三年级数学上册：两、三位数乘一位数的进位乘法（导学案）

三年级数学上册：两、三位数乘一位数的进位乘法（导学案）

  一、课标依据与核心素养渗透解读

  本教学内容严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域第二学段（3-4年级）的目标要求。具体对应于“数的运算”部分：能计算两位数乘一位数、三位数乘一位数的乘法，经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法；能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释。本课是整数乘法运算体系中承上启下的关键节点，上承表内乘法及不进位的多位数乘一位数，下启连续进位的乘法及多位数乘多位数的算理基础。在核心素养的渗透上，本节课着重培养学生的运算能力、推理意识和模型意识。通过探索进位乘法的算理与算法，学生不仅掌握程序性操作技能，更能理解“满几十向前一位进几”这一规则背后的十进制计数原理（推理意识）；通过将具体情境抽象为乘法算式并求解，建立“求一个数的几倍是多少”或“求几个相同加数的和”的数学模型（模型意识）；在复杂计算过程中，确保每一步的准确性与合理性，则是运算能力的内核体现。

  二、学情深度分析

  教学对象为三年级上学期学生。其认知基础与潜在障碍分析如下：知识储备方面，学生已熟练掌握表内乘法、整十整百数乘一位数的口算，以及两、三位数乘一位数（不进位）的笔算方法，理解了乘法竖式的基本书写格式和数位对齐原则。技能层面，具备初步的动手操作（如小棒、计数器）能力和小组合作经验。思维特点上，正由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，但对算理的深层理解仍需直观支撑。潜在学习障碍预判：第一，对“进位”的处理易与加法进位混淆，尤其在竖式中忘记加上进位数或错误处理进位数的位置。第二，面对连续进位（如每一位相乘都需进位）时，思维链条加长，易产生顺序混乱或遗漏。第三，在解决实际问题时，难以从复杂信息中准确提取数学模型，或对运算结果的合理性缺乏判断。因此，教学需设计多层次的操作活动与思辨环节，将抽象的进位规则可视化、步骤化，并设置对比练习与错例分析，促进算法的内化与迁移。

  三、学习目标与评价预设

  基于以上分析，设定如下三维学习目标：

  1.知识与技能目标：理解两、三位数乘一位数（进位）的算理，掌握其笔算方法，能正确、熟练地进行计算，并能解决相关的简单实际问题。

  2.过程与方法目标：经历通过操作学具、探究交流抽象出笔算方法的过程，体验算法多样化与优化，发展迁移类推能力和初步的抽象概括能力。

  3.情感、态度与价值观目标：在解决问题的过程中感受数学与生活的联系，养成认真计算、仔细检查的学习习惯，获得克服困难、探索成功的体验。

  为达成目标，设计嵌入式评价：通过课堂观察（操作过程、发言质量）、过程性纸笔练习（分层题单）、以及实际应用问题解决（项目小任务）等多维度进行。例如，新授环节通过学生能否用学具清晰演示“满十进一”来评价算理理解；练习环节通过计算正确率与速度评价技能掌握；拓展环节通过解决方案的合理性评价模型应用能力。

  四、教学重难点剖析

  教学重点：掌握两、三位数乘一位数（进位）的笔算方法，理解“哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几”的算理。

  教学难点：正确处理乘法计算中的进位问题，特别是连续进位的情况；将算理与算法有机融合，实现从具体操作到符号运算的顺利抽象。

  五、教学准备与环境创设

  1.教师准备：多媒体课件（内含动态演示进位过程的动画、分层练习题、生活情境图）；实物投影仪；计数器；磁性小棒或方块图教具。

  2.学生准备：每人一套小棒（每10根一捆，另备散根）或计数器的学具操作卡片；学习任务单（含探究记录、分层练习、自我评价表）。

  3.环境创设：将课桌椅布置成4-6人合作小组形式，便于开展探究与讨论。教室墙面可提前布置“数的运算探索园地”，为本课的算理探究与成果展示提供空间。

  六、教学实施过程详案

  （一）情境激趣，问题驱动，孕伏新知（预计用时：8分钟）

    师：（课件出示学校“爱心图书角”采购图书的情境图）同学们，为了丰富我们的图书角，学校决定增购一批新书。其中，《童话故事》每本24元，《百科全书》每套128元。如果购买3本《童话故事》，需要多少钱？购买2套《百科全书》，又需要多少钱呢？请大家尝试列出算式。

    生独立思考后汇报：买3本《童话故事》列式为24×3，买2套《百科全书》列式为128×2。

    师：仔细观察这两个算式，与我们之前学过的乘法算式有什么不同？

    生：之前我们学的多位数乘一位数，像12×3、123×2，计算时都不需要进位。而24×3，个位4乘3得12，超过10了；128×2，个位8乘2得16，也超过10了。这就会遇到进位问题。

