/(%)^0),则函数/(%)为奇函数.

•定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对

于定义域内的任意一个工,-％也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3.函数的对称性

•若函数y=/(%+Q)为偶函数，则函数y=f(X)关于X=Q对称.

•若函数y=f(x+Q)为奇函数，则函数y=关于点(Q,0)对称.

•若/(X)=/'(2Q-X),则函数/(X)关于X=Q对称.

•若/。)+/(2a-x)=2b,则函数/(%)关于点(Q,b)对称.

4.函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当工取定义域内的任何值时，都有

/(x4-7)=/(%),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做

f(x)的最小正周期.

5.重要技巧

(1)单调性技巧

①证明函数单调性的步骤

・取值：设/，乃是/(》)定义域内一个区间上的任意两个量，且%1<》2；

•变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

•定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

•得出结论.

②函数单调性的判断方法

・定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值-变形-判断符号-下结论”进行

判断.

・图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

•直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

③记住几条常用的结论

•若/(%)是增函数，则-/(X)为减函数；若/(X)是减函数，则一〃%)为增函数；

,若/'(%)和g(%)均为增(或减)函数，则在/'(%)和g(%)的公共定义域上f(x)+g(x)为增

(或减)函数；

•若/。)>0旦为增函数，则函数历5为增函数，六为减函数；

•若/(%)>0且f(x)为减函数，则函数"^为减函数，六为增函数.

(2)奇偶性技巧

•函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

・奇偶函数的图象特征：函数是偶函数O函数f(x)的图象关于y轴对称；函数/(X)

是奇函数o函数f(x)的图象关于原点中心对称.

・若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；偶函数y=/(x)必满足

f(x)=/(|x|).

•偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

•若函数/(%)的定义域关干原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数

的和的形式.记g(x)=][/(%)+/(-%)]，八(%)=]f(x)-/(一X)]，则f。)=g(x)+%。).

•运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四

则运算所得的函数，如f(%)+g(x),f(x)-g(x),f(x)xg(x),/(%)+g(%).对于运算函数

有如下结论：奇±奇二奇；偶±偶=偶；奇±偶二非奇非偶；奇x(+)奇=偶；奇X(+)偶

二奇；偶x(+)偶=偶.

・发合函数y=f[g(x)]的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇.

•常见奇偶性函数模型：

奇函数：①函数/(x)=m(盘号)(》工0)或函数/(x)=m(痣1).②函数f0)=

±3-尸).③函数f(x)=脸当=loga(1+怒)或函数/(%)=】ogaf^=

22

loga(1-黑④函数/(%)=loga(Vx+1+x)或函数/(%)=loga(Vx4-1-%).注意：关

于①式，可以写成函数/(x)="I十怒■(%羊0)或函数/(%)=m-瑞("I6R).

x

偶函数：①函数f(x)=±(a+QT).②函数f。)=log*加+1)-詈.③函数f(国)

类型的一切函数.④常数函数.

(3)周期性技巧

函数式满足关系(xWR)周期

fCx+7)=fMT

f(x+7)=-/(x)2T

fG+T)=/；fa+7)—焉2T

f(x+7)=f(x-T)2T

f(x+T)=-/(x-T)47

(f(a+x)=f(a—%)

[f(b+x)=f(b-x)2(b-a)

f(a+x)=f(a—%)

2a

/(%)为偶函数

f(a+x)=-f(Q-%)

12(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-/(a-x)

2a

/(x)为奇函数

/(a+x)=/(a—%)

(4(b—a)

f(b+x)=-f(b-x)

函数式满足关系aWR)周期

/(a+x)=f(a-x)

4a

/(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1/(%)为偶函数

(4)函数的对称性与周期性的关系

•若函数y=/(%)有两条对称轴％=a,x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且7=

2(b-a).

•若函数y=/(%)的图象有两个对称中心(a,c),(oc)(avb),则函数y=f(x)是周期

函数,且r=2(b-a).

•若函数y=/(%)有一条对称轴x=Q和一个对称中心(匕,0)(a<b),则函数y=/(x)

是周期函数，且7=4(b-a).

