2027高考数学一轮复习讲义：充分条件必要条件与量词-教用版

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

第2讲充分条件、必要条件与量词

知识整合体系重构

激活思维

1.设x£R,则“x>l”是2>1”的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由X>1可得X2>1;反之X2>1可得X>I或XV—1,不能推出X>1,故为充

分不必要条件.

2.已知p：a<1,q：函数f(x)=x2—2ax+l在［1,+8)上单调递增，则p是q的(C)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既小充分也不必要条件

【答案】C

【解析】二次函数开口向上，对称轴为乂=&,在［1,+8)上单调递增的充要条件是把1,

故p与q等价.

3.命题叼xUR,x2+2x+mV0”为真命题的充要条件是

【答案】m<l

【解析】x2+2x+m=(x—l)2+m—1,存在实数x使其小于0,等价于最小值m—1V0,

即m<1.

4.命题“Vx£［0,2］,x2-2x+aKF为真命题，则a的取值范围为_aNl_.

【答案】a>l

【解析】x2—2x+a=(x—l)2+a—1,在［0,2］上的最小值为a—1,恒非负需心1.

聚焦知识

1.充分条件、必要条件与充要条件

关系含义语言表述

P=>q由p能推出qp是q的充分条件；q是p的

必要条件

q巾由q能推出pp是q的必要条件；q是p的

充分条件

p与q可以互推p是q的充要条件

(1)若p=q且q不能推出p,则p是q的_充分不必要—条件.

⑵若p不能推出q且q=p，则P是q的—必要不充分—条件.

(3)判断条件关系时，常把命题化为集合P，Q:p=q等价于_PGQ_.

2.全称量词与存在量词

命题形式读法否定形式

Vx£M,p(x)对M中任意x,p(x)成立2x^M,-«p(x)

3x^M,p(x)存在M中的x,使p(x)成立VxWM,->p(x)

(1)"V”表示—全称；存在—量词，表示—全称；存在—量词.

(2)“至少有一个"的否定是_一个也没有：至少有一个不成立_：“都成立”的否定是_一

个也没有；至少有一个不成立

3.常见结论与易错点

(1)“P是q的充分条件''看p能否推出q；4是q的必要条件''看q能否推出p.

(2)含不等式的命题常转化为区间包含；含函数单调性、方程根的命题先转化为参数范

围.

(3)含量词命题求参数时,全称命题常转化为恒成立问题，存在命题常转化为有解问题.

注意：否定命题不能只改结论而忘记改变量词；判断“不充分”“不必要”时，必须给出反

例或排除反向推出.

题型突破思维拓展

举题说法

题型一充分条件、必要条件与充要条件的判断

例1⑴设xUR,则“x=2"是“=4"的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】x=2可推出x2=4；但x2=4可得x=2或x=-2,反向不成立.

(2)设a,b£R,则“a=0”是"ab=(r呜T(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】a=0必有ab=O；但ab=O可能由b=0导致，不能推出a=0.

(3)设m£R,贝是“方程x2—mx+l=O有两个不等正根”的(C)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】方程有两个不等正根需A=n】2—4>0.根和m>0,根积I>0,合得m>2；反

过来m>2时三条件均满足.

方法提炼：判断条件关系时，固定两个方向：p=q是否成立，qnp是否成立.若能找到

反例，应迅速排除反向推出；若涉及方程、不等式、函数性质，先把两个命题化为等价

范围再比较.

变式1设乂七匕则“|xT|V2”是“一1〈*〈4”的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】|x-l|<2等价『一1<XV3,可推出一l<x<4；反向不成立.

题型二由条件关系求参数范围

例2(1)已知p：X2—4x+3<0,q：a<x<a+2.若p是q的充分条件，则实数a的取值

范围为_一iWaWl_.

【答案】-l<a<l

【解析】p对应[1,3],q对应[a,a+2].p=q等价于[1,3]c[a,a+2],故a$1且a+

2>3,得T&W.

(2)已知p：x>m,q：x2—5x+6>0.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围为

【答案】m>3

【解析】q等价于x<2或x>3.要使(m,+oo)c(—oo,2)U(3,+oo),需mZ3；此时q

不能推出p,故为充分不必要条件.

(3)已知p：xe[-l,2],q：xe[a,a+4].若q是p的必要条件，则a的取值范围为_

-2<a<-l_.

【答案】-2<a<-l

【解析】q是p的必要条件等价于p=q,即[一1,2]£[a,a+4],所以底一1且a+令2,

得一29工一1.

方法提炼：p是q的充分条件对应集合PGQ；p是q的必要条件对应QGP.做含参题

时，端点开闭、空集可能和“不充分”“不必要”的排除条件都要单独检查.

变式2已知p：X2—2x—3<O,q：x<b.若p是q的充分条件，则b的取值范围为_b>3_.

【答案】b>3

【解析】p等价于一烂3,p=>q需[―1,3]£(—co,b],所以bN3.

题型三全称量词、存在量词与命题否定

例3(1)下列命题为真命题的是(C)

A.VxeR,x2+l<0B.3xeR,x2—2x4-2=0

C.VxG[(),1],x"xD.3xeN,2x+l为偶数

【答案】C

【解析】A恒假；B中判别式为一4,无实根；C在[0.1J上恒成立；D中2x+l恒为奇

数.

(2)命题“所有正方形都是矩形”的否定是(B)

A.所有正方形都不是矩形B.至少有一个正方形不是矩形

C.至少有一个矩形不是正方形D.所有矩形都是正方形

【答案】B

【解析】全称命题的否定是存在命题，并否定结论，故为“至少有一个正方形不是矩形

(3)命题TxWR,x2+ax+lW0”为假命题，则实数a的取值范围为_-2VaV2一

【答案】-2<a<2

【解析】存在x使二次式W0为假，等价于Vx£R,x2+ax+l>0.需A=a2-4V0,得

-2<a<2.