    师：你的观察非常敏锐！这就是我们今天要共同攻克的“堡垒”——两、三位数乘一位数的进位乘法。（板书课题核心：进位乘法）面对这个新挑战，你们有什么初步的想法或疑问吗？

    生1：进位加到哪一位？怎么加？

    生2：会不会和加法进位一样？

    生3：如果不止一位需要进位怎么办？

    师：这些都是非常关键的好问题！让我们带着这些问题，开启今天的探索之旅。首先，我们从较简单的两位数乘一位数入手。

  （二）操作探究，数形结合，突破算理（预计用时：15分钟）

    活动一：探究24×3的算理与算法。

    1.自主操作，直观感知：

    师：请同学们拿出小棒，用你喜欢的方式摆一摆、分一分，表示出24×3，并思考每一步计算的含义。完成后在小组内交流你的摆法和想法。

    （学生动手操作，教师巡视指导，选取典型摆法准备展示。）

    2.展示交流，理解算理：

    请一组学生上台展示：他们先摆了3个24（即2捆加4根为一组，共三组）。然后，将所有的单根小棒合起来，有4×3=12根。把其中的10根捆成一捆，剩下2根。这样，原来有3个2捆是6捆，加上新捆出来的1捆，一共是7捆，再加剩下的2根，就是72根。

    师：（配合课件动画演示此过程）太棒了！这清晰地展示了计算过程。谁能用算式把这个过程记录下来？

    生：先算个位：4×3=12。12里面的“10”怎么办？

    师：问得好！这“10”就是1个十，它不能再放在个位上了。在竖式中，我们如何处理这个“多出来的十”呢？

    3.算法抽象，构建模型：

    师生共同尝试列竖式计算。教师引导学生回顾不进位乘法竖式的写法，然后重点讨论“12”的处理。

    生：个位上写2，那个“1个十”要记在心里，或者做个记号，加到十位的计算里去。

    师：对，这就是“进位”。我们通常把这个进上的“1”写在十位数字的右下角，写得小一点，提醒自己。（板书规范的竖式过程：先写24×3的竖式，计算个位4×3=12，在个位写2，向十位进1；再算十位2×3=6，加上进上来的1得7，在十位写7。）

    师：谁能完整地说一说24×3的笔算过程？

    生：从个位算起，三四十二，个位写二，向十位进一；再用三乘十位上的二得六，加上进上来的一得七，十位写七。结果是七十二。

    教师引导学生归纳两位数乘一位数（进位）的笔算要点：相同数位对齐；从个位乘起；哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。

    活动二：迁移探究128×2的算理与算法。

    师：两位数乘一位数（进位）的秘诀我们已经找到了。现在，敢不敢挑战三位数乘一位数？请同学们尝试用计数器拨一拨，或者用笔画一画方块图，来研究128×2该怎么算。重点思考：如果有连续进位，该怎么办？

    （学生小组合作探究，教师重点关注学生如何处理“个位满十向十位进一，十位乘完后加上进位又满二十”这一连续进位情况。）

    小组汇报：用计数器演示，先拨2个128，即个位共16颗，向十位进1，个位剩6；十位原有2个2是4颗，加上进位的1颗是5颗，不满十，不用再进位；百位2个1是2颗。所以是256。

    师：如果十位上计算后也满十或超过十了呢？比如计算152×4。请同学们试着用刚刚总结的方法算一算。

    学生计算，发现个位2×4=8；十位5×4=20，十位写0，向百位进2；百位1×4=4，加进位的2得6。教师强调：进位的数一定要参与下一位的计算，并且可能遇到某一位乘得的积加上进位数后再次满十，需要继续向前进位（即连续进位）。

  （三）对比归纳，固化算法，明确要领（预计用时：7分钟）

    师：现在，请大家对比一下我们学过的“不进位乘法”和今天的“进位乘法”，在计算方法上有什么相同点和不同点？小组讨论。

    生汇报：

    相同点：都要相同数位对齐；都要从个位乘起；都是用一位数依次去乘多位数的每一位。

    不同点：不进位乘法乘得的积直接写在对应的数位上；进位乘法乘得的积如果满几十，就要向前一位进几，计算前一位时一定要加上进上来的数。

    师：（提炼并板书）这就是多位数乘一位数笔算的通用法则。无论是几位数，无论是否进位，都要遵循：一对齐，二顺序，三进位。“进位”是难点，关键是要记住“乘加”两步：先乘（用一位数乘这一位上的数），再加（加上从低位进上来的数）。我们可以用一句顺口溜来帮助记忆：“一位数乘多位，位数对齐个位起；满几十，进几十，不忘加来不忘记。”