(5)对称性技巧

•若函数y=/(%)关于直线x=a对称，贝ij/(a+x)=f(a-%).

•若函数y=/(%)关于点(Q,b)对称，则/(a+x)+/(a-x)=2b.

•函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=f(a+x)与y=-/(a-x)

关于原点对称.

(6)类周期函数与倍增函数

•类周期函数：若y=/(x)满足：/(%+?n)=攵/(工)或/(x)=-TH),则y=/(%)

横坐标每增加zn个单位，则函数值扩大k倍.此函数称为周期为血的类周期函数.

•倍增函数：若函数y=/(x)满足/(mx)=k/(x)或f(x)=kf(》则y=fQ)横坐标

每扩大m倍，则函数值扩大k倍.此函数称为倍增函数在意当m=攵时，构成一系列平行的

分段函数，/(%)=

f.qM,xe[l,m)

g(x-m+1),xG[m,m2)

g(x-m2+1),x£[m2,m3)

、g(%-m"T+1),xe[川一")

(7)抽象函数的模特函数

抽象函数的模特函数通常如下：

•若/'(%+y)=/(x)+/(y),则/(%)=M(1)(正比例函数).

•若f(%+y)=f(%)f(y)，则f(%)=[f(i)V(指数函数).

•若则(对数函数).

f(xy)=/(x)+/(y),/(x)=\ogbx

・若f(%y)=M/(x)=x。(塞函数).

•若/(x+y)=/(x)+/(y)+m,则/(x)=xf(1)-巾(一次函数).

三、方法总结

考点一：函数的单调性

考法1：判断或证明函数的单调性

・利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、

配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.

•解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

•解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥

离，构造形如g(x)=/(%)-m的奇函数.

・利用奇函数的性质g(-x)=-g(%)将不等式转化为g(A)<g(B)的形式，再结合单调

性求解.

考法3：利用单调性求最值或值域

・对于形如f(g(%))=。且/(%)单调的问题，可通过解方程f(t)=C求出唯一的3进而

得到g(%)=t.

•求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.

考法4：根据单调性求参数范围

•处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.

•列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）

必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.

考点二：函数的奇偶性

考法5：判断或证明函数的奇偶性

•研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.

・判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化

简解析式并验证/（一%）=±/（%）.

考法6：利用奇偶性求函数值或解析式

・遇到/（x+a）为偶（奇）函数时，可直接转化为/（x）关于直线x=a对称（或关于点

（。,0）中心对称）.

・利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.

考法7：根据奇偶性求参数

•已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时

f（0）=0（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式/（一%）±/（'）=0,通过代数

变形求出参数.

考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值

・“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则f（x）+

/（—%）=2m.

・在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

•抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.

・牢记两个基本结论：若/（X）有两条对称轴，则必为周期函数；若/（x）有一个对称中

心和一条对称轴，也必为周期函数.

考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和

•处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.

・若两个函数图象具有共同的对称中心（Q,b）,且有九个交点，则这几个交点的横坐标之

和为九xa.

考法11：类周期函数的应用

•类周期函数的核心在干“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质(如单调性、

最值、图象形状)，再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.

•对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.

考点四：函数性质的综合应用

考法12：具体函数性质的综合判断与应用

•分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.

・证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号(即零点存在

性定理)是标准且有效的方法.

考法13：构造函数利用性质解不等式

•解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.

•若f(%)是偶函数且在［0,+8)上单调递增,则f(4)>f(B)<=>\A\>|B|；若单调递减,

则⑻o|川V|8|.

考法14：抽象函数的性质推导与证明(赋值法)

・抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求/(0)常令x=y=0；求证奇偶性常

令％=0或y=—x.

・证明单调性作差时，常利用换元技巧(如令1=笠l丫=号)将差化积.

考法15：抽象函数性质的综合应用

・综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达

式(如f(a+%)=土f(b—x)).

•求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.

四、典题精练

考点一：函数的单调性

考法1：判断或证明函数的单调性

例1.(2024•泰州海陵•期中)已知函数/(x)=-含,%W(0,+oo).

