指数【七大题型】-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题4.1指数【七大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型1根式与分数指数塞的互化】.............................................................2

【题型2根式的化简求值】......................................................................3

【题型3指数幕的运算】........................................................................5

【题型4指数基的化简、求值】..................................................................6

【题型5指数式的给条件求值何题】.............................................................6

【题型6指数鼎等式及呆的方程问题】...........................................................10

【题型7指数累等式的证明】...................................................................11

A举一反三

【知识点1根式与分数指数幕】

1.根式

(i)〃次方根的定义与性质

定义一般地，如果/=〃，那么x叫做。的〃次方根，其中n>\,且〃£N*

(1)当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根

是一个负数，这时，。的〃次方根用符号近表示；

(2)当〃为偶数时，正数。的〃次方根有两个，这两个数互为相反

性质

数，记为±五；

(3)负数没有偶次方根；

(4)0的任何次方根都是0,记作</0=0

(2)根式的定义与性质

定义式子孤叫做根式，〃叫做根指数，〃叫做被开方数

([(〃为奇数)(遍)"=a(〃wN♦，且月>1)

性质同(〃为偶数)’

2.分数指数基

整数指数累指数分数指数累

塞中

正整数指数'幕：

的指正数的正分数指数辕：

数从m

a-a.......a(/?eN*)(T=>0,〃八〃GN*,〃>1)

n冷整数

负整数指数暴：拓展正数的负分数指数累：

到了

-丝]1

有理an=—=(a>0,w,/7GN*,n>1

〃-"=N*）

数

规定：0的。次方没有意义；规定：0的正分数指数幕等于0:0的负分

非零整数的（）次方都等于1数指数冢没有意义

注：分数指数塞是指数概念的又一推广，分数指数累是根式的一种新的写法，不可理解为蔡个

相乘.在这样的规定下，根式与分数指数累是表示相同意义的量：只是形式不同而已.

【题型1根式与分数指数第的互化】

【例1】（23・24高二下•四川南充期末）将会=（a>0）表示成分数指数凝，其结果是（）

5

A.02B.

C.加D.az

【解题思路】利用指数基的运算性质化简可得结果.

【解答过程】7^==上7=

■问“+|广

故选：c.

【变式皿】（24-25高一上•全国,课后作业）化简需了（其中心。，^>0）的结果是（）

2a

A.

3b

16

C.D.

81a4b481a4b4

【解题思路】运用指数哥的运算性质公式化简即可.

8、士8323X316

【解答过程】____13——_________—_______

道》3(27a3b3)3(3ab)3x*81a4b4

故选：C.

化简Ja-=()

【变式i-2]（23-24高一上•全国・单元测试）

31127

A.Q；B.aSC.a^2D.«28

【解题思路】由根式与有理数指数幕的关系及指数塞运算，化简为指数幕形式即可.

由Ja•y/a2-y[a—[a-(a2•Va)^]^—aZ•(a2••u•a*—a记.

【解答过程】

故选：c.

【变式1-3］（23-24高一・全国•课后作业）下列根式、分数指数哥的互化中，正确的是（）

A.-Vx=（-x）-2（XHO）B.X-3=Vx

c-（犷=府（盯H。）D,=（y<0）

【解题思路】利用分数指数察与根式的互化公式逐个判断即可.

【解答过程】A中，一6=T；3H0）,故A错误；

B中，x3=3^»故B错误;

C中，G）4=W=<）,（到工。），故C正确;

D中，次=（一、放（y<0）,故D错误.

故选：C.

【题型2根式的化简求值】

【例2】（23-24高一上・贵州贵阳•阶段练习）若abvO,则化简aR+b的结果是（）

A.-IB.0C.1D.2

【解题思路】先化简得出aR+b6=（谕+粉产尤然后根据已知范围，即可得出答案.

【解答过程】aR+bR=a.+b

二热中+卷中=（3+蒜广正

因为ab<0,

所以a,b异号，a\b\+\a\b=0,

所以上+2=也比处=（）,

小小lallbllallbl

所以，a+bj—,=0.

