电路分析与应用基础课件 第3章 动态电路的时域分析

第3章动态电路的时域分析3.1电容元件与电感元件电容实物3.1.1电容元件一、符号与定义1.定义

储存电能的二端元件。任何时刻其储存的电荷q与其两端的电压u能用q～u平面上的一条曲线来描述。uq库伏特性oq(t)=C

u(t)C单位：法拉，法，F线性时不变电容2.quo线性电容的库伏特性

任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成正比。q

u

特性曲线是过原点的直线。电容量：符号：C库伏特性为一条过原点的直线二、线性时不变电容的电压电流关系（VCR）C+u–iq(t)=C

u(t)++++----+q-qu电容电流等于电容电荷的变化率u、i

取关联参考方向2.i(t)取决于u(t)在t时刻的变化率；1、电容的伏安关系是微积分关系；3.若u和i参考方向不一致，含义4、u(t)取决于i(t)从到t的积分，电容电压与电流过去历史有关，说明电容电压有记忆。5、或者说u(t)取决于初始值u(t0)和t0到t的电压增量。例1已知u(t)如图所示，求i(t)及波形。t(s)1

1012340-1：1-3：3-4：u(t)t(s)1

102134i(t)解：按时间分段计算：1Fu(t)+_i(t)三、电容电压的连续性质与记忆性质1.连续性

电流为有限值时，电压是时间的连续函数。即电容电压不能突变。2.记忆性

u(t0)对

t<t0

的电容电流有着记忆作用。3、隔直作用

当u为直流（常数）时：C相当于开路!四、电容的储能——电容在t时刻存储的电场能——从t1到t2电容储能的变化量WC(t)电容储能的特点：（1）WC只与电容电压有关，而与电流无关；（2）（3）电容只储存能量，而不消耗能量。电容是储能元件。五、电容的串并联1.电容并联i2i1u+-C1C2iiu+-Ceq等效等效电容112.电容串联iu+-Cu1uC2C1u2+++--i等效等效电容3.1.2电感元件电感实物i(t)+-u(t)一、电感元件构成及原理

把金属导线绕在一骨架上，构成实际电感线圈。当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。磁通感应电压：磁链：线圈匝数

储存磁能的两端元件。任何时刻，其特性可用

～i平面上的一条曲线来描述。称为韦安特性曲线。二、电感元件的定义与符号i

韦安特性o1.定义

(t)=L

i(t)L单位：亨利，亨，H线性时不变电感2.

io线性电感的韦安特性

任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链

成正比。~i特性为过原点的直线。电感系数：L符号：韦安特性为过原点的直线三、线性时不变电感的电压电流关系（VCR）L+u–i

(t)=L

i(t)u、i

取关联参考方向分析：（1）u取决于i的变化率，而非

i本身；（2）i

取决于

u从–到

t时刻的积分，不取决于当前时刻的电压值本身；（3）u为有限值时，i是时间的连续函数，不能突变；（4）存在u=0,i

0及

u0,i=0的情况。

四、电感电流的连续性质与记忆性质1.连续性

电压为有限值时，电流是时间的连续函数。即电感电流不能突变。2.记忆性

i(t0)对

t<t0

的电感电压有着记忆作用。3.对直流相当于短路当i为直流（常数）时：L相当于短路五、电感的储能——电感在t时刻存储的磁场能——从t1到t2电感储能的变化量WL(t)电感储能的特点：（1）WL只与电感电流有关，而与电压无关；（2）（3）电感只储存能量，而不消耗能量。电感是储能元件。20六、电感的串并联1.电感串联u1uL2L1u2+++--iLiu+-等效等效电感等效212.电感并联L2u+-L1i2i1iu+-L等效电感3.2动态电路的初始条件含有动态元件电容或电感的电路称动态电路。一、动态电路动态电路的特点：

(1)动态电路的电路变量一般为时间的函数

(2)动态电路具有记忆性暂态过程：电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程，也称过渡过程。暂态过程产生的原因电路含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间才能完成。例10ti无暂态过程电阻电路+-usR1R2（t=0）ii=0,uC=Usi=0,uC=0

k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有暂态过程例2k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-二、换路定则1.换路的概念支路接入或断开电路参数变化

换路：电路由于电源接入或断开，元件参数或电路结构突然改变。若电路在t=0时刻发生换路，则换路前后哪些量不会发生改变？若电路在t=0时刻发生换路，则换路定则1：若电路在t=0时刻发生换路，且换路时电容电流为有限值，则有换路定则2：若电路在t=0时刻发生换路，且换路时电感电压为有限值，则有0时刻的初始条件——

x(0+)：2.换路定则3.计算初始条件的步骤电容：iC=0——开路；电感：uL=0——短路。(1)由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；(2)由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。(3)画0+等效电路。(4)由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。注意：直流稳态时（t=0-

