《你知道吗？九章算术》教案（2课时）-2026-2027学年西南大学版（新教材）小学数学五年级上册

《你知道吗？九章算术》教案（2课时）-2026-2027学年西南大学版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析五年级学生已经完整学习多边形面积单元，熟练掌握长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，具备割补转化推导面积的活动经验，有一定几何直观与简单推理意识。学生平时较少接触古代数学典籍，对古文形式的数学表述存在阅读障碍，能够读懂白话文翻译，但对“广、从、圭田、以盈补虚”这类古代数学专有名词较为陌生。该学段学生好奇心强，愿意探究数学历史故事，能够通过小组交流、图文对照完成古今算法对比，但是不容易透过古文表象抓住背后转化的数学思想，需要教师依托教材文本搭建阶梯，降低古文理解难度，把古代算理和已经学过的多边形面积知识建立对应联系。二、教材分析本课是西南大学版2026秋季新教材小学数学五年级上册第六单元《多边形面积的计算》中的阅读拓展栏目《你知道吗？九章算术》。教材文本选取《九章算术》“方田章”相关内容，重点介绍古代对长方形、三角形、梯形田地的面积记载，出示“方田术”“圭田术”原文，引入刘徽“以盈补虚（出入相补）”的割补思想，配有教材专属示意图，把古代土地测量算法和本册多边形面积单元知识相互呼应。教材设置该栏目，不只是历史常识介绍，更是借助中华传统数学文化，再次巩固多边形面积算理，让学生理解割补转化思想从古至今一脉相承。本课安排2个课时，第一课时立足教材文本读懂典籍背景、长方形与三角形的古代算法；第二课时研读教材梯形相关古算内容，深度探究以盈补虚原理，完成古今算法对比梳理。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准2022版》，结合新教材要求确立本课核心素养目标。1.几何直观：读懂教材《九章算术》文本与配套示意图，看懂“以盈补虚”割补图示，能够把古代田地名称、古文术语对应到现代几何图形，借助图形理解古代面积算法。2.推理意识：对比古代算法与现代多边形面积公式，推理出古今算法内在逻辑一致性，理解割补转化是推导面积的通用思想。3.运算能力：能够使用教材给出的古算例题数据，分别用古代算法、现代公式完成计算，验证两种算法结果相同。4.文化意识：了解《九章算术》的历史地位，感受我国古代数学家的智慧，体会数学来源于土地测量的生产生活实际，建立中华优秀传统数学文化认同感。四、教学重难点教学重点：读懂教材《你知道吗？九章算术》课文内容，理解“方田术”“圭田术”古文含义，掌握古代长方形、三角形、梯形面积算法，建立古代算法和现代多边形面积公式的对应关系，理解以盈补虚的割补转化思想。

教学难点：读懂古文数学术语，理解“以盈补虚”的原理，体会古代推导面积的思维方式，打通古今算法之间的逻辑联系。五、教学过程第1课时认识《九章算术》，方田与圭田的算法（一）情境导入，引出教材阅读内容教师出示教材当中《你知道吗？九章算术》栏目配图，展示古籍书影图片。师：同学们，第六单元我们已经学习平行四边形、三角形、梯形的面积，大家回忆，我们推导这些图形面积的时候，最常用的是什么数学方法？

生：割补、转化，把陌生图形变成我们熟悉的长方形。

师：说得很好，把复杂图形转化成长方形，不是现代才有的方法。两千多年以前，我国古代数学家，在一本数学著作里面，就大量使用这样的思路来计算土地面积，这本著作就写在我们教材“你知道吗”栏目，它叫做《九章算术》。今天我们就一起来研读教材这一部分内容。教师请学生翻开教材对应页码，完整阅读《你知道吗？九章算术》全部课文文字。师：请大家默读教材课文，找一找，教材告诉我们《九章算术》是一本什么样的书？读完之后举手分享。

生：《九章算术》是我国古代重要的数学典籍，全书一共分为九章，其中第一章叫做方田章，专门用来解决田地面积计算问题。

师：教材课文写得很清楚，古代没有现代的平方米单位，古人丈量田地，使用“步”作为长度单位，计算出来的面积叫做“积步”，这是古代田地面积计量单位。【设计意图】依托教材文本开启课堂，唤醒学生已有的多边形面积转化经验，搭建古代数学与本单元新知的连接，让学生明确本节课就是研读教材阅读材料，确立课堂学习方向。（二）研读教材文本，学习方田术（长方形田地）教师把教材课文当中的古文片段投影展示：方田术曰：广从步数相乘得积步。师：教材课文给出这句古文，什么叫方田？请大家看一看教材的注释，哪位同学说一说？

