大学本科《管理运筹学》教学设计：整数规划建模与软件求解-以投资场所选择为例

大学本科《管理运筹学》教学设计：整数规划建模与软件求解——以投资场所选择为例  一、教学基本信息  【基础】课题名称：整数规划的计算机求解——投资场所的选择  【基础】授课对象：大学本科管理科学与工程类、工商管理类、经济学专业二年级学生  【基础】授课学时：2学时（90分钟）  【基础】课程类型：专业核心课/学科基础课  【重要】教学资源：多媒体教室（配备投影仪、电脑）、运筹学教学软件（如WinQSB、LINGO、MATLAB或Python编程环境）、在线学习平台（用于发布预习资料和课后拓展案例）。  二、教学设计理念与思路  （一）【基础】课程改革理念的融入  本节课严格遵循“以学生发展为中心，以能力培养为导向”的课程改革理念。摒弃传统教学中“重理论推导、轻实际应用；重手工计算、轻软件工具”的弊端，将教学重心从“教给学生知识”转向“教会学生解决问题”。通过引入真实的商业决策场景——“投资场所的选择”，让学生在“做中学、学中思”，在解决问题的过程中自主建构知识体系，培养其系统性思维、量化决策能力和创新意识。同时，注重信息技术与教育教学的深度融合，将抽象的整数规划算法转化为直观的软件操作与结果解读，降低学习门槛，提升学习效能。  （二）【热点】跨学科视野的融合  本节课不仅局限于运筹学本身的数学模型，更注重打通经济学（成本收益分析、边际效用）、管理学（战略布局、资源配置）与数据科学（算法逻辑、编程实现）之间的壁垒。引导学生认识到，投资场所的选择并非简单的数学计算，而是涉及市场预测、财务分析、战略定位的综合性决策。通过本课学习，学生能够初步建立“管理问题→数学模型→算法求解→决策支持”的跨学科思维链条，为后续学习《数据分析》、《管理信息系统》、《项目管理》等课程奠定坚实的基础。  （三）【重要】教学策略与方法  本节课采用“案例驱动+问题导向+软件实操”的教学策略。具体方法如下：  1.案例驱动教学法：以一个精心设计、层层递进的“投资场所选择”案例为主线，贯穿整个课堂教学，使学生在连续的情境中逐步深入学习。  2.问题导向教学法：在每个教学环节，都设置具有挑战性的问题（如“如何用数学语言描述‘至多选两个’？”“软件算出的结果一定是实际可行的吗？”），激发学生的好奇心和探究欲，引导学生主动思考。  3.混合式教学法：课前通过线上平台发布预习资料（微课视频、案例背景）；课中采用讲授、小组讨论、上机实操、成果展示等多种形式；课后布置拓展任务，引导学生进行深入研究。  4.对比教学法：将手工试凑法的局限性、隐枚举法的逻辑与计算机求解的高效性进行对比，让学生深刻体会算法优化与软件工具的价值，理解“计算机是人的得力助手，而非替代人”的本质。  三、教材与学情分析  （一）【基础】教材分析  本次课内容选取自《管理运筹学》教材中“整数规划”章节。整数规划是线性规划的延伸，也是更贴近现实决策的数学工具。而“投资场所的选择”作为01整数规划的典型应用，是连接理论与实践的绝佳案例。该内容承前启后：既是对前面线性规划建模与求解知识的巩固与深化，也为后续学习更为复杂的“指派问题”、“背包问题”、“固定成本问题”等打下基础。  （二）【基础】学情分析  授课对象为大学二年级学生，他们已经完成了高等数学、线性代数、概率论等数学基础课程的学习，具备一定的数学建模能力。在前序课程中，学生已经系统学习了线性规划的基本概念、单纯形法以及灵敏度分析，能够熟练建立线性规划模型并利用软件进行求解。然而，学生对整数规划的特殊性（解必须为整数）认识不足，容易忽略现实问题中的整数约束，导致决策方案不可行。此外，学生的计算机实操能力和对结果的商业解读能力尚显薄弱，需要在本节课中重点加强。  四、教学目标  根据布鲁姆教育目标分类法，结合专业培养要求，设定本节课的教学目标如下：  （一）【基础】知识层面  1.准确复述整数规划、01变量的定义及其在管理决策中的重要意义。  2.解释为什么投资场所选择问题必须使用01变量进行建模。  3.