离散型随机变量及其分布大题专项训练【六大题型】-人教A版高中数学选择性必修第三册（原卷版）

专题7.6离散型随机变量及其分布大题专项训练【六大题型】

【人教A版(2019)]

姓名：班级：考号：

题型一求离散型随机变量的分布列。|

I.(2023上•辽宁沈阳•高二校考阶段练习)学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分,

没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是土

(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；

(2)求小明在4次投篮后的总得分j的分布列

2.(2023上•山东德州•高二校考阶段练习)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件I,2,

3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.2,各部件的状态相互独立.

⑴求设备在一天的运转中，部件I,2中至少有1个需要调整的概率；

(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求随机变量X的分布列.

3.(2023上•辽宁沈阳•高二校考阶段练习)已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全

部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得。分.每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2

项或3项.为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为%

正确答案是“选三项”的概率为现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.

(1)已知某题正确答案是“选两项“，求学生甲不得0分的概率；

(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项“，试写出甲、乙两名学生得分的分布

列.

4.（2023上•全国•高三专题练习）设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3in

（I）求随机变量〃=|x-1|的分布歹ij；

（2）求随机变量6=产的分布列.

5.（2023・陕西汉中•校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展

的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚，扶贫

先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与

支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，旦每次派送人员均从这5人中随

机拉选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.

⑴求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；

⑵求第•次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；

题型二求离散型随机变量的均值O|

6.（2023下•广东肇庆•高三广东登庆中学校考阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围,

某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只

能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

个人赛

奖项组别团体赛获奖

一等奖二等奖三等奖

高一20206050

高二162910550

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得•等奖，求抽到的学生来自高一的概率:

(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望;

7.(2023上•安徽•高三校联考期末)在当今信息泛滥的时代，很多因素容易分散孩子们的注意力.某儿童

注意力训练机构从2~14岁的学员中随机抽取了50名学员，得到相关数据如图所示:

(1)若抽取的这50名学员的平均年龄为6.2岁(每组数据以所在区间的中点值为代表)，求图中小〃的值.

(2)从所抽取的年龄在[2,4),[6,8),[8,10)内的学员中，按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取7人，再

从这7人中任选3人，记这3人中年龄在[6,8)内的学员人数为X,求X的分布列和数学期望.

8.(2023・湖南株洲•株洲二中校考一模)民航招飞是指普通高校飞行技术专业(本科)通过而考招收飞行

学生，报名的学生参加预选初检、为检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4

项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学

生通过前4项流程的概率依次约为1.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生中、

433

乙、丙三人报名民航招飞.

(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率：

(3)根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为设甲、乙、丙三

•500

人能被招飞院校录取的人数为X,求X的分布列及数学期望.

9.(2023上.贵州贵阳.高三贵阳-•中校考阶段练习)3月14日为国际数学日，也称为TT节，为庆祝该节日，

某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用"两轮制''方式进行，要求每个班

级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三(6)

班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是通过第二轮比赛的

45

概率分别是3(,且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

(1)若高三(6)班获得决赛资格的小组个数为X,求X的数学期望；

(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10()分，答错一题扣

100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，

且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中

JJ

得100分的情况下甲获胜的概率.

10.(2023上•广东惠州•高三惠州一中校考阶段练习)杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们

分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海

纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式

购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只

有标开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二；直接购买吉祥物，每个30元.

(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开.求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的

吉祥物款式相同的概率；

(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案

二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物.若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？

题型三：求离散型随机变量的方差、标准差。|

11.(2023上•浙江杭州•高二期中)根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验•种

新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则

认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.

(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽

到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布.

(2)在第(1)题的条件下求随机变量X的期望与方差.

(3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率。并根据P的值解释该试验

方案的合理性.(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件).

12.(2023上•江西上饶•高二校考期末)某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30

天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用寸”表示“上涨”，即当天新闻点击量比

前一天新闻点击量高；用“1”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“一”表示“不变”，

即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.

时段新闻点击量

第1天到第15天t-T1I-1T-1T1-1

第16天到第30天-T-t-tJTIt-1tT

用频率估计概率.

⑴试估计该网站新闻点击量“下降'的概率；

（2）从样本中的前15天和后15天中各随机抽取I天,记X表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求X的

分布列和数学期望E（X）；

（3）从样本给出的30大中任取1大，用=「表不该大新闻点击量“上涨”，«=0"表不该大新闻点击量“下

降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，

相应地，从这40天中任取1天，用力=1”表示该天新闻点击量“上涨"，"=0”表示该天新闻点击量“下降”

或“不变”，直接写出方差以，4大小关系.

13.（2023上•北京顺义高三校考价段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000

名顾客进行回访，调杳结果如表：

运动鞋款式4BCDE

回访顾客（人数）70035。300250400

满意度0.40.50.60.50.6

注：

1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；

2.对于每位回访顾客，只调研•种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用

顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.

（1）从所有的回访顾客中随机抽取I人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；

（2）从4、E两种款式运动鞋的1可访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X,求X的分布列和数学期

望；

（3）用然=1“和二=0”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“=「和”=0”分别表示对B款运动满意

和不满意，试比较方差。（f）与D5）的大小.（结论不要求证明）

14.(2023下•广西河池•高二统考期末)为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二

十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡

教育高质量共同发展.某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活

动.这6名老师中，英语老师、化学老师、数学老师各2名.

(I)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；

(2)设X表示选出的3人中数学老师的人数，求X的均值与方差.