  （四）分层演练，纠错深化，形成技能（预计用时：12分钟）

    练习设计遵循“基础巩固→变式深化→综合应用”的梯度。

    第一层：基础巩固（算理强化）。完成学习任务单上的“笔算小达人”部分：47×2,58×4,136×3,192×4。要求竖式计算并简述计算过程。完成后同桌互查，重点检查进位标记和计算。

    第二层：变式深化（辨析纠错）。课件出示典型错例，如：忘记加进位数（27×4计算为108）、进位数字写错位置（56×3将进位的“1”写在百位）、连续进位遗漏（274×3）。开展“我是小神医”活动，请学生诊断错误原因并更正。此环节旨在暴露思维盲点，深化对算法关键步骤的理解。

    第三层：综合应用（解决问题）。出示情境问题：“学校运动会，三年级需要准备矿泉水。每箱有24瓶，买5箱够260名同学每人一瓶吗？”引导学生先估算（24≈20,20×5=100，远小于260，初步判断不够），再精确计算（24×5=120瓶），验证估算，并作出判断和解释。培养学生估算意识和对计算结果进行合理性检验的习惯。

  （五）拓展延伸，沟通联系，发展思维（预计用时：5分钟）

    师：掌握了进位乘法的本领，我们能解决更多有趣的问题。请看“思维冲浪区”：

    1.填数游戏：在□里填上合适的数字，使竖式成立。

    □4

    ×□

    ————

    192

    （此题考察学生对乘法计算过程的反向推理能力。）

    2.联系生活：如果一个水龙头因没关紧每分钟滴水约68克，请你计算一下，一小时大约浪费多少克水？你有什么感想？

    （将数学计算与环保教育结合，体现学科育人价值。）

    3.初步渗透：观察一组算式：15×9=135,25×9=225,35×9=315……你发现了什么规律？能用今天学的知识解释吗？（为后续学习积的变化规律等埋下伏笔。）

  （六）回顾反思，总结升华，布置作业（预计用时：3分钟）

    师：同学们，今天的数学探索之旅即将结束。请大家闭上眼睛，回想一下：这节课我们研究了什么？我们是怎样研究的？你最大的收获是什么？还有什么疑惑？

    学生自由分享收获与感悟。

    教师总结：今天我们共同攻克了“进位乘法”这个难题。大家通过摆一摆、拨一拨，找到了“满几十进几”的运算道理，并通过大量的练习掌握了计算的方法。数学就是这样，将复杂的问题拆解成我们已经知道的步骤。记住“一对齐、二顺序、三进位”的口诀，你就能成为计算小能手。

    分层作业设计：

    【必做题】（面向全体，巩固基础）

    1.完成课本对应练习页的题目。

    2.用竖式计算：36×7,89×5,247×4,518×3。

    3.解决一个生活中的乘法小问题，并记录下来。（如：计算自己一天跳绳总数，如果每分钟跳85下，连续跳4分钟）

    【选做题】（面向学有余力学生，拓展思维）

    1.探究：一个三位数乘9，积可能是四位数吗？举例说明。

    2.挑战：□2□×6=4□9□，请你填出所有可能的数字。

    3.小调查：了解家里一个月的用电量或用水量，尝试用乘法估算一下一年的用量。

  七、板书设计

    板书采用思维导图与要点提炼相结合的方式，力求清晰呈现知识脉络与算法关键。

    中心标题：两、三位数乘一位数（进位）的笔算

    左侧区域（探究过程）：

    24×3=72

    操作：小棒演示“捆”与“根”的转换

    竖式：（规范书写，突出进位“1”的标记）

    算理：4×3=12→2个一，1个十（进）

    2×3=6→6个十+1个十=7个十

    右侧区域（算法归纳）：

    步骤：1.相同数位对齐

    2.从个位乘起

    3.乘加结合（先乘，再加进位）

    4.满几十，向前一位进几

    口诀：一位数乘多位，位数对齐个位起；

    满几十，进几十，不忘加来不忘记。

    下方区域（对比区）：

    不进位vs进位（用彩色粉笔勾画核心区别“处理进位”）

  八、教学反思与特色说明（课后追记）

    本节教学设计旨在体现当前小学数学教学的最新理念与最高实践标准，具有以下特色：

    1.深度理解算理，实现算法自主建构：摒弃单纯灌输算法步骤的模式，将大量时间与空间留给学生通过操作学具（小棒、计数器）进行探索。将抽象的“进位”转化为可视化的“捆小棒”、“拨珠子”动作，使“满十进一”的十进制思想深深植根于学生的认知。从具体操作到数学符号（竖式）的抽象过程，由学生自主完成或在其充分体验后经教师引导完成，实现了对算法的真正理解与意义建构。

    2.精准把