陕西省石泉县高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.3 二次函数在闭区间上的最值教学设计 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究2.4.3二次函数在闭区间上的最值教学设计北师大版必修1备课组主备人授课教师授教学科授课班级课题名称课程基本信息1.课程名称：陕西省石泉县高中数学

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2022年X月X日

4.教学时数：1课时核心素养目标分析1.发展数学抽象思维：通过二次函数最值问题的研究，引导学生理解函数的抽象概念，提高抽象思维能力。

2.培养逻辑推理能力：在探索二次函数最值规律的过程中，培养学生运用数学语言进行逻辑推理，提升逻辑思维水平。

3.强化数学建模意识：引导学生将实际问题转化为数学模型，增强数学建模意识，提高解决实际问题的能力。

4.增强应用意识：通过实例分析，让学生体会数学在生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养应用意识。教学难点与重点1.教学重点

-核心内容：二次函数在闭区间上的最值问题，包括求最值的方法和最值点的判断。

-细节说明：重点讲解二次函数的顶点式和一般式，以及如何通过顶点坐标和对称轴确定函数的增减性。例如，通过分析函数y=ax^2+bx+c（a≠0）在闭区间[0,2]上的最值，强调如何使用顶点公式和判别式来确定最值点。

2.教学难点

-难点内容：二次函数在闭区间上的最值问题在实际应用中的灵活运用。

-细节说明：难点在于如何将实际问题转化为二次函数模型，并找到合适的闭区间。例如，在解决实际问题时，如优化设计问题或经济问题，学生可能难以确定函数的形式和合适的闭区间。此外，难点还在于如何运用导数和单调性来分析函数在闭区间上的行为，例如，在函数y=x^2-4x+3上找到[1,3]区间内的最大值和最小值。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修1教材，以便跟随课本内容学习二次函数的性质。

2.辅助材料：准备与二次函数相关的图表，如函数图像、对称轴和顶点图，以及相关视频，帮助学生直观理解函数性质。

3.教学工具：准备计算器或计算软件，以便学生在解决具体问题时进行数值计算。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生合作探究二次函数在闭区间上的最值问题。教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们之前学习了二次函数的图像和性质，谁能告诉我二次函数的图像是什么样的？

2.学生回答：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

3.老师总结：非常好，二次函数的图像是一个抛物线。那么，今天我们要进一步研究二次函数在闭区间上的最值问题。

二、新课讲授

1.老师讲解：首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

2.老师提问：同学们，二次函数的顶点坐标是多少？

3.学生回答：顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a)。

4.老师总结：非常好，顶点坐标可以帮助我们判断函数的开口方向和对称轴。

5.老师讲解：接下来，我们来研究二次函数在闭区间上的最值问题。首先，我们要找到函数的对称轴，然后根据对称轴的位置，我们可以将闭区间分为三个部分：对称轴左侧、对称轴、对称轴右侧。

6.老师举例：例如，对于函数y=x^2-4x+3，我们首先要找到对称轴，对称轴的公式是x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得到对称轴x=2。

7.老师讲解：现在我们知道了对称轴的位置，接下来我们要判断函数在对称轴两侧的增减性。如果a>0，那么函数在对称轴左侧是递减的，在对称轴右侧是递增的；如果a<0，那么函数在对称轴左侧是递增的，在对称轴右侧是递减的。

8.老师举例：对于函数y=x^2-4x+3，a=1>0，所以函数在对称轴左侧是递减的，在对称轴右侧是递增的。

9.老师讲解：现在我们已经知道了函数在对称轴两侧的增减性，接下来我们要找到闭区间上的最值点。如果闭区间的左端点在对称轴左侧，那么最大值一定在闭区间的右端点；如果闭区间的右端点在对称轴右侧，那么最小值一定在闭区间的左端点；如果闭区间的左端点在对称轴右侧，那么最小值一定在闭区间的右端点；如果闭区间的右端点在对称轴左侧，那么最大值一定在闭区间的左端点。