故选:B.

【变式2-1］（23-24高一上•新强乌鲁木齐•阶段练习）把代数式（a-l）・底中的移到根号内，那么

这个代数式等于（）

A.—V1—aB.Va—1C.y/1—aD.—Va—1

【解题思路】首先根据二次根式的性质得出-^->0,进而求出a的取值范闱，然后确定a-1的正负情况,

l-a

再将a-1移入根号内即可.

【解答过程】v^->0,BP1-a>0,.%a-1<0,

l-a

••・(。_1).后=_(1_。)奈=7(1一知焦7(1一必±=一L^.

故选：A.

【变式2-2](23-24高一上•江苏连云港•期中)下列各式正确的是()

A.4=〃-8)2B.7(3-K)2=3-IT

C.=|a|(n>l,nEN*)D.(Va)n=a(n>l,nEN')

[解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误.

【解答过程】口二一2,1(-8)2=.=/=2,故A错误；

^/(3—H)2=|3-ii|=n-3,故B错误；

•・F>N",・•・当九为奇数时，府二Q；当九为偶数时，/=|a|,故C错误；

(Va)n=a(n>l,n6N")成立，故D正确.

故选：D.

【变式2-3](23-24高一上•全国,课后作业)化简(1一a)柒鼻的结果是()

A.Va^iB.-Va^lC.D.

【解题思路】先分析a的取值范闱，再进行根式化简.

【解答过程】由题意得，a-l>0,BPa>l,

所以(1—a)/5=-J”])“高=

故选：B.

【知识点2指数嘉的运算】

1.有理数指数幕的运算

(1)规定了分数指数基的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数塞的运算性

质对于有理数指数幕也同样适用，即对于任意有理数入S,均有下面的运算性质：

①qZs=，+s(4>0,rj£Q);

②")、=出$3>0,r,s£Q)；

③("尸。夕(。>02>0,£Q).

(2)指数塞的几个常用结论：

①当a>0时，aA>0；

②当时0时，。。=1,而当〃=0时，a°无意义；

③若4r=。'(a>0,且/1),则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数累.

2.无理数指数幕及实数指数幕

(1)无理数指数哥

一般地，无理数指数暴。“3乂)”是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数事(2())中指数x

的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数塞的运算性质：

整数指数幕的运算性质也适用于实数指数累，区别只有指数的取值范围不同.

整数指数募底数、指数实数指数赛底数、指数

的运算性质的取值范围的运算性质的取值范围

/«,/?ez,”eRar-as=ar+sR,且«>0

(优')(，尸n£RJBLa>0

(ab)“=a"b"〃WZe£R,b£R(ab)r=arbrreR,且a>[\b>()

3.指数塞运算的一般原则

(1)指数基的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数基相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【题型3指数暮的运算】

【例3】(24-25高一上•全国•随堂练习)下列运算结果中，正确的是()

A.a2-a3=a5B.(—a2)3=(—a3)2C.(Va—1)°=1D.(—a2)4=a6

【解题思路】根据指数的运算性质即可逐一判断.

【解答过程】对于A,a2-a3=as,故A正确，

对于B,(-a2)3=(-l)3(a2)3=-(a2)3,故B错误,

对于C,当aHl时，才有(乃一1)°=1,故C错误，

对于D,(-a2)4=(_1)4(a2)4=a8t故D错误,

故选:A.

【变式3-1](23-24高二下•浙江,期末)若m满足22m=4律，则根的值为()

A.1B.2C.-1D.0

【解题思路】将两边底数化为同样，得到22m=228刃=22妨+\对应相等，得出方程，解方程即可.

【解答过程】22m=4产，得22m=22(产)=222%】，得2m=22m+l,得m=2/71+1,解得m=-1.

故选：c.

【变式3-2]（24-25高一上•全国,课后作业）对于Q>0,匕>0,以下运算正确的是（）

A.ar-as=arsB.（ar）s=ars

C.Q）r=arbrD.arbs=（ab）r+s

【解题思路】根据幕的运算法则判断即可.

