第一部分 预备知识

PAGE2-第一部分预备知识测量不确定度评定的本质测量不确定度评定是将测量结果或测量误差作为随机变量，研究分析其统计规律，并计算它的范围的一项活动。随机试验和随机变量在不变的条件下重复地进行多次试验，所观测到的结果具有很大的不确定程度，称为随机试验。生活中典型的随机试验：抛硬币、掷骰子、打靶。随机试验的结果量化，即为随机变量。随机变量有离散型的和连续型的。单个的随机变量是无规律的，大量的随机变量是有规律的——统计规律。抽样过程、测量过程都是随机试验从一批产品中抽取一定数量的样品进行检验，希望通过样品的检验结果来判定这批产品的质量，这是一个抽样过程。被抽样品是随机的，它的性质、参数也是随机的（即不可预先知道的），属随机变量。对一个工件进行多次重复测量，每一次的测量值都可能不相同，下一次测量值也不可预知，故测量也是随机试验，所得到的测量值属随机变量。概率，概率密度，概率密度函数4.1概率概率是在随机试验中出现的某一事件的可能性，如抛硬币试验，出现正面向上的可能性为50%，即概率为50%。人口普查时，10~15岁的少年占总人口的30%，即10~15岁少年出现的概率约为30%。在水泥混凝土质量检验中，强度值R从30Mpa到35Mpa的试件占全部试件的70%，即30~35Mpa试件出现的概率约为70%。对给定了置信区间或统计包含区间的概率称为置信概率或置信水平、置信系数，在工程界称为保证率。4.2概率密度概率密度可以简单的理解为：在随机试验中单位随机变量所出现的概率。例如：人口普查中，如果以1岁为一个年龄段的话，某一个年龄段（如22岁）的人所占的比例即为该年龄段的概率密度。在水泥混凝土质量检验中，若以0.1Mpa为单位，而32.1到32.2Mpa的试件占试件总数的2%，则可以说，在强度值为32.15这一点的水泥混凝土试件的概率密度为每0.1Mpa占2%。概率密度=变量在某个区间的概率/变量的间隔严格来说，变量的间隔应该是无穷小的，概率密度应是一个极限的值，为了便于理解，叙述时有意避开了无穷小量和极限的概念。4.3概率密度函数在一个随机试验中，概率密度不是一个恒定的值，对于每一个随机变量的值，都可能有一个不同的概率密度。例如：人口普查中，15岁的人和78岁的人的概率密度是不同的；在水泥混凝土质量检验中，28.1Mpa的试件和32.5Mpa的试件的概率密度也是不同的。概率密度和随机变量之间存在着某种函数关系，叫概率密度函数，也叫随机变量的分布函数（简称分布）。可以用一个数学式和一条曲线来表示。P=f（x）概率是概率密度函数某区间的定积分。P=概率密度是概率在随机变量某个点的导数。P=几种常见的分布在做测量不确定度评定时，需要应用几种常见的分布。对于这几种分布，只需要知道其图形及包含因子即可。JJF1059-1999附录B对各种分布应用情况作了说明。名称图形包含因子k概率(%)标准偏差σ标准不确定度u正态399.73a/3三角ROUND()ROUND(6)ROUND(6)100a/梯形(β=0.71)2100a/2矩形（均匀）100a/反正弦100a/两点1100a以上这些分布都是对称型的。在随机变量变化范围半宽a相等的情况下，从正态分布到两点分布，其中心处的高度（概率密度）逐渐降低。注：一般梯形分布k=β=b/a随机变量的特征值和特征值的估计量学习和应用测量不确定度知识时要有两个非常清楚的意识：=1\*GB3①单个随机变量是没有规律的，但是大量的随机变量的集合是有规律的——统计规律。反映随机变量统计规律的值——特征值；=2\*GB3②人们希望通过样本的统计特征值来反映总体的特征值，但是必须注意：样本的统计特征值只是总体特征值的近似估计，而不能完全代替。例如样本的平均值不等于总体的平均值，样本的合格率不能代替总体的合格率等等。抽样只能得到总体特征值的估计范围，而不能得到确定的值。6.1数学期望μ数学期望就是总体的平均值，是一个极限值μ。μ的样本估计量是样本的平均值,是μ的无偏估计。6.2方差表示测量结果相对于数学期望的分散程度。如果以各测量值与期望的差（残差）直接表示这种分散性，由于残差正负相消，残差的和为零，无法反映这种分散性，所以采用残差的平方和的形式，即方差。6.2.1总体方差σ（x）离散型变量的方差σ（x）=连续型变量的方差σ（x）=∫6.2.2样本方差s（x）s（x）=6.3标准偏差由于方差的量纲与测量值不同，因此常用方差的平方根，称为标准偏差。标准偏差也称标准差，由试验得到的标准（偏）差称为实验标准（偏）差。6.3.1总体标准偏差σ（x）σ（x）=6.3.2样本标准偏差s（x）s（x）=（贝塞尔公式）6.3.3相对标准偏差CvCv=在工程界相对标准偏差Cv称为变异系数6.3.4标准偏差的几何意义标准偏差是分布函数曲线横坐标的某个特定位置（随机变量的某个特征值）。标准偏差反映分布曲线起决定作用部分的宽度，反映随机变量的分散性。标准偏差越小，分布曲线越陡峭，随机变量的分散性越小：标准偏差越大，分布曲线越平缓，随机变量的分散性越大。6.4包含因子包含因子是标准偏差的倍数，当标准偏差乘以某个包含因子时，就意味着整个分布曲线下的面积（概率p=1）都被覆盖了（包含了），或者覆盖了大部分（如正态分布时k=3覆盖了99.73%,k=2覆盖了95.45%,k=1覆盖了68.27%）。包含因子也称覆盖因子、扩展因子。7正态分布7.1正态分布的情况=1\*GB3①无限多次独立重复测量的结果可以认为服从正态分布的规律=2\*GB3②有限次独立重复测量的算术平均值可以认为服从正态分布=3\*GB3③由很多相互独立大小相近的分量合成的量近似服从正态分布“独立”——一个事件出现的概率不影响另一个事件出现的概率。独立就是不相关。