10.老师举例：对于函数y=x^2-4x+3，闭区间的左端点是1，右端点是3，因为1在对称轴左侧，所以最大值一定在闭区间的右端点，即x=3时取得最大值。

三、课堂练习

1.老师提问：同学们，请完成以下练习题：

（1）对于函数y=x^2+2x-3，求闭区间[1,3]上的最大值和最小值。

（2）对于函数y=-x^2+4x+1，求闭区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2.学生独立完成练习题，老师巡视指导。

3.学生展示解题过程，老师点评并总结。

四、课堂小结

1.老师总结：今天我们学习了二次函数在闭区间上的最值问题，重点掌握了如何通过顶点坐标和对称轴判断函数的增减性，以及如何找到闭区间上的最值点。

2.老师提问：同学们，谁能告诉我二次函数在闭区间上的最值问题在实际生活中的应用？

3.学生回答：例如，在建筑设计中，可以通过二次函数的最值问题来优化设计，使得建筑物的结构更加合理。

4.老师总结：非常好，二次函数在闭区间上的最值问题在许多实际领域中都有广泛的应用。

五、课后作业

1.老师布置作业：请同学们完成以下作业题：

（1）对于函数y=2x^2-4x+1，求闭区间[-1,2]上的最大值和最小值。

（2）对于函数y=-3x^2+6x-1，求闭区间[0,3]上的最大值和最小值。

2.老师强调：请同学们认真完成作业，巩固今天所学知识。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-阅读材料一：《二次函数在经济学中的应用》

-内容摘要：本文介绍了二次函数在经济学中的实际应用，例如在需求函数和成本函数中的应用，以及如何通过二次函数分析市场的最优定价策略。

-阅读材料二：《二次函数在工程学中的应用》

-内容摘要：本文探讨了二次函数在工程学中的角色，特别是在结构设计和材料科学中的应用，如何利用二次函数的对称性和最值特性来优化设计。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以通过阅读拓展材料一，深入了解二次函数在经济学中的具体应用案例，如房价预测、产品需求分析等。

-学生可以结合教材中的实例，尝试自己设计二次函数模型来解决实际问题，如设计一个抛物线模型来描述跳高运动员的运动轨迹，分析其最佳起跳点和最高点。

-学生可以探究二次函数在物理中的角色，例如在抛体运动中，如何利用二次函数来描述物体的运动轨迹和速度变化。

-学生可以尝试将二次函数与其他数学工具相结合，如微积分，来研究函数的局部极值和全局极值，并探讨在实际问题中的意义。

-学生可以通过在线资源或图书馆查阅相关书籍，进一步了解二次函数在不同学科中的广泛应用。

3.实用性强的拓展活动建议

-组织学生参与数学建模比赛，要求他们使用二次函数解决实际问题，如城市交通流量优化、资源分配等。

-设立一个班级研究小组，让学生选择一个感兴趣的领域，如体育、艺术或教育，利用二次函数分析该领域的特定问题。

-安排学生进行小组讨论，探讨二次函数在不同学科中的应用，如物理学中的抛体运动、生物学中的种群增长等。板书设计①二次函数在闭区间上的最值

-二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)

-顶点坐标：(-b/2a,c-b^2/4a)