，

t→∞

）已知t<0时电路已达稳态，t=0时开关打开，求uC(0+

),i1(0+

),i2(0+)。例3(1)求状态变量uC(0–)直流稳态：电容：iC=0——开路电感：uL=0——短路∴uC(0–)=10/(20+30)x30=6V解uC(0–)=6V(2)换路定则求uC(0+)uC(0+)=uC(0–)=6V(3)画换路后的电路，求其余变量i1(0+)与i2(0+)i1(0+)=(10-6)/20=0.2Ai2(0+)=0A例4

已知t<0时电路已处于稳态，t=0时开关闭合，求i1(0+

),iL(0+

),uL(0+

)。(1)状态变量iL(0–)iL(0–)=2A(2)换路定律iL(0+)iL(0+)=iL(0–)=2A(3)其余变量i1(0+)与uL(0+)i1(0+)=10A,

uL(0+)=–8V解3.3一阶动态电路引言1.一阶电路可以用一阶微分方程来描述的电路叫一阶电路只含一个具有独立的初始状态的动态元件的电路NCNLNC1C2L1L2N(N中不含动态元件）可以用二阶微分方程来描述的电路叫二阶电路。用三阶以上微分方程来描述的电路统称为高阶电路。2.二阶电路、高阶电路3.零状态响应、零输入响应、全响应

电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。电路中各动态元件的初始状态为零时，即动态元件无初始储能，仅在外施激励作用下产生的响应为零状态响应。电路中动态元件的初始状态不为零，同时又存在外施激励，产生的响应为全响应。3.3.1一阶动态电路全响应的经典解法一、一阶RC电路已知：uC(0–)=U0,t=0时开关闭合，求：

uC(t)，i(t)，t

0。

以电容电压uC(t)为变量，列出开关闭合后电路的KVL方程1.全响应的求解uC(t)的全响应是由其初始值uC(0+)=U0沿指数规律变化到稳态值uC(∞)=Us的过程。

其解为代入初始条件求得画出uC(t)波形图电压uC(t)、电流i(t)随时间按同一指数规律变化画出i(t)波形图变化的快慢取决于指数中RC乘积的大小,具有时间的量纲一阶RC电路的时间常数(单位：s)

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短2.暂态过程的分析（以Us>U0为例）特解(强制分量)通解(自由分量)稳态分量瞬态分量a)b)tuC(t)OUSU0稳态分量U0

US瞬态分量暂态过程就是由瞬态分量的变化体现出来的瞬态分量t=0时t=τ时t=2τ时t0τ2τ3τ4τ5τ6τ10.3680.1350.0500.0180.0070.0025工程上认为,经过3

－5

,

暂态过程结束。二、一阶RL电路Is为直流源，假设电感初始流iL(0-)=I0,t=0时刻开关S从1切换到2，求iL(t),u(t),t≥0

列写开关动作后电路的KCL方程求解该一阶微分方程，并代入初始条件，得到

一阶RL电路电压、电流的全响应也是由各自的初始值沿指数规律变化到稳态值的过程。变化快慢取决于表达式指数中的L/R

一阶RL电路的时间常数（单位：s）3.3.2一阶动态电路全响应的三要素法一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解的一般形式为：特解一.三要素用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解直流激励时，特解：A三要素二.三要素法

直流激励下，对于渐近稳定的一阶电路，各支路的电压或电流的全响应都是从其初始值按指数规律变化到（上升或下降到）其稳态值。变量的初始值x(0+)、稳态值x()

和电路的时间常数

称为变量的三要素。根据待求变量的三要素可直接写出其全响应：三.三要素的求取(1)初始值x(0+)：根据计算初始条件的步骤确定(2)稳态值x()

根据稳态电路的特征确定（直流电路：在换路后的电路中将电容开路，电感短路）(3)时间常数

NCe.g.含电容电路N0Req

=ReqC

N0为N对应的无源网络一个电路只有一个时间常数！四.三要素法求解一阶电路全响应的步骤:1.画

t=0-时的等效电路，求

uC(0

),iL(0

)；3.

画

t=∞时的等效电路，求

x(∞)；4.画

t＞0时N0网络，求

Req，计算τ；5.代入三要素公式。2.画

t=0+时的等效电路，求

x(0+)；

换路定律：uC(0+

)=uC(0

)；iL(0+

)=iL(0

)

先求

Req

,=ReqC，

直流电路：电容开路，电感短路元件

L、C的等效电路：元件t=0+t=0-

，∞CLIoIo+-UoUo+-t=0+条件零初始非零初始直流稳态例1已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670+-3FuC1A2

1

例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：三要素公式+iL+–20V0.5H5

5

–10Vi2i1例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－124

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12零状态响应以RC电路为例零输入响应U0零状态响应

t

234OuCUS零输入响应

3.3.3全响应的分解一、零输入响应

电路在没有外施激励的条件下，仅由电路中动态元件的初始储能引起的响应。电容电压、电流的零输入响应是从初始状态uC(0+)、i(0+)开始，按照指数规律衰减到0的过程衰减速度受时间常数τ控制t0i(t)i

(0+)1.RC电路

=RC

大→暂态过程时间长

小→暂态过程时间短电压初值一定时：R大（C一定时）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R一定时）W=Cu2/2储能大物理含义时间常数

