小学数学五年级上册《一个数除以小数》导学案

小学数学五年级上册《一个数除以小数》导学案

  一、课程核心定位与学情全景透视

  本课隶属于“数与代数”领域“数的运算”模块，是小学数学整数、小数四则运算知识体系中的关键枢纽与教学难点。在此之前，学生已经牢固掌握了除数是整数的除法（包括小数除以整数）、小数乘法的计算法则，并对商不变的性质有了初步的理解和应用经验。然而，从“除数是整数”到“除数是小数”的跨越，绝非简单的算法迁移，而是涉及数系扩张（从整数到小数）背景下运算意义与算理的深度重构。五年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期，其思维特点表现为：能基于具体情境和直观模型进行逻辑推理，但对完全抽象化的算理归纳与形式化的算法提炼仍存在一定困难。常见的迷思概念包括：机械地将“小数点对齐”迁移为除法的计算法则；对“为什么要把除数转化为整数”的理解停留在表层指令，未能内化为对除法运算本质的坚守；在移动小数点时，对被除数发生同步变化的必要性认识模糊，容易遗漏。因此，本教学设计旨在超越单纯技能训练的传统模式，以“理解算理、掌握算法、发展思维”为核心目标，通过创设阶梯式探究任务、多元表征互译（情境、操作、图形、符号）、以及高认知水平的思辨活动，引导学生亲历知识的“再创造”过程，实现从机械操作到意义理解的跃升，并在此过程中培养运算能力、推理意识、模型意识和应用意识。

  二、学习目标三维矩阵

  （一）知识与技能维度

  1.在具体问题情境中，理解一个数除以小数的算理根基：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，其核心依据是商不变的性质。

  2.通过自主探究与合作交流，能够正确、清晰、完整地表述和归纳一个数除以小数的计算方法，并能熟练、准确地进行笔算。

  3.能根据实际需求，灵活运用“四舍五入”法对除法的结果取近似值，初步形成根据情境处理计算结果的能力。

  4.能够综合运用小数除法知识解决稍复杂的实际问题，提升信息提取、数量关系分析与数学建模的能力。

  （二）过程与方法维度

  1.经历“发现问题-提出猜想-验证猜想-形成结论-应用拓展”的完整数学探究过程，体验转化、迁移、类比等基本数学思想方法。

  2.学会运用直观模型（如人民币单位换算、面积模型、线段图等）辅助理解抽象算理，实现算理直观化与算法程序化的有效链接。

  3.通过对比分析不同情境下的除法算式，培养观察、分析、概括和语言表达的逻辑严谨性。

  （三）情感、态度与价值观维度

  1.在探究算理的过程中，感受数学知识之间的内在联系和逻辑之美，激发对数学严谨性与系统性的认同感。

  2.通过解决富有现实意义的问题，体会数学在生活中的广泛应用价值，增强数学应用意识。

  3.在小组合作与思辨交锋中，养成独立思考、敢于质疑、乐于合作、严谨求实的科学态度。

  三、教学重难点解构与突破路径

  （一）教学重点：理解并掌握一个数除以小数的计算算理与算法。

  （二）教学难点：

  1.算理层面：深刻理解“利用商不变的性质，将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法”这一转化思想的本质与必要性。学生需理解，转化是为了坚守“除法是求一个数里包含多少个另一个数”的基本定义，使运算在已掌握的认知结构内得以进行。

  2.算法层面：正确处理除数与被除数小数点移动的联动关系。明确“除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也必须向右移动几位”这一操作背后的原理，并能正确处理被除数位数不足时需补“0”的情况。

  （三）突破路径：

  1.多重情境锚定：创设“编制中国结”、“购买文具”、“分配彩带”等贴近学生生活且蕴含相同数学结构的问题情境，让学生在反复的“问题解决-模式识别”中感知共性。

  2.多元表征桥接：设计从“具体实物操作”（如兑换人民币）到“半抽象图示”（如画图表示数量关系），再到“完全符号运算”的递进式活动，帮助学生构建从具体到抽象的认知阶梯。