-对称轴：x=-b/2a

②最值点的判断

-当a>0时，函数开口向上

-闭区间左侧递减，右侧递增

-最大值出现在闭区间的右端点

-当a<0时，函数开口向下

-闭区间左侧递增，右侧递减

-最小值出现在闭区间的右端点

③求最值的方法

-计算顶点坐标

-判断顶点是否在闭区间内

-在内：直接计算顶点坐标对应的函数值

-不在内：比较闭区间端点处的函数值

④应用实例

-优化设计问题：如建筑设计、材料科学

-经济问题：如市场定价、成本分析

-物理学问题：如抛体运动轨迹分析教学评价1.课堂评价

-提问环节：通过随机提问学生关于二次函数在闭区间上最值的基本概念和应用，检验学生对知识的理解和掌握程度。

-观察学生参与度：注意学生在课堂讨论中的参与情况，观察是否能够积极思考、提出问题或与同伴合作。

-小组活动评价：在小组讨论和合作中，评估学生的沟通能力、协作精神和解决问题的能力。

-实时反馈：对于学生的回答，给予及时的正面反馈或纠正，帮助他们巩固正确概念和纠正错误。

2.作业评价

-作业批改：对学生的作业进行细致批改，包括计算准确性、解题步骤的完整性以及对概念的理解深度。

-点评与反馈：在作业上给出具体、建设性的评语，指出学生的优点和需要改进的地方。

-及时反馈：确保作业反馈在下一节课之前传达给学生，以便他们有时间根据反馈进行复习和调整。

-定期评估：通过定期的作业检查，评估学生对二次函数最值概念的长期掌握情况。

3.评价工具与方法

-形成性评价：通过课堂提问、小组讨论、课堂表现等方式，持续监控学生的学习进度。

-总结性评价：通过单元测试或期末考试，对学生在二次函数最值这一知识点的综合掌握情况进行评估。

-自我评价：鼓励学生进行自我反思，通过填写学习日志或自我评价表来监控自己的学习效果。

-同伴评价：引入同伴评价机制，让学生相互评价学习成果，培养批判性思维和沟通能力。典型例题讲解1.例题：求函数y=2x^2-8x+7在闭区间[1,4]上的最大值和最小值。

解答：首先，我们找到函数的顶点坐标。由于a=2，b=-8，c=7，顶点坐标为x=-b/2a=8/4=2。因为顶点x=2在闭区间[1,4]内，所以我们计算顶点处的函数值，即y(2)=2*2^2-8*2+7=8-16+7=-1。由于a>0，函数在[1,2]上递减，在[2,4]上递增。因此，最大值出现在闭区间的左端点x=1，最小值出现在顶点x=2。计算得到y(1)=2*1^2-8*1+7=1，所以最大值为1，最小值为-1。

2.例题：求函数y=-x^2+4x-3在闭区间[-2,3]上的最大值和最小值。

解答：同样，先找顶点坐标。a=-1，b=4，c=-3，顶点坐标为x=-b/2a=-4/(-2)=2。顶点x=2在闭区间[-2,3]内，计算y(2)=-2^2+4*2-3=-4+8-3=1。因为a<0，函数在[-2,2]上递增，在[2,3]上递减。所以最大值出现在顶点x=2，最小值出现在闭区间的右端点x=3。计算y(3)=-3^2+4*3-3=-9+12-3=0，所以最大值为1，最小值为0。

3.例题：求函数y=x^2-2x+1在闭区间[0,1]上的最大值和最小值。

解答：顶点坐标为x=-b/2a=2/2=1。因为顶点x=1在闭区间[0,1]内，计算y(1)=1^2-2*1+1=0。由于a>0，函数在[0,1]上递减，所以最大值出现在闭区间的左端点x=0，最小值出现在顶点x=1。计算y(0)=0^2-2*0+1=1，所以最大值为1，最小值为0。

4.例题：求函数y=-3x^2+6x+2在闭区间[-1,2]上的最大值和最小值。

解答：顶点坐标为x=-b/2a=6/(-6)=-1。因为顶点x=-1在闭区间[-1,2]内，计算y(-1)=-3*(-1)^2+6*(-1)+2=-3-6+2=-7。由于a<0，函数在[-1,1]上递增，在[1,2]上递减。所以最大值出现在顶点x=-1，最小值出现在闭区间的右端点x=2。计算y(2)=-3*2^2+6*2+2=-12+12+2=2，所以最大值为-7，最小值为2。

5.例题：求函数y=4x^2-16x+12在闭区间[2,4]上的最大值和最小值。

解答：顶点坐标为x=-b/2a=16/8=2。因为顶点x=2在闭区间[2,4]内，计算y(2)=4*2^2-16*2+12=16-32+12=-4。由于a>0，函数在[2,4]上递减，所以最大值出现在闭区间的左端点x=2，最小值出现在闭区间的右端点x=4。计算y(4)=4*4^2-16*4+12=64-64+12=12，所以最大值为12，最小值为-4。教学反思哎，今天这节课上下来，我有个小小的反思。咱们这节课是关于二次函数在闭区间上的最值问题，这个内容对学生来说比较抽象，但是我觉得整体效果还不错。

我注意到，学生在讨论对称轴和顶点的时候，反应挺快的，能迅速找出函数的增减性。但是，当涉及到如何判断最值点的时候，有些学生就显得有些迷茫了。