15.(2023上•北京西城•高三校考开学考试)为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)

班〜(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名

学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下(％轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数)：

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成

绩达到优秀的概率；

(2)若从以上统计的高一(2)班和高一(4)班的学生中各抽出I人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到

优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；

(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中

分别随机抽取1名同学，用「表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，"比=0”表示第上班抽到的这

名同学身体素质不是优秀(k=l,2，…,8).写出方差。(4),。62),。(仁),。(乙)的大小关系(不必写出证明

过程).

题型四二项分布的均值与方差

16.(2023•全国•高三校联考专题练习)在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同

学轮流一人一次独'Z竞猜，甲同学猜对概率为0.6,乙同学猜对概率为0.4,假设猜对每道灯谜都是等可能

的，试求:

(1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；

⑵任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率：

(3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X,求X的期望.

17.(2023上•内蒙占呼伦贝尔・高二校考期末)我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方

案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如卜.“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷

一枚质地均匀的股了，连续抛掷两次.约定”如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答

问卷，否则按方式II回答问卷”

方式I：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画“△”，否则画％”

方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“x”.

当所有学生完成问卷调查后，统计画△,画x的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖

励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=(满意的学生数/学生总数)X100%.

(1)若高二年级-共有9()0名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)若高二年级的调查问卷中，画公与画x的人数的比例为5：4,试估计学生对新的奖励评审方案的满意度.

18.(2023上•浙江杭州•高三统考期中)第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持

续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融・爱答亚运”知识挑战赛.挑战者向守

擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜.若赛制要

求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是0.5,目.每次答题互不影响.

(I)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少？

(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少？

(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之

二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利.若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并

说明理由.

19.(2023上•广东深圳•高三深圳中学校考阶段练习)某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力

不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比

较实验，为了比较某项指标p的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的p值，并计算得到

其平均数元二74,中位数％=72,随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的p值，并绘制成如下的频率

分布直方图.

频率

⑴求乙生产线的产品指标p值的平均数?与中位数y(每组值用中间值代替，结果精确到0.01),并判断乙生

产线较甲生产线的产品指标p值是否更好(如果历-y|<|x-xb则认为乙生产线的产品指标p值较甲生产

线的产品指标p值更好，否则不认为更好).

(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标p值不小于70的产品个数川X表示，求X

的数学期望与方差.

20.（2023・广东肇庆•统考二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号八次，

每次发射信号"0”和"1"是等可能的.记发射信号1的次数为X.

（1）当?1=6时,求P（X=2）

（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量匕若其数学期望E（y）和方差。（丫）均存在，则对任意正实数%

有p（|y-E（r）|＜a）＞i-翳.根据该不等式可以对事件“卜-£（y）|＜的概率作出下限估计.为了至少有

98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数几的最小值.

题型五、

21.（2023上.河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大Z勺有800万网络购物者，某电子商务公司

对该地区〃名网络购物者某年度.上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间［051.1］内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a,b,c,d满足d=c+0.5=b+1=

Q+1.5,且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

十频率/组距

d.................

c..........——

b.........

0.8

0.2

0.50.60.70.80.91.011金额/万元

⑴求a,b,c,d的值;

⑵现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查,

①求在各组应该抽取的人数;

②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X,求随机变量X的分布列与数

学期望.

22.(2023上•江苏南通・高三海门中学校考阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游

戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，I个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随

机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要

表演一个节目.

(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；

(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.

23.(2023上•山西•高三统考阶段练习)近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8

道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中,2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<

pVl)，且猜中每道谜语与否互不影响.

(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；

(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围.

24.(2023卜・・山东枣庄•高二校考阶段练习)为营造浓厚的全国文明城市创建氛闹，积极响应创建全国文明

城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小

组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)记参加活动的女生人数为X,求X的分布列及期望E(X)、方差。(X).

25.(2023・湖北•模拟预测)某区域中的物种P拥有两个亚种(分别记为4种和B种).为了调查该区域中这两

个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P,统计其中A种的数目后，将捕获的生物

全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i次试验中力种的数目为随机变号无。=

12・・・,20).设该区域中4种的数目为用，8种的数目为N,每一次试验均相互独立.

(1)求％的分布列;

(2)记随机变量＞=调怒]/已知E&+Xj)=Eg)+E(Xj),D(X[+%)=D&)4-0(%)；

(i)证明:E(N)=E(XJ,D(X)=^D(Xt)；

(ii)该小组完成所有试验后,得到)的实际取值分别为修(i=1,2/、20).数据以。=1,2,…,20)的平均值

x=40,方差s2=1.176.采用文和52分别代替E(N)和。(不，给出M,N的估计值.

,离散型随机变量的均g方差小他幽睁

26.(2023上•北京西城•高三校考阶段练习)如图是2023年11月I日到11月20日，某地区甲流疫情新增

数据的走势图.

180-r

140

120

100一新增确诊

80•新增疑似

60

40

20

八.....................................,.................

u12345678910111213141516171819

(1)从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；

(2)从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列

和数学期望；

(3)记每天新增确诊的人数为匕每天新增疑似的人数Z,根据这20天统计数据，试判断DV与DZ的大小关系

(结论不要求证明).

27.(2023下•辽宁鞍山•高二校联考阶段练习)为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设,

某单位组织开展“学习强国”知识竞赛.竞赛设置6个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3个题目进行作答,

若所抽取的3个题FI全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛.对这6个题目，某科室的甲能正

确作答其中的4个题目，乙能正确作答每个题H的概率均为全且甲乙对每个题FI的作答都是相互独立的.

(1)已知甲乙两人总共正确作答3个题目，求甲答对1道乙答对2道的概率；

(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由.

28.(2023下•湖北•高二校联考阶段练习)杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年

全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展.截

至2021年5月22H,中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种.如图为部分水稻稻种的生育期天

数的频率分布直方图.

「频率

(I)根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值