  3.对比辨析深化：组织学生对比“7.65÷0.85”与“765÷85”、“7.65÷8.5”等算式，在异同点分析中强化对转化条件和变化规律的认识。

  4.关键问题驱动：贯穿“为什么一定要把除数变成整数？”、“只移动除数的小数点行不行？”、“被除数的小数位数不够怎么办？”等系列问题链，驱动学生深度思考。

  四、教学准备全景图

  （一）教师准备：

  1.多媒体课件：包含问题情境动画、动态演示小数点移动过程的交互式课件、对比分析图表、梯度练习与拓展素材。

  2.教具：放大版的计算过程卡片、可移动的磁性小数点模型、人民币学具（元、角、分）图示卡。

  3.预设学生学习单：包含探究记录表、算理理解图示区、分层练习区。

  （二）学生准备：

  1.复习商不变的性质，并能举例说明。

  2.熟练掌握除数是整数的除法笔算。

  3.准备草稿本、笔。

  五、教学实施过程精细化设计（核心环节）

  （一）第一课时：算理的生发与算法的建构

  环节一：创设冲突，孕伏转化（预计用时：8分钟）

  1.情境导入，呈现问题。

   师：（课件出示）为庆祝元旦，五年级（1）班的同学们准备用彩带编织中国结。已知编一个大的中国结需要0.85米彩带，现在有一卷总长为7.65米的彩带。请问，这卷彩带最多可以编多少个这样的中国结？

   学生齐读题目，教师引导找出已知条件和所求问题。

  2.列出算式，引发认知冲突。

   师：如何列式解决这个问题？（预设学生列出：7.65÷0.85）

   师：观察这个除法算式，与我们之前学过的除法有什么不同？（预设：以前学的除法，除数都是整数，这个算式的除数是小数。）

   师板书课题核心：一个数除以小数。

   师：除数是小数，该怎么计算呢？能不能直接用我们以前学过的除法竖式来计算？请大家先估一估，大约能编几个？再试着用竖式算一算，看看会遇到什么困难。

   学生独立尝试竖式计算，教师巡视，收集典型做法（包括错误的和试图转化的）。

  3.暴露困惑，聚焦核心。

   展示学生可能出现的错误竖式（如直接将小数点对齐后进行除法）。

   师：这样算对吗？为什么？计算除数是小数的除法，我们面临的真正挑战是什么？（引导学生说出：不会算除数是小数的除法；除数是小数，不知道商的小数点该怎么点。）

   师：我们的目标是求出7.65米里包含了多少个0.85米。但“0.85”这个标准不是整数，不方便我们直接用已有的除法知识去“数”。怎样才能让它变得方便呢？

  环节二：多元探究，深析算理（预计用时：20分钟）

  1.策略一：依托生活经验，进行单位换算。

   师：想一想，在生活中有没有遇到过类似的问题？比如，0.85米和7.65米，如果用更小的单位来表示呢？

   生：可以把“米”化成“厘米”。0.85米=85厘米，7.65米=765厘米。

   师：现在问题变成了什么？（765厘米里面有多少个85厘米）算式怎样列？（765÷85）

   学生口算或竖式计算：765÷85=9。

   师：看，通过单位换算，我们把除数是小数的除法（7.65÷0.85）变成了除数是整数的除法（765÷85），结果不变。这是一种非常智慧的“转化”方法。

  2.策略二：运用商不变性质，实现数学转化。

   师：单位换算是通过改变单位来实现的。在数学运算内部，有没有一个通用的“法宝”，能让我们在不改变商的大小的前提下，把除数变成整数？

   生回忆：商不变的性质——被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

   师：太好了！现在，我们要把除数0.85变成整数85，需要怎么做？

   生：把0.85乘100。

   师：根据商不变的性质，要使商不变，被除数应该怎么办？

   生：也要乘100。

   师生共同完成转化过程板书：7.65÷0.85=(7.65×100)÷(0.85×100)=765÷85。

  3.策略三：可视化模型，直观理解。

   利用课件动态演示：将一条代表7.65的线段和一条代表0.85的线段同时放大100倍，变成765和85。清晰地展示“标准”（除数）和“总量”（被除数）同步扩大的过程，强化“同时变化”的视觉印象。