列举出三种以上包含逻辑约束（如互斥、依存、至少选一）的整数规划模型。  （二）【重要】能力层面  1.能够根据实际问题的文字描述，正确识别决策变量、目标函数和约束条件，建立标准的01整数规划数学模型。  2.熟练运用至少一种运筹学软件（如LINGO、WinQSB、MATLAB）对建立的整数规划模型进行计算机求解。  3.能够对软件输出的求解结果进行准确的翻译和解读，将其还原为通俗易懂的商业决策方案，并能够进行简单的敏感性分析。  （三）【非常重要】素养层面  1.在小组协作建模的过程中，培养团队合作精神与有效沟通能力。  2.通过对最优投资方案的分析，树立科学决策、严谨求实的工作作风，理解在资源约束下追求效益最大化的管理精髓。  3.培养量化分析的思维习惯，初步形成运用数学模型和信息技术解决复杂管理问题的创新意识。  五、【非常重要】教学重点与难点  （一）教学重点  1.【高频考点】【核心技能】0......模型的建立：特别是如何用数学不等式精确表达各种现实逻辑关系（如“至多”、“至少”、“如果...那么...”），这是将管理问题转化为数学问题的关键一步。  2.【核心技能】运筹学软件的实操与结果解读：熟练掌握软件的操作流程，并能将枯燥的数据转化为有管理价值的决策建议。  （二）教学难点  1.【难点】【深度思维】逻辑约束的数学化表达：如何引导学生将“只能在A、B中选一个”、“选C的前提是必须选D”这类带有条件性的描述转化为规范的线性约束不等式。  2.【难点】【抽象思维】整数规划求解算法的理解（非重点，但需了解）：计算机是如何在庞大的解空间中快速找到最优解的？对于非数学专业学生，理解分枝定界或隐枚举法的基本思想而非具体步骤，是一大挑战。本节课对此的处理原则是：讲思想，不讲细节；讲逻辑，不讲公式。  六、【核心环节】教学实施过程（90分钟）  （一）【基础】课前准备与预习（线上平台发布，约20分钟）  1.教师活动：在学习通/雨课堂等平台发布预习任务包，包括：①一个5分钟的微课视频，回顾线性规划基本概念，引出整数约束的案例（如“生产汽车，数量必须是整数”）；②本次课核心案例——“新锐公司销售中心选址”的背景介绍文字材料；③一个简短的思考题：“如果允许开小数家店，你的投资方案是什么？为什么现实中这往往行不通？”  2.学生活动：观看微课，阅读案例背景，初步思考选址问题，并带着疑问进入课堂。  【设计意图】：通过翻转课堂的形式，激活学生的先验知识，明确学习目标，为课堂深度探究做好铺垫。  （二）【重要】课堂导入：从“分牛难题”到“商业决策”（约5分钟）  1.情境创设：教师讲述一个经典的数学故事：“老人去世，17头牛分给三个儿子，大儿子1/2，二儿子1/3，小儿子1/9。按照传统线性规划，可以算出分数解，但现实中牛不能杀，怎么办？”（引导学生回答：借一头牛凑成18头再分。）  2.问题引入：教师总结，“借牛”是一种巧妙的整数处理技巧。但在现代商业决策中，我们面对的是成百上千个变量，无法靠“借”来解决。比如，一家公司要在城市里选址建销售中心，地点要么建要么不建，不能建半个。这就是我们今天要解决的“整数规划”问题。  3.展示案例：引出核心案例——“新锐公司销售中心选址”。（PPT展示案例详情，数据可参考经典教材进行优化）。  【案例数据】：  新锐公司计划在东、西、南、北四区建立销售中心，拟议中有10个位置A1A10可供选择。考虑到市场覆盖和内部竞争，规定：  东区（A1,A2,A3）中至多选择两个；  西区（A4,A5）中至少选一个；  南区（A6,A7）中至少选一个；  北区（A8,A9,A10）中至少选两个。  各点所需投资额及预计年利润如下表（单位：万元）：  位置A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10  投资额100120140160180  利润36405022203025485861  公司可用于投资的总资金为720万元。问应选择哪几个销售点，可使年利润最大？  【设计意图】：用趣味数学故事激发兴趣，自然过渡到严肃的商业决策问题，使学生迅速进入学习状态。  （三）【核心环节1】模型构建：化“现实”为“数学”（约25分钟）  1.决策变量的设定（5分钟）：  教师引导：“要决定一个点选还是不选，这类似于一个‘开关’。在数学上，我们用什么变量来表示开关状态？”  学生回答：“01变量！”  教师总结：“非常准确。设xi=1表示选择地点Ai，xi=0表示不选择Ai（i=1,2,...,10）。这是解决此类问题最关键的一步。”【重要】  2.目标函数的建立（3分钟）：  教师提问：“我们的目标是年利润最大，如何用这些01变量表示总利润？”  学生很容易得出：MaxZ=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10。  3.【难点突破】约束条件的数学转化（12分钟）：  这是本节课的第一个高潮，也是学生最容易出错的地方。教师采用“分解组合”的策略，逐一攻克：  资金约束：“总资金不超过720万”。学生可轻易写出：100x1+120x2+...+180x10≤720。  区域约束①（至多选两个）：“东区A1,A2,A3中至多选两个”。教师引导：“‘至多两个’用数学语言怎么说？是否可以是0个、1个或2个？”学生讨论后得出：x1+x2+x3≤2。教师强调，这就是“互斥”或“容量限制”的表达。  区域约束②（至少选一个）：“西区A4,A5中至少选一个”。学生仿照得出：x4+x5≥1。  区域约束③（至少选一个）：南区x6+x7≥1。  区域约束④（至少选两个）：北区x8+x9+x10≥2。  教师延伸提问（拓展思维）：“如果题目改成‘在东区，如果选了A1，就不能选A3’，这个条件又该怎么写？”（引导学生课后思考，或作为课堂机动内容）答案是：x1+x3≤1。  4.模型整合与检验（5分钟）：  教师引导学生将上述所有部分整合，形成完整的数学模型。  【基础】完整模型呈现：  MaxZ=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10  S.T.100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10≤720  x1+x2+x3≤2  x4+x5≥1  x6+x7≥1  x8+x9+x10≥2  xi∈{0,1},i=1,2,...,10  教师组织学生以小组为单位（前后桌4人一组），花2分钟互相检查一下对方建立的模型是否有遗漏或错误。并请一组学生代表展示他们的模型。  【设计意图】：通过循序渐进的引导和小组互查，让每一位学生都亲身经历建模的全过程，深刻理解01变量的强大表达能力，并初步掌握处理逻辑约束的技巧。  （四）【核心环节2】求解之道：从“手工穷举”到“软件智能”（约15分钟）  1.问题驱动：教师提出一个现实问题：“我们有了模型，怎么找到最优解？如果用手工试凑，2^10=1024种组合，虽然理论上可行，但现实决策中如果有30个点呢？（10亿种组合）显然不行。这就需要借助计算机和专门的算法。”  2.【基础】算法思想微讲座（隐枚举法/分枝定界法）：  教师用通俗的语言解释计算机求解整数规划的基本逻辑：“想象一下，计算机就像一个有智慧的侦探。它不会笨拙地去搜查每一个房间（所有组合），而是先通过一些线索（松弛问题的最优解）划定一个搜索范围，然后不断地把大问题分成小问题（分枝），并随时判断哪些小问题里根本不可能藏有‘通缉犯’（最优解），从而果断放弃搜索（剪枝）。这种‘有智慧的枚举’就是隐枚举法或分枝定界法的核心思想。”【重要】  3.【核心技能】软件实操演示（以LINGO为例，约10分钟）：  教师打开LINGO软件，进行现场投屏演示，步骤分解清晰：  第一步：打开软件，新建文件。  第二步：逐行输入模型。教师边输入边解释LINGO的基本语法：  MODEL:  MAX=36X1+40X2+50X3+22X4+20X5+30X6+25X7+48X8+58X9+61X10;  100X1+120X2+150X3+80X4+70X5+90X6+80X7+140X8+160X9+180X10<=720;  X1+X2+X3<=2;  X4+X5>=1;  X6+X7>=1;  X8+X9+X10>=2;  @BIN(X1);@BIN(X2);...