(1)判断函数/(%)的单调性，并利用定义证明；

(2)若/(2m-1)>/(I一/n),求实数7九的取值范围.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

例2.(2026•寰阳四中•阶段检测)己知函数/'(x)=/+2x+2sin2《+：)+5,且

/(C2-2t)+/(-3C+4)<12,则实数C的取值范围是()

A.(1,4)

B.(-co,1)U(4,4-00)

C.(-4,1)

D.(-co,-4)U(1,+8)

考法3：利用单调性求最值或值域

例3.(2024•河南•模拟)已知函数/(x)为定义在R上的单调函数，且/(/0)-2%一

2%)=10,则在[-2,2]上的值域为.

考法4：根据单调性求参数范围

例4.(2025•河南创新•一模)已知=、是增函数,则实数小的取

{X—4%+>X>771

值范围是()

A.[1,2]B.[2,5]C.[2,+co)D.[5,4-oo)

考点二：函数的奇偶性

考法5：判断或证明函数的奇偶性

例5.(2026•广东佛山•二模)函数/<(>•)=]n(%+3)+ln(?—%),贝1」()

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是周期函数

C.f(x)的最大值为2

D./(-2)</(1)

考法6：利用奇偶性求函数值或解析式

例6.(2025•淮北淮南•二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,/(%+2)为偶函数,

g(x+2)为奇函数，若/(之)十gCO=3"十log6(M+2)—40,贝疗(0)=()

A.4B.2C.0D.-2

考法7：根据奇偶性求参数

例7.(2025•江西上进•5月联考)已知函数/(x)=-岛，cosx为奇函数，则m=

()

A.5B.4C.-D.1

2

考法8：奇函数平移模型(f(x);奇函数+M)求值或最值

例8.已知/(%)+1在R匕单调递增，且为奇函数.若正实数a,b满足/(a-4)+/(b)=-2,

则工+的最小值为()

a5b

A.-+—B.-+C.D.-+

424V23+2V22V2

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

例9.(2024•山东烟台•二模)(多选)定义在R上的函数/(x)满足/(%)+/(4+%)=0,

/(2+2x)是偶函数，f(1)=1,则()

A./(x)是奇函数

B./(2023)=-1

仁/(乃的图象关于直线》=1对称

D.羽雪kf(2k-1)=-100

考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和

例10.(2025•江苏高邮・一模)已知定义在R上的偶函数/'(X)满足/'(%)=-/(2-x),当

%E[0,1)时,f(x)=2COSTTX,函数g(x)=x-1(一14x43),则/(%)与g(x)的图象所有

交点的横坐标之和为.

考法11：类周期函数的应用

例11.(多选)已知函数/(%)=％>3，则下列说法正确的是()

A.若函数y=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围为(怖3)

183

B.关于％的方程f(x)—焉=0(九cN*)有2n-1个不同的解

C.对于实数％W[L+8),不等式%/(%)-8W0恒成立

D.当xG[3吁1,3，)(neAT)时，函数f(x)的图象与工轴围成的图形的面积为4x(|)吁1

考点四：函数性质的综合应用

考法12：具体函数性质的综合判断与应用

例12.(2026•山东枣庄•一模)(多选)已知函数/(x)=三^，则()

A.f(x)为奇函数

&/(乃的值域是(一1,1)

C.f(x)有极值

D.存在实数a,b,使得/(X)在口口上的值域为6。彳切

考法13：构造函数利用性质解不等式

例13.(2025•河北邢台名校-一模)设函数/(%)=ln(l+蜡)_岛面，则不等式/(2x)>

/(x+1)的解集为()

A.(-1,1)

B.(-8,一1)U(1,4-00)

C.(-於

D.(-8,一：)u(；,+8)

考法14：抽象函数的性质推导与证明(赋值法)

例14.已知定义在R上的函数/(久)，g(x)满足：①/(0)=1；②g(x)为奇函数；③VxE

(0,+oo),g(x)>0；④任意的%yWR,f(x-y)=/(x)f(y)-gMg(y).

(1)判断并证明函数/(%)的奇偶性；

(2)判断并