方法提炼：否定含量词命题时，要同时更换量词并否定结论：V的否定是m的否定是

V;的否定是"C,"至少一个''的否定是“一个也没有

变式3命题“VxWR,x2+2x+a>0”为真命题，则a的取值范围为_a>1一

【答案】a>l

【解析】开口向上的二次函数恒大于0,需判别式4-4a<0,故a>l.

题型四含量词的恒成立与存在性问题

例4(1)若命题"VxR[l,3],*2-2*+2己0''为真命题，则a的取值范围为_a3_.

【答案】a>l

【解析】x2-2x+a=(x-l)2+a-l,在[1,3]上的最小值为a-l,故於1.

(2)若命题Tx£[0,2],x2—4x+m4)”为真命题，则in的取值范围为_m*_.

【答案】m<4

【解析】在[0,2]上x2—4x+m的最小值为m一的存在x使其W0,等价于m—4M,即

m<4.

(3)若命题"Vx£[L2],aSx+1/x”为真命题,则a的取值范围为_ag2_.

【答案】a<2

【解析】函数x+1/x在[I,2]上的最小值为2,全称成立需a不超过该最小值，故把2.

方法提炼：全称命题常转化为最大值或最小值约束；存在命题常转化为方程有解、不等

式有解或最值达到某一侧.处理时先明确变量范围，再研究目标式在该范围内的最值.

变式4若命题1],x2+ax—1>0”为真命题，则a的取值范围为

【答案】a/)

【解析】若a>0,取x=l得a>0；若aVO,取x=-l得一a>0,均存在满足条件的

x.若a=O,则x2—ISO在[―1,1]上恒成立,不能大于0,故a和.

随堂内化

I.“xN2”是“x*4”的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】x>2可推出x*4；但x2>4还可能x<—2,反向不成立.

2.命题Fx£Z,x2=2”的否定是（A）

A.Vx£Z,x¥2B.Bxez,xV2

C.VxGR,x2/2D.3xeR,x2=2

【答案】A

【解析】存在命题的否定为全称命题，范围不变，结论取否定.

3.若“Vx£[l,2],x2-ax+l项”为真命题,则a的取值范围为_ag2_.

【答案】a<2

【解析】由x2-ax+lX）得aWx+1/x.在[1,2]上x+1/x的最小值为2,所以处2.

4.已知p：x£[—2,4],q：x£[a,a+3].若q是p的充分条件，则a的取值范围为_

—2<a<l_.

【答案】-2<a<l

【解析】q=p等价于[a,a+3]U[—2,4],故*一2且a+304,得一2刍£1.

配套精练

一、单项选择题

1.设x£R,则“x=0”是r2=0”的（C）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】实数范围内x2=0等价于x=0.

2.“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形"的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.

3.命题“Vx七R,x2NT的否定是（B）

A.VxWR,x2<()B.3x^R,x2<()

C.3xGR,x2>0D.VxeR,x^O

【答案】B

【解析】全称命题否定为存在命题，且x全0的否定为x2V0.

4.下列命题中为真命题的是（B）

A.3x£R,x2+l=0B.Vx£R,x24-x+l>0

C.VxER,2X<0D.3xeN,2x为奇数

【答案】B

【解析】x2+x+l判别式为一3且开口向上，恒大于0.

5.已知p：a>2,q：a>l,则p是q的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】a>2可推出吟I,反向不成立.

6.已知p：X2—3x+2=0,q：x=1,则p是q的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】p等价于x=l或x=2,q=p成立，但p=q不成立.

7.若命题“ZlxWR,x2—4x+m<0”为假命题，则m的取值范围是（B）

A.（-co,4）B.14,+oo）

C.（4,+oo）D.（—00,4]

【答案】B

【解析】存在小于0为假,等价于恒有在一4x+吟0,最小值m—4K）.

8.若命题“VxER,x2—2x+aK）”为真命题，则a的取值范围是（C）

A.a<1B.a<1

C.a>lD.a>l

【答案】C

【解析】最小值为a—1,恒非负需aNl.

9.设p：x£[0,2],q：x£[-l,3J,则p是q的（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】[0，2]C[-1,3],故p=q,反向不成立.

10.已知p：函数y=x2-2ax+l在[2,+刃）上单调递增，q：a<2,则p是q的（C）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】对称轴为x=a,在[2,+8）上递增等价于把2.

二、多项选择题

11.下列说法正确的是（ABC）

A.若pnq,则p是q的充分条件B.若qnp,则p是q的必要条件

C.若p与q互为充要条件，则p,q真假一定相同D.若p是q的充分不必

要条件，则q是p的充分不必要条件

【答案】ABC

【解析】A,B为定义；C中互推命题真假一致；D应为q是p的必要不充分条件.

12.下列命题的否定正确的是（ABD）

人."*£1<«>0”的否定是叼*£匕*00"8「3*£?4«2=5"的否定是“工£犯

x¥5”

C.“所有等边三角形都是锐角三角形”的否定是“所有等边三角形都不是锐角三角形”

D.“至少有一个实数x使x2<0”的否定是“VxER,x*0”

【答案】ABD

【解析】A,B,D均正确；C的正确否定应为“至少有一个等边三角形不是锐角三角形

13.已知p：aG[l,41，q：a£（—8,m].若p是q的充分条件，则m可能为（BCD）

A.3B.4

C.5D.6

【答案】BCD

【解析】p=q需[1,4J£（—co,m],所以m%.

14.关于命题p：VxG[0,1],x2<x,下列判断正确的是（