第13章全等三角形专题训练三全等三角形的基本模型练习

同学们在学习全等三角形的过程中，除了要熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）外，更重要的是能够在复杂的几何图形中快速识别出全等三角形的基本模型。这些模型是解决全等三角形相关证明与计算问题的“利器”，它们能帮助我们迅速找到解题的突破口，明确证题思路。本章专题训练，我们将聚焦于全等三角形的几种基本模型，通过对其特征的分析和典型例题的演练，帮助同学们深化理解，提升解题能力。一、平移型全等三角形平移型全等三角形是指两个三角形可以通过其中一个三角形沿某一方向平移得到另一个三角形。模型特征：两个全等三角形的对应边平行（或在同一条直线上），对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。图形中常隐含着一组或多组平行线，从而可以利用平行线的性质（如同位角相等、内错角相等）来寻找全等条件中的对应角相等。例题解析：已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。分析：观察图形，AB与DE平行且相等，点B、E、C、F共线，BE=CF。我们可以发现，△ABC可以看作是△DEF沿BC方向平移得到的。要证△ABC≌△DEF，已知AB=DE（一组边相等）。由AB∥DE，根据平行线的性质可得∠B=∠DEF（同位角相等）。接下来只需再证一组边相等或一组角相等即可。已知BE=CF，因为B、E、C、F在同一直线上，所以BE+EC=CF+EC，即BC=EF。这样，我们就有了“边角边”（SAS）的全等条件。证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。解题策略：对于平移型全等，关键是抓住“平行”和“相等线段”这两个核心要素，利用平移的性质找出对应边和对应角，进而选择合适的判定方法。二、翻折（对称）型全等三角形翻折型全等三角形通常是指一个三角形沿某一条直线翻折后与另一个三角形完全重合，这条直线即为对称轴，两个三角形关于对称轴对称。模型特征：此类模型中，两个全等三角形的对应点关于某条直线对称，对应边相等，对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线。图形中常存在公共边或公共角，这是翻折的重要标志。例题解析：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线。求证：△ABD≌△ACD。分析：题目中AB=AC，AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD。AD是△ABD和△ACD的公共边。如果将△ABD沿AD所在直线翻折，会与△ACD完全重合，因此这是一个典型的翻折对称型全等。我们可以利用“SAS”或“SSS”来证明。证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SAS）。解题策略：翻折型全等的关键是找到对称轴（角平分线、中垂线等），公共边或公共角往往是重要的全等条件。要善于识别图形的对称性，从而快速定位对应元素。三、旋转型全等三角形旋转型全等三角形是指一个三角形绕着某一个固定点旋转一定的角度后与另一个三角形完全重合。模型特征：两个全等三角形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。图形中常出现对顶角、公共角等相等的角，以及通过旋转得到的相等线段和相等角。“手拉手”模型是旋转型全等中非常典型的一种。例题解析：已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形。求证：AN=BM。分析：观察图形，△ACM和△CBN都是等边三角形，所以AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°。我们可以发现，将△ACN绕点C顺时针旋转60°后，能够与△MCB重合。因此，∠ACN=∠ACM+∠MCN=60°+∠MCN，∠MCB=∠BCN+∠MCN=60°+∠MCN，所以∠ACN=∠MCB。这样就构成了“SAS”的全等条件。证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°。∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，即∠ACN=∠MCB。在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，CN=CB，∴△ACN≌△MCB（SAS）。∴AN=BM（全等三角形的对应边相等）。解题策略：解决旋转型全等问题，要注意寻找旋转中心和旋转角，利用旋转的性质得到相等的边和角。关注图形中是否存在等边三角形、等腰直角三角形等特殊图形，这些图形往往是旋转型全等的“温床”。四、一线三垂直（K型）全等三角形“一线三垂直”模型是一种特殊的垂直条件下的全等模型，通常指在一条直线上有三个垂足，形成三个直角，从而构造出两个全等的直角三角形。模型特征：一条直线上有三个点A、B、C，过A、C分别作这条直线的垂线，垂足为A、C，过B点作另一条直线的垂线，分别交前两条垂线于D、E两点，若AB=BC（或其他对应边相等的条件），则△ABD≌△BCE。此模型在平面直角坐标系中或与代数知识结合时应用广泛。例题解析：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。求证：DE=AD+BE。分析：题目中∠ACB=90°，AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°。由此可得∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，所以∠DAC=∠BCE。又因为AC=BC，所以可以利用“AAS”证明△ADC≌△CEB。从而AD=CE，DC=EB，所以DE=DC+CE=EB+AD，即DE=AD+BE。证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°。∴∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°。∴∠DAC=∠BCE（同角的余角相等）。在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）。∴AD=CE，DC=EB（全等三角形的对应边相等）。∵DE=DC+CE，∴DE=EB+AD，即DE=AD+BE。解题策略：“一线三垂直”模型的核心是利用“同角的余角相等”来寻找相等的锐角，再结合已知的直角和相等的斜边（或直角边）来证明全等。要善于从复杂图形中剥离出这个基本模型。五、综合应用与解题策略掌握了这些基本模型后，在解决更复杂的几何问题时，关键在于能否从复杂图形中准确识别或构造出这些基本模型。1.仔细观察，辨认模型：拿到题目后，不要急于动笔，先仔细观察图形，看看是否存在我们学过的基本模型的影子。注意图形中的特殊角、特殊线段关系（平行、垂直、相等）。2.寻找对应，联想判定：一旦识别出模型，就要根据模型的特征，快速寻找对应的边和角，联想全等三角形的判定定理，看还需要什么条件才能证明全等。3.构造辅助线，补全模型：如果图形不完整，无法直接辨认出模型，可以尝试通过添加辅助线（如作平行线、垂线、延长线等）来补全或构造出基本模型。4.灵活转化，举一反三：很多复杂问题是基本模型的组合或变形，要学会将复杂问题分解为若干个基本模型，或者将非标准模型转化为标准模型来处理。温馨提示：全等三角形的证明是几何入门的重点和难点，需要同学们在平时的