@BIN(X10);(教师可以简写为@BIN(X1)...@BIN(X10);)  END  强调：@BIN函数是LINGO中定义01变量的关键！【非常重要】  第三步：点击“求解”按钮（靶心图标）。观察软件求解过程报告。  第四步：展示求解结果（SolutionReport）。教师引导学生找到关键信息：最优目标值（Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:245），以及变量的取值（Value）。  4.结果解读与验证（5分钟）：  教师指着屏幕上的结果：“X1=0,X2=0,X3=0,X4=0,X5=1,X6=1,X7=1,X8=1,X9=1,X10=1。”  提问：“这个结果用商业语言怎么说？”  学生翻译：“不选东区的任何点，不选西区的A4，选西区的A5；南区选A6和A7；北区全选A8、A9、A10。总利润为245万元。”  教师引导验证约束条件：“西区只选了A5一个，满足‘至少选一个’；南区选了俩，满足‘至少选一个’；北区选了仨，满足‘至少选两个’。东区没选，也满足‘至多选两个’。总资金是否超了？”带领学生快速心算或笔算：70+90+80+140+160+180=720（万元），刚好用满！  教师赞叹：“完美！这就是数学的魅力，计算机的精准！”  【设计意图】：通过现场演示，将抽象的算法转化为可见的操作，极大地降低了学生的学习恐惧，让他们直观感受到现代信息技术在管理决策中的强大威力。  （五）【热点】深度探究：如果条件变了？（约15分钟）  1.问题抛出：教师提问：“刚才的结果是在既定条件下得出的。但现实决策中，条件可能会变化。比如，公司觉得资金可以增加一些，或者东区市场潜力巨大，必须选一个。这些变化会对我们的决策产生什么影响？”【热点】  2.任务布置：教师将全班分为三个大组，每组完成一个拓展任务，并利用软件快速求解（可请学生上台操作或小组内自己操作）：  第一组：资金约束从720万元增加到800万元。求解新的最优方案。观察利润增加了多少？新增的投资是否带来了等比例的利润增长？（引导学生思考投资的边际效益）  第二组：东区政策放宽，规定“至少选一个”。即把约束改为x1+x2+x3≥1。求解新的最优方案。利润发生了怎样的变化？为什么？（引导学生思考强制性约束带来的机会成本）  第三组：公司考虑到与A7点存在竞争关系，新增条件：“如果选了A6，就不能选A7”。即x6+x7≤1。求解新的最优方案。利润有何变化？  3.结果分享与讨论：  每组派代表汇报本组的求解结果，并进行简短的分析。  教师点评并总结：“大家看到了，一个小小的条件变化，可能会导致最优方案的巨大改变，利润也随之波动。这告诉我们，在做决策时，不仅要‘算出’最优解，更要‘分析’这些解对条件的敏感度。这就是我们后面要系统学习的‘灵敏度分析’。”【重要】  【设计意图】：通过变式训练，让学生进一步熟练软件操作，更重要的是培养他们举一反三、深度分析的能力，并自然引出后续课程内容，实现知识的螺旋式上升。  （六）【基础】课堂总结与升华（约5分钟）  1.知识回顾：教师带领学生快速回顾本节课的核心知识点：  学了什么？01整数规划的定义与模型。  怎么学的？通过一个投资场所选择的案例，经历了“问题描述→建立模型→软件求解→结果分析”的全过程。  核心技能是什么？①用01变量表达逻辑约束；②会用软件求解并解读结果。  2.素养升华：教师总结陈词：“同学们，今天我们处理的虽然是一个看似简单的选址问题，但它背后反映的是现代管理决策的共性逻辑：在资源有限、条件复杂的现实中，如何运用科学的工具做出最优的抉择。希望大家记住，运筹学不仅仅是数学公式和软件操作，它更是一种思维方式——一种系统思考、量化分析、追求最优的思维方式。这种思维方式，将帮助你们在未来无论从事什么工作，都能更理性、更高效地解决