（2027年春）北师大版2024七年级下册数学知识点大全

北师大版（2024修订）七年级数学下册·知识点大全

颜色标注说明：■红色——核心定义/概念■蓝色——重要公式/定理■绿色——重要性质/法则■紫色——易错点/注意事项

第一章整式的乘除1.1幂的乘除一、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。a^m·a^n=a^(m+n)（m、n为正整数）⚠底数必须相同才能用此法则。不同底数的幂相乘需要先化成同底数。二、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。(a^m)^n=a^(mn)（m、n为正整数）三、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(ab)^n=a^n·b^n（n为正整数）四、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。a^m÷a^n=a^(m-n)（a≠0，m、n为正整数，m>n）五、零指数幂与负整数指数幂a^0=1（a≠0）a^(-p)=1/a^p（a≠0，p为正整数）⚠任何不等于0的数的0次幂都等于1。0的0次幂无意义。⚠科学记数法可以表示绝对值很小的数：如0.0000023=2.3×10^(-6)。1.2整式的乘法一、单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。⚠只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式，不能遗漏。二、单项式乘多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。a(b+c)=ab+ac⚠单项式乘多项式时，要乘遍多项式的每一项，注意不要漏乘，特别要注意符号。三、多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn⚠展开后若有同类项要合并。多项式乘多项式的结果在合并前项数等于两个多项式项数的乘积。1.3乘法公式一、平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。(a+b)(a-b)=a²-b²⚠使用平方差公式时，关键是找准哪个是相同项（a），哪个是相反项（b）。结果中相同项的平方减去相反项的平方。二、完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²⚠完全平方公式的展开式有三项，不要漏掉中间的2ab项。口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。1.4整式的除法一、单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。⚠只在除式里含有的字母不能保留，如果被除式没有该字母，相当于该项为0。二、多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。(am+an)÷a=m+n第二章相交线与平行线2.1两条直线的位置关系一、相交线●相交：两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做交点。二、对顶角●对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。●对顶角相等。三、余角和补角●互余：两个角的和为90°，互为余角。●互补：两个角的和为180°，互为补角。●同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。四、垂直●垂直：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直。●其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。●垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。●垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。●点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。2.2探索直线平行的条件一、平行线●平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。●平行符号：a∥b表示直线a与直线b平行。●平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。●平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。二、同位角、内错角、同旁内角●同位角：在截线同侧，被截两线的同一方位的两个角。●内错角：在截线两侧，被截两线之间的两个角。●同旁内角：在截线同侧，被截两线之间的两个角。⚠这三种角是判断两直线平行的关键，正确识别它们是前提。口诀：F型找同位角，Z型找内错角，U型找同旁内角。三、平行线的判定●判定1：同位角相等，两直线平行。●判定2：内错角相等，两直线平行。●判定3：同旁内角互补，两直线平行。⚠三个判定方法中，条件分别是角的关系，结论是线的平行关系，不要混淆判定和性质。2.3平行线的性质平行线的性质●性质1：两直线平行，同位角相等。●性质2：两直线平行，内错角相等。●性质3：两直线平行，同旁内角互补。⚠性质和判定的区别：判定是由角的关系推出平行关系；性质是由平行关系推出角的关系。条件和结论正好互换。第三章概率初步3.1感受可能性一、事件的分类●必然事件：在一定条件下一定会发生的事件。●不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件。●随机事件（不确定事件）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。⚠必然事件和不可能事件统称为确定性事件。判断事件类型要看条件。3.2频率的稳定性一、频率与概率●频率：在大量重复试验中，某事件发生的次数与试验总次数的比值。●在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。●概率：表示一个事件发生的可能性大小的数，记作P(A)。0≤P(A)≤1●必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间。⚠频率是试验值，概率是理论值。大量试验时频率接近概率，但频率不一定等于概率。3.3等可能事件的概率等可能事件的概率●如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则事件A的概率为：P(A)=m/n●适用条件：所有可能出现的结果必须是等可能的（每种结果出现的可能性相同）。⚠计算概率时要注意确认所有结果是否等可能。如掷两枚骰子，36种结果是等可能的。常见概率模型●掷骰子：一枚骰子6个面，每个面朝上的概率为1/6。●摸球：袋中有n个球，其中红球m个，摸到红球的概率为m/n。●转盘：扇形面积占总面积的比例即为概率。第四章三角形4.1认识三角形一、三角形的概念●三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。二、三角形的三要素●顶点：三角形三条线段的公共端点，共3个。●边：组成三角形的三条线段，共3条。●角：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，共3个。三、三角形的分类●按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。●按边分类：不等边三角形、等腰三角形（两边相等）、等边三角形（三边相等）。四、三角形的重要性质●三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。∠A+∠B+∠C=180°●三角形任意两边之和大于第三边。●三角形任意两边之差小于第三边。●三角形外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。●三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。⚠判断三条线段能否组成三角形，只需判断较短两边之和是否大于最长边即可。⚠三角形的外角和等于360°（每个顶点处取一个外角）。五、三角形的重要线段●中线：连接一个顶点与对边中点的线段。三条中线交于一点（重心）。●高：从三角形一个顶点向对边（或对边所在直线）作垂线，顶点到垂足间的线段。●角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。4.2全等三角形一、全等三角形的概念●全等图形：能够完全重合的两个图形。●全等三角形：两个三角形能够完全重合，就是全等三角形。●对应顶点、对应边、对应角：重合的顶点、边、角分别叫做对应顶点、对应边、对应角。二、全等三角形的性质●全等三角形的对应边相等。●全等三角形的对应角相等。⚠找对应边和对应角时要注意对应顶点的顺序，如△ABC≌△DEF中，A↔D,B↔E,C↔F。4.3探索三角形全等的条件三角形全等的判定方法●SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。●SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。●ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。●AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。⚠SSA和AAA不能判定两个三角形全等。特别注意"边边角"不能作为全等的判定条件。⚠在直角三角形中，还有HL判定法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4.4利用三角形全等测距离应用●利用全等三角形的原理，可以将不可直接测量的距离转化为可测量的距离。●构造全等三角形的方法：利用角平分线、垂直、中点等条件构造。第五章图形的轴对称5.1轴对称及其性质一、轴对称的概念●轴对称：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。二、轴对称的性质●对应点所连的线段被对称轴垂直平分。●对应线段相等，对应角相等。●轴对称图形的对应线段或其延长线的交点在对称轴上。⚠对称轴是一条直线，不是线段或射线。一个图形可能有多条对称轴。5.2简单的轴对称图形一、等腰三角形●等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的边叫做腰，另一边叫做底边。●等腰三角形的性质：●①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。●②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。●③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。二、等边三角形●等边三角形：三条边都相等的三角形（也叫正三角形）。●等边三角形的性质：三个内角都等于60°；有三条对称轴。●等边三角形的判定：三边相等的三角形；三个角都相等的三角形；有一个角是60°的等腰三角形。三、线段的垂直平分线●线段垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。●性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。若MN⊥AB且AN=BN，P在MN上，则PA=PB四、角平分线●角平分线上的点到角两边的距离相等。若OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE第六章变量之间的关系6.1现实中的变量变量的概念●在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。●在变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。●自变量：主动变化的变量。●因变量：随着自变量的变化而变化的变量。⚠自变量和因变量是相对的，取决于我们研究的角度。6.2用表格表示变量之间的关系表格表示法●通过表格可以清楚地看到自变量和因变量的对应数值。●优点：能