生：教材写了，方田就是长方形的田地。

师：很好，“广”“从”是古代的两个词语，请大家结合教材课文的白话解读，猜一猜，广和从，分别对应长方形的什么？小组内简单交流。

生：广就是长方形的宽，从就是长方形的长。

师：没错，教材课文注释告诉我们，广代表田地的宽，从读作zòng，代表田地的长。“广从步数相乘得积步”翻译成现代语言，就是长方形田地的面积，等于宽乘长，得到的结果就是积步。教师出示教材当中的古算例题：今有田广十五步，从十六步，问为田几何？师：我们一起来解读这道教材上的原题，广十五步，就是宽15步，从十六步就是长16步，请同学们分别用古代方田术和现代长方形面积公式算一算，这块田地面积是多少积步。学生独立计算后汇报。生：15×16=教师板书对应关系：方田（长方形），广=宽，从=长，方田术：广×从=积步。【设计意图】逐句解读教材课文原始古文与注释，把古文名词翻译成学生熟悉的几何概念，借助教材原始例题计算，让学生直观看到古代算法和现代公式完全一致，降低古文阅读的心理障碍。（三）研读教材圭田术，探究三角形古代算法师：教材课文除了长方形田地，还介绍了三角形田地，古代把三角形田地叫做“圭田”，请同学们继续看教材课文，找一找圭田对应的算法原文。学生阅读教材文本，找出古文：圭田术曰：半广以乘正从。师：教材课文也附带了解读，什么是圭田？什么是广，什么是正从？请同学结合教材文字说一说你的理解。

生：圭田就是三角形田地，广指三角形的底，正从指三角形底边上的高。

师：“半广以乘正从”，半广是什么意思？

生：底的一半，用底除以2，再乘高。教师出示教材课文自带的古算题目：今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？师：我们把题目翻译过来，一块三角形田地，底12步，底边上的高21步，请大家先用圭田术的算法算一算，再用我们现代三角形面积公式计算，对比两次计算结果。学生独立演算后进行课堂交流。生：古代算法：(12÷2)×21=126积步；现代公式：12×21÷2=126学生观察教材插图。师：“盈”就是多余的部分，“虚”就是空缺的部分。以盈补虚，就是把图形多余的部分切割下来，填补到空缺位置，不改变图形总面积，把三角形转化成长方形。这就是我们现在说的割补法，也就是出入相补原理。我们把三角形沿着底边中点垂直剪开，把多出的三角形部分移到另一边，三角形就转化成长方形，长方形的宽就是原来三角形底的一半，高不变，长方形面积就是半广乘正从，对应圭田术算法。

师：大家想一想，我们课堂上推导三角形面积的时候，除了割补，我们还会用两个完全一样的三角形拼成平行四边形。古人用的是另外一条思路，割补变形，但是数学思想都是转化。【设计意图】完整依托教材原文、例题、插图展开教学，把古文算法拆解为学生可以理解的数学算式，结合教材配图讲清“以盈补虚”初步含义，建立古代算法与现代三角形面积推导的关联，落实几何直观与推理意识。（四）课堂梳理，搭建本课知识框架教师出示表格，师生共同梳理，表格内容来自教材课文提取信息。古代名称对应现代图形古文算法现代公式方田长方形广×从得积步长×宽圭田三角形半广以乘正从底×高÷2师：这一节课，我们研读教材《你知道吗？九章算术》，了解这本典籍，读懂方田术、圭田术，知道古人用“以盈补虚”割补图形，计算田地面积。下一节课，我们继续研读教材，学习梯形田地的古代算法，完整理解出入相补的数学思想。第2课时邪田箕田算法，深度理解以盈补虚（一）复习回顾，衔接教材内容师：上一节课，我们学习教材《你知道吗？九章算术》，谁来回顾，《九章算术》的“方田章”是用来解决什么问题的？方田、圭田分别对应什么图形？对应的古文算法是什么？