即：若则和相互独立7.2正态分布的函数f(x)=>0，-<μ<7.3正态分布的图形①关于μ为对称的倒扣钟形②f(μ)=③测量误差的正态分布曲线以0为中心，测量值的正态分布曲线以中心。7.4正态分布的标准偏差(x)=7.5正态分布的包含因子k=0.67p=50%k=1p=68.27%k=1.645p=90%k=1.960p=95%k=2p=95.45%k=2.576p=99%k=3p=99.73%8t分布t分布与正态分布曲线的图形相似，也称为近似正态分布。有限次重复测量结果服从t分布，从呈正态分布的总体中取子样的分布为t分布。不同的子样大小（抽样数量多少）对应不同的t分布。正态分布是t分布的极限情况（n→∞）。对t分布，包含因子kp与所覆盖的曲线面积（置信概率p）的关系，和正态分布相接近，但不相同，它与样本大小（n的数量或称自由度）有关，可以查t分布表得到。见附录A9极限定理及其应用在数理统计学中，对采用极限方法得出的一系列定理称为极限定理。极限定理一般可分为两类：9.1大数定理阐述在什么条件下，随机事件的概率接近于0或1。通俗地讲，这一类定理主要表明两个情况：①当n是一个很大的数时，n个随机变量的算术平均值几乎是一个常数；②当n是一个很大的数时，随机事件发生的频率接近于随机事件的概率。9.2中心极限定理阐述在什么条件下，随机变量的和服从正态分布。通俗地讲，这一类定理主要表明三个情况：当n很大时，n个相互独立的服从正态分布的随机变量的和近似服从正态分布；当n很大时，n个相互独立的任意分布的随机变量的和近似服从正态分布，条件是和的方差比输入量的任何一个方差都大得多；当n很大时，n个相互独立的任意分布的随机变量的平均值近似服从正态分布。n越大，以上情况就越接近正态分布；而若输入量越接近正态分布，则n就越可以小一些。中心极限定理的意义在于：它扩展了正态分布的适用范围。在客观世界中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，根据中心极限定理，这些随机变量都可以认为是近似服从正态分布的。在分析合成标准不确定度的分布时正是应用了中心极限定理。见附录B。10对表示排列顺序的脚标i.j.k的说明本教材中用k表示多次测量的次数顺序（次别），表示第k次测量值k=1.2……n；用j表示分组测量时，测量的组数顺序(组别)，表示第j组测量值j=1.2……m；用i表示随机变量的排列顺序（量别），表示第i个变量i=1.2……N如表示第i个变量第j组第k个测量值或第i个变量第j组第k个抽样值表示第j组测量的平均值,表示不分组测量的平均值表示第i个变量的平均值注意：①在JJF1059—1999中，脚标的使用并不是很规律；②k不作为脚标时，更多的是表示包含因子。附录At分布在不同置信概率P与自由度的值自由度P(%)68.27909595.459999.7311.846.3112.7113.9763.66235.8021.322.924.304.539.9219.2131.202.353.183.315.849.2241.142.132.782.874.606.6251.112.022.572.654.035.5161.091.942.452.523.714.9071.081.892.362.433.504.5381.071.862.312.373.364.2891.061.832.262.323.254.09101.051.812.232.283.173.96111.051.802.202.253.113.85121.041.782.182.233.053.76131.041.772.162.213.013.69141.041.762.142.202.983.64151.031.752.132.182.953.59201.031.722.092.132.853.42301.021.702.042.092.753.27501.011.682.012.052.683.161001.0051.6601.9842.0252.6263.0771.0001.6451.9602.0002.5763.000附录B概率分布情况的估计B.1正态分布重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；被测量Y用扩展不确定度UP给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值y的分布；被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中，相互独立的分量ui(y)较多，它们之间的大小也比较接近时，Y的分布；被测量Y的合成标准不确定度uc(y)中相互独立的分量ui(y)中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；被测量Y的合成标准不确定度uc(y)的相互独立的分量中，量值较大的分量（起决定作用的分量）接近正态分布时。B.2矩形（均匀）分布数据修约导致的不确定度；数字式测量仪器对示值量化（分辨力）导致的不确定度；测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；用上、下界给出的线膨胀系数；测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；平衡指示器调零不准导致的不确定度。B.3三角分布相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度；因分辨力引起两次测量结果之和或差的不确定度；用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；两相同均匀分布的合成。B.4反正弦分布（U形