  4.沟通联系，提炼本质。

   师：比较一下“单位换算”和“应用商不变性质”这两种方法，它们有什么共同点？

   引导学生发现：本质都是将被除数和除数同时扩大到原来的相同倍数（这里是100倍），把除数是小数的除法，转化成了除数是整数的除法来计算。这体现了数学中非常重要的“转化”思想。

   师：在这个转化过程中，关键看谁？（除数）我们把除数变成了整数，被除数跟着发生相应的变化。

  环节三：抽象算法，形成技能（预计用时：12分钟）

  1.从算理到算法，规范竖式过程。

   师：我们理解了算理，如何在竖式中实现这个转化过程呢？请大家以7.65÷0.85为例，尝试写出规范的竖式计算过程。

   学生尝试，教师规范板书：

   第一步：写竖式，先写成7.65÷0.85的形式。

   第二步：移动小数点。重点讲解：为了把除数0.85变成整数85，需要将小数点向右移动两位。在竖式中，我们可以直接划去除数0.85的小数点，并在其后面（上方）写一个“→2”的标记，表示它的小数点向右移动了两位。

   第三步：根据商不变性质，被除数7.65的小数点也必须向右移动两位。但是7.65只有两位小数，移动两位后，小数点移到5的后面，变成了765。在竖式中，划去被除数7.65的小数点，并在其后面（上方）也写一个“→2”的标记。因为位数正好，所以不需要补0。

   第四步：在新的算式765÷85上进行计算。注意商的位置：因为我们现在算的是765除以85，所以商应该写在5的上面。

   第五步：计算并得出结果9。

  2.对比辨析，深化理解。

   出示变式：12.6÷0.28。

   师：这个算式该如何转化？除数0.28变成整数28，小数点要向右移动几位？（两位）被除数12.6的小数点也要向右移动两位，但12.6只有一位小数，位数不够怎么办？

   引导学生讨论得出：位数不够时，要用“0”补足。所以12.6的小数点右移两位后变成1260。

   学生完成竖式计算，教师强调补“0”的关键步骤。

  3.尝试归纳，总结算法。

   师：通过刚才的学习和计算，你能总结一下“一个数除以小数”的计算方法吗？先独立思考，再小组交流。

   预设学生归纳，教师整理并板书算法要点：

   一看：看清除数有几位小数。

   二移：先移动除数的小数点，使它变成整数；再移动被除数的小数点，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。