生：方田章用来计算各种田地面积，方田是长方形，圭田是三角形。方田术是广乘从，圭田术是半广以乘正从。

师：我们还认识了刘徽的“以盈补虚”，也就是割补转化，把未知图形转化成长方形。今天我们继续研读教材剩余内容，看一看古代数学家怎样计算梯形田地的面积。（二）研读教材邪田、箕田文本，解读梯形古算法师：教材课文当中，把直角梯形田地叫做邪田，普通等腰梯形田地叫做箕田。请大家阅读教材给出的古文记载：邪田术曰：并两邪而半之，以乘正从。师：请大家对照教材的白话注释，小组讨论，“并两邪”是什么意思？“半之”是什么意思？“正从”又代表什么？小组交流之后组织学生作答。生：“并两邪”就是把梯形两条平行的边相加，也就是上底加下底；半之就是取和的一半；正从就是梯形的高。

师：所以邪田也就是直角梯形，古代算法就是，(上底+下底)÷2×高。请大家回忆我们现代梯形面积计算公式是什么？

生：梯形面积等于(上底+下底)×高÷2。

师：对比两道算式，(上底+下底)÷2教师出示教材当中邪田古算习题：今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？师：翻译成现代数学题目，直角梯形，上底30步，下底42步，高64步，请同学们先用古代邪田术计算，再用现代梯形面积公式计算，核对结果。学生独立完成计算，汇报结果。生：(30+42)÷2×教师板书整理：邪田、箕田对应梯形；算法：(两底之和)÷2×高。【设计意图】继续深挖教材文本，把古代梯形算例作为课堂主要探究素材，通过计算验证古今算法的等价关系，进一步巩固多边形面积的运算能力，感受古代算法的严谨。（三）深度探究教材插图，完整理解以盈补虚（出入相补）原理师：教材课文反复提到刘徽的“以盈补虚”，前面三角形我们简单了解，梯形同样可以用这个割补的思路。请大家仔细观察教材配套的示意图，我们一起来说一说这个过程。师：以直角梯形邪田为例，图形一边高是垂直的，另一边是斜的。我们把梯形斜侧多出的三角形部分切割下来，填补到梯形空缺的一侧，整个梯形就被转化成一个长方形。转化之后长方形的长，正好是梯形上底与下底和的一半，长方形的宽就是梯形原来的高。图形切割移动，总面积大小不会发生改变。师：老师这里有一个问题，请大家思考，为什么古人要费尽心思，把三角形、梯形全部转化成长方形来计算面积？结合我们整个单元的学习谈一谈你的想法。

生：长方形的面积计算最简单，古人已经掌握长方形的算法，把别的图形变成长方形，就可以直接计算。

师：回答非常到位。不管是两千年前的古代数学家，还是我们现在课堂学习，转化思想都是多边形面积最重要的数学思想。古人在生产劳动丈量土地的实践当中，总结出整套算法，记录在《九章算术》，刘徽再用割补的方法给这些算法做证明，这就是教材这篇阅读材料想要传递给我们的核心内容。师：请大家再次完整通读教材《你知道吗？九章算术》整篇课文，从头到尾阅读，把课文里面的重点名词：方田、圭田、邪田、箕田、广、从、正从、以盈补虚，在课本上面圈画标记。学生通读全文，标记教材文本重点词句。【设计意图】回归教材插图，完整解读出入相补原理，引导学生跳出单纯记忆古文，上升到理解数学思想，把整篇阅读材料的逻辑闭环完成，落实文化意识与推理意识。（四）古今算法系统对比，构建单元知识联结教师出示汇总表格，师生共同完善，表格素材全部来源于教材课文。古代田地名称对应现代图形古文算法现代数学公式方田长方形广×从得积步S圭田三角形半广以乘正从S邪田、箕田梯形并两邪而半之，以乘正从S师：观察表格，大家有什么发现？

生：古代的算法，和我们现在多边形面积公式，本质上完全相同，只是用词不一样。

师：《九章算术》“方田章”全部算法，都来源于土地测量的真实生活，古人面对田地，要算面积、算赋税，于是总结出一套算法。教材把这篇阅读设置在多边形面积单元，就是告诉我们，我们今天学习的面积知识，是从古代劳动实践一步步传承发展而来。六、课堂小结本节课我们依托教材《你知道