的大小反映了电路暂态过程时间的长短τ:

电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认为,经过3

－5

,

过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

说明电阻吸收总能量：电容释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕能量关系：2.RL电路iL(0+)=I0

R+u–LiLI0tiL(t)O

0.368I0tOu

(t)–RI0电感电流、电压的零输入响应是从初始状态iL(0+)、u(0+)开始，按照指数规律衰减到0的过程衰减速度受时间常数τ控制例1

换路前已达稳态,求uC

(t),i1(t),t

0。并画曲线解=RC=4x100·10-6=4x10-4(s)tOuC/V18tOi1/A3二、零状态响应电路中各动态元件的初始状态为零时，即动态元件无初始储能，仅在外施激励作用下产生的响应。1.RC电路uC(0–)=0ACUSR+uC–BiSUStuC(t)OtOi(t)电容电压的零状态响应是从0开始，按照指数规律上升到uC(∞)的过程电路中其他变量从该变量的初始值按指数规律变化到该变量的稳态值2.RL电路LISR+u–iLiL(0+)=0IStiL(t)OtOu(t)RIS电感电流的零状态响应是从0开始，按照指数规律上升到iL(∞)的过程电路中其他变量从该变量的初始值按指数规律变化到该变量的稳态值例2t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解为RL电路。先化简电路，有：t>0iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq①一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。②零输入线性：若线性电路的所有初始值均同比例增大或缩小，则零输入响应也同比例地增大或缩小。一阶电路零输入响应：同一电路中所有响应具有相同的时间常数：①uC(t)或iL(t)从初始零值按指数规律上升到稳态值②电路中其他变量从该变量的初始值按指数规律变化到该变量的稳态值；③零状态线性：若线性动态电路中所有激励都同比例增大或缩小，则零状态响应也同比例增大或缩小。一阶电路零状态响应：

=ReqC

=GeqL三、线性动态电路的叠加性线性动态电路中任一支路的电压或电流的完全响应都等于零输入响应与零状态响应之和。完全响应=零输入响应+零状态响应说明：

(1)

适用于任意线性动态电路，不局限于一阶，也不局限于直流激励；

(2)提供了求解电路全响应的又一种方法；

(3)是线性电路叠加定理在动态电路中的一种特殊体现。3.3.4阶跃响应一.单位阶跃函数延迟的单位阶跃函数作用：(1)起始函数（电源接入）(2)

合成信号二.阶跃响应

当激励为单位阶跃函数ε(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。只要令US=ε(t)就能得到。例如，一阶RC电路中，电容电压零状态响应为将电源替换为US=ε(t)，得到电容电压的单位阶跃响应若单位阶跃函数不是在t=0，而是在t0时刻加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，即延迟时间t0即可。对于一阶RC电路，若激励为US=ε(t-t0)，单位阶跃响应为若激励为uS=Kε(t)（K为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应扩大K倍。对于一阶RC电路，此时电容电压为例电路如图，已知电容的初始状态为0，电源us为图示的矩形脉冲，求矩形脉冲作用下的电容电压。解电源us可表示为

由于电容的初始状态为零，因此此题求解的是零状态响应。根据零状态线性性质，us作用下电路的零状态响应可以看做两部分电源分别作用的叠加。Aε(t)作用下

-Aε(t-t0)作用下

电容电压为3.4二阶动态电路一、什么是二阶电路？1.由二阶微分方程描述其变量的电路；2.含有两个具有独立初始状态的动态元件的电路。3.二阶电路的分析方法

经典法——依据两类约束，列解二阶微分方程；4.二阶电路响应的特点指数函数的叠加、正弦振荡等仅讨论RLC串联电路3.4.1RLC串联电路的零输入响应t=0已知uC(0–)=U0，

i(0–)=0，求：uC(t),i(t),t0+

uC–CL常系数齐次线性二阶微分方程列出KVL方程：Ri特征方程为特征根（固有频率）零输入响应方程为令δ—衰减系数

0—谐振(角)频率

2.>0

时，为不相等的负实数。过阻尼(非振荡)情况。讨论：

1.时，为共轭虚数。无阻尼(等幅振荡)情况。

4.>0

时，为共轭复数。欠阻尼(衰减振荡)情况。

3.=0

时，为两个相等的负实数。临界阻尼(非振荡)情况。1.当R=0时，p为两个共轭虚根：K1=U0K2=0

p=

j

0代初始条件：uC(0+)=U0uC'(0+)=0得：i+

uC–CL+uL–i+

uC–CL+uL–TU0

U0Im

ImuC(t)Oti(t)OtT说明：R=0，uC是不衰减的等幅振荡；（无阻尼）能量在电感和电容间来回交换记2.当

>0

时，p为两个不相等的负实根：代初始条件：uC(0+)=U0uC'(0+)=0得：K1K2tOuC(t)U0K'–K'tOi(t)Ri+

uC–CL+uL–+uR–uC(0–)=U0i(0–)=0意义：电容始终放电,uC单调下降，iL(t)＜0，属非振荡。p2<p1<0,t0,t0K