   三算：按照除数是整数的小数除法进行计算。

   师：这个算法口诀的核心是什么？（“转化”——把新知识转化成旧知识。）

  （二）第二课时：算法的巩固、应用与思维拓展

  环节一：基础夯实，辨析内化（预计用时：15分钟）

  1.直接写得数（快速反应练习）。

   设计如2.4÷0.4=，5.6÷0.8=，0.36÷0.09=等口算题，重点训练学生口头完成“移动小数点”的转化过程，强调速度与准确性。

  2.竖式计算工坊。

   出示三组有代表性的笔算题：

   第一组：常规题。如62.4÷2.6，2.38÷0.34。

   第二组：需补“0”题。如5.98÷0.23，10.8÷4.5（被除数移动后变成整数，但商仍需点小数点）。

   第三组：商中间有“0”或整数除法。如21÷1.4，8.84÷1.7。

   学生独立计算，同桌互批，针对错例进行“错因诊断会”，聚焦“小数点移动错误”、“补0遗漏”、“商的小数点位置错误”等问题。

  3.火眼金睛辨对错。

   出示几道典型错误竖式，如：

   ①2.6）6.5（直接将除数当成整数，未处理被除数）

   ②0.32）12.8（除数移动两位，被除数只移动了一位）

   要求学生找出错误并改正，说明错误原因，巩固算法关键步骤。

  环节二：综合应用，解决问题（预计用时：18分钟）

  1.情境问题串。

   问题1（单价、数量、总价）：苹果每千克售价5.6元，妈妈付了30.8元，能买多少千克苹果？

   问题2（速度、时间、路程）：蜗牛每分钟爬行0.18米，爬完一段0.72米长的树枝需要多少分钟？

   问题3（归一问题）：3台同样的抽水机，4小时可以浇地2.4公顷。照这样计算，一台抽水机每小时可以浇地多少公顷？

   引导学生分析数量关系，正确列式，并关注计算结果的合理性。例如，在问题3中，涉及连除或先乘后除，考察学生对小数除法运算顺序的掌握。

  2.结果取近似值。

   出示问题：每个油桶最多可以装4.5千克油。要装完60千克油，至少需要准备多少个这样的油桶？

   学生列式：60÷4.5≈13.33…（个）

   师：计算结果约等于13.33…个，但油桶的个数能是小数吗？应该怎么办？

   介绍“进一法”：在解决容器盛物、车辆运输等问题时，无论结果的小数部分是多少，都要向整数部分进一，才能保证全部装完。所以需要14个桶。

   对比练习：用一段25米长的丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5米丝带。这段丝带可以包装多少个礼盒？

   列式：25÷1.5≈16.66…（个），这里需要用“去尾法”，因为不够包装第17个，所以只能包装16个。

   引导学生讨论在什么情况下用“四舍五入”、“进一法”或“去尾法”，培养根据实际情况处理计算结果的意识。

  环节三：思维拓展，联结贯通（预计用时：7分钟）

  1.开放探究：括号里的魔术。

   出示：()÷0.25=4.8

   师：不直接计算，你能快速想出括号里是多少吗？你是怎么想的？

   引导学生逆向运用“商不变”或乘除法的关系：除数0.25变成1需要乘4，要使商不变，被除数也要乘4，所以4.8×0.25或4.8÷4。此题沟通乘除法互逆关系。

  2.规律探索：观察与发现。

   计算下面每组题，并观察规律：

   ①4.8÷1.2=②4.8÷0.8=

   4.8÷0.6=4.8÷0.4=

   引导学生发现：当被除数不变时，除数大于1，商反而小于被除数；除数小于1，商反而大于被除数。并尝试用自己的语言解释这一规律（除数越小，被除数能被分成的份数越多，每份虽然变小，但份数增加的影响更大，导致总商变大）。此为后续学习分数除法中“除以一个数等于乘它的倒数”埋下伏笔。

  3.跨学科小链接（微视频或阅读材料）：

   简要介绍小数在科学计量（如微生物长度、药物剂量）、经济金融（汇率换算）中的精密应用，体现小数除法在精密计算中的价值。例如：已知1美元兑换6.5元人民币，一件标价325元人民币的商品，折合多少美元？（325÷6.5）将数学学习置于更广阔的应用背景中。

  六、分层作业设计与评价建议

  （一）分层作业设计

  1.基础巩固层（全体学生必做）：

   ①完成教材配套练习中的基础计算题和应用题。

   ②编制一份包含5道“一个数除以小数”的计算题卡，并算出答案。

  2.能力提升层（中等及以上学生选做）：

   ①解决复合型实际问题，如：“工程队修一条长8.4千米的公路，原计划每天修0.6千米，实际每天比原计划多修0.2千米。实际修完这条路比原计划少用多少天？”

   ②探究题：已知A×0.5=B÷0.5（A、B均不为0），比较A和B的大小，并说明理由。

  3.思维拓展层（学有余力学生挑战）：

   ①数学小论文（提纲）：以《“变身”的除法——谈商不变性质的妙用》为题，梳理本单元所学，阐述转化思想。

   ②设计一道能够综合运用“进一法”和“去尾法”解决的生活实际问题，并写出解答过程。

  （二）教学评价建议

  1.过程性评价：

   课堂观察记录：重点关注学生在探究活动中的参与度、合作交流的效能、提出与解决问题的主动性。

   学习单分析：通过分析学生探究记录、错题成因自析，评估其算理理解深度和元认知水平。

  2.纸笔评价：

   设计涵盖算理理解（如填空、判断说明理由）、算法掌握（竖式计算）、综合应用（解决问题）三个维度的单元小测