2025-2026学年上海市奉贤区八年级（上）期中数学试卷(含解析)

2025-2026学年上海市奉贤区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）1．下列各数是无理数的是（）A． B． C． D．22．下列说法正确的是（）A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是3．下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．关于的一元二次方程经过配方后的方程是（）A． B． C． D．5．若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（）A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数6．如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点所表示的数是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是．8．一元二次方程的根是．9．化简：．10．写出一个在3和4之间的无理数：．11．已知，且，则．12．如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是．（只需写一个）13．如果等式成立，那么应满足的条件是．14．已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是．15．方程的两个根的积是．16．如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是．17．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数的值为．18．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．已知关于的方程是常数）是“差1方程”，则的值为．三、简答题：（本大题共8题，19-23每题6分，24题8分，25-26每题10分，满分58分）19．计算：．20．计算：．21．解方程：．22．解方程时，小海同学解答如下：解：原方程中，，，．第一步．第二步，第三步即或．第四步所以，原方程的根是，．第五步（1）上述解题过程从第步开始出现错误？（2）请写出完整的正确解题过程．23．【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”．【完成任务】（1）如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简；（2）用“二次根式的因式分解法”化简（其中、．24．已知关于的一元二次方程．（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．25．数学小组开展了判定等边三角形的探究活动探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形．数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程；如图1，已知：在△中，，是边上的高，且是边上的中线．求证：△是等边三角形．探究（2）：如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形．如图2是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明．26．阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．请根据上述材料解决以下问题：（1）用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为（用含的代数式表示）；（2）用几何方法求解关于的方程，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值．

参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列各数是无理数的是（）A． B． C． D．2解：、是有理数，不符合题意；、是有理数，不符合题意；、是无理数，符合题意，、2是有理数，不符合题意，故选：．2．下列说法正确的是（）A．9的算术平方根是 B．9的算术平方根是3 C．3的算术平方根是9 D．的算术平方根是解：、9的算术平方根是3，不是，选项说法错误，不符合题意；、9的算术平方根是3，选项说法正确，符合题意；、3的算术平方根是，不是9，选项说法错误，不符合题意；、是负数，没有算术平方根，选项说法错误，不符合题意．故选：．3．下列计算正确的是（）A． B． C． D．解：，错误，不符合题意；，错误，不符合题意；，，，正确，符合题意；，错误，不符合题意；故选．4．关于的一元二次方程经过配方后的方程是（）A． B． C． D．解：原方程移项得．两边加4得，即．与选项对比，正确．故答案为：．5．若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（）A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数解：当时，代入方程得，当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误，符合题意；时，方程化为，有一个根为0，正确，不符合题意；时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确，不符合题意；时，两根之积为，两根互为倒数，正确，不符合题意；故选：．6．如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点所表示的数是（）A． B． C． D．解：设点所表示的数为，点与点关于点对称，点是线段的中点．，解得．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是．解：由题意得，，解得，，故答案为：．8．一元二次方程的根是，．解：由题意得，，，或，解得，，故答案为：，．9．化简：．解：根据二次根式的性质进行化简可得：．故答案为：．10．写出一个在3和4之间的无理数：（答案不唯一）．解：在3和4之间的无理数可以是，故答案为：（答案不唯一）．11．已知，且，则．解：，，若，，故答案为．12．如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是（答案不唯一）．（只需写一个）解：，不含有根号，这个二次根式可以是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．13．如果等式成立，那么应满足的条件是．解：根据题意可知，，又等式即，当且仅当时，成立，因此，应满足的条件是．故答案为：．14．已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是．解：关于的方程没有实数根，，解得：，故答案为：．15．方程的两个根的积是．解：将原方程移项得：，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为．故答案为：．16．如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是．解：由条件可知二次项系数，解得，故答案为：．17．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数的值为．解：由题意得方程，利用公式法解方程可得：或（舍，故答案为：．18．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．已知关于的方程是常数）是“差1方程”，则的值为或0．解：设方程的两个根为，，由题意，得：，，，，解得：或，故答案为：或0．三、简答题：（本大题共8题，19-23每题6分，24题8分，25-26每题10分，满分58分）19．计算：．解：原式．20．计算：．解：原式．21．解方程：．解：，，，或，解得：，．22．解方程时，小海同学解答如下：解：原方程中，，，．第一步．第二步，第三步即或．第四步所以，原方程的根是，．第五步（1）上述解题过程从第一步开始出现错误？（2）请写出完整的正确解题过程．解：（1）原方程没有变形为一般形式就进行求解，解题过程从第一步开始出现错误；故答案为：一；（2），原方程可变形为：，，，，△，，，．23．【阅读】除了用分母有理化，我们还可以这样化简，我们把这样的化简方法叫作“二次根式的因式分解法”．【完成任务】（1）如果二次根式能用“二次根式的因式分解法”化简，请写出一个的值，并将用“二次根式的因式分解法”进行化简；（2）用“二次根式的因式分解法”化简（其中、．解：（1）原式；（2）原式．24．已知关于的一元二次方程．（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．解：（1）根据题意得△，解得；（2）根据题意得：，，，即，整理得，解得，，，．25．数学小组开展了判定等边三角形的探究活动探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形．数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程；如图1，已知：在△中，，是边上的高，且是边上的中线．求证：△是等边三角形．探究（2）：如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形．如图2是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明．【解答】（1）证明：在△中，，是边上的高，且是边上的中线，，，在△和△中，，△△．．，△是等边三角形；（2）解：已知：在△中，，是腰上的高，是底边上的高，且，求证：△是等边三角形．证明：在△中，，是腰上的高，是底边上的高，，，且，，，△是等边三角形．26．阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．请根据上述材料解决以下问题：（1）用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为（用含的代数式表示）；（2）用几何方法求解关于的方程，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值．解：（1）解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造