【解答过程】由落的运算法则，同底数秤相乘，底数不变，指数相加，故A错误：

某的乘方，底数不变，指数相乘，故B正确；

商的乘方等于乘方的商，B[jQ）r=arb-r=故C错误；

不是同底数的鼎相乘，不能进行指数相加，即W（ab）r+）故D错误.

故选:B.

【变式3-3]（23-24高一上.上海嘉定.期末）己知2%=3,2、=5,贝的值（）

A.9+V5B.yC.6V5D.975

【解题思路】根据指数的运算性质即可求得.

【解答过程】因为2》=3,2、=5,所以2?x+号=22X•2z=（2X）2•（2与：=32x5i=975.

故选：D.

【题型4指数幕的化简、求值】

【例4】（23-24高一・上海•课堂例题）化简下列各式：

【解题思路】（I）（2）根据分数指数塞的运算性质化简求解即可.

【解答过程】（I）（。3+百）"6（其中Q>0）

_c（3+V3）（3-）/3）

4d3b2

（其中Q>0,b>0）

【变式4-1]（23-24高一上•重庆永川•期中）分别计算下面两题

（空心一】）*2-*a~i-b^

（1）化简：—

7abs

2

（2）化简求值（梯了x（^）-0'5-V4-2V3+鼻

【解题思路】利用根式转化为分数指数基，以及分数指数累的运算方法，即可化简;

【解答过程】（1）原式=）啊"'=«444.=a-1=1；

a6-b6a

（2）原式=[（邪[（『J^+2+K

=（1）晨（犷-（8-1）+2+代

=^x9-V3+l+2+V3=7.

【变式4-2]（23-24高一・上海•课堂例题）化简下列各式（其中a>0,/）>0）：

（2高利-6Q浦）

——―Z：

3a6b6

/[―\2+^3厂

（2）（Q2-、%）.b2-^.

【解题思路】（1）（2）利用有理数指数箱的运算性质求解即匕.

>i

【解答过程】

2111

-1203+2b2+3

二r-5

3a6b6

75

—12Q石匕6

=15

3而3,

=-4a；

(2)(a2-6b)2+°(其中°>0,b>0)

=C(2-V3)(2+V3)^2+V3.b2-yf3

=ab4.

_3

【变式4-3](23-24高一上.山西临汾.期中)⑴计算不可一6尸+(乔xa)6；

(2)化简曝温+言「V9(a>0).

【解题思路】(1)由指数幕的运算规则化简计算；

(2)由分数指数幕与根式的关系和指数幕的运算规则化简计算

二

666

【解答过程】(1)-Q)"+(V3xV2)=-4-32XI-F(V3)x(>/2)=41；

(2)JaWa-3+VVa-8-Va^=(加0一之丫+(。三成了=加+a-1=加.

【题型5指数式的给条件求值问题】

【例5】(23-24高一上•辽宁丹东•期中)已知正实数a满足£一口w=1.

⑴求a+a-i的值；

(2)求金芸的值.

a2+a-2

【解题思路】(1)将近一a~2=1两边平方得Q+=3.

(2)根据平方关系可得最+a*=花，进而结合立方差公式运算求解.

【解答过程】⑴将温-=1两边平方得a+a-】-2=1,

所以Q+。-1=3.

(2)因为a是正实数，令£+a+=xQ>0),

则/=a+a-1+2=5,所以x=V5,

--1

可得成—a~z=(Q5—a2)(Q+1+a)=4,

所以其5=々=竽.

az+a-2衣5

【变式5-1](23-24高一上•四川乐山・期中)解答以下两个小题：

_3

⑴求停好+X如X谆的值；

(2)若Q+QT=3,求6?+。-4的值.

【解题思路】(1)根据根式与指数基的转化，及指数呆的运算比简即可;

(2)运用完全平方公式计算即可.

【解答过程】⑴得)一“+：遮乂近万xg

=(|)4]4+|x3lxQyxl2l=(|)-3+1X3^X35X24X(3X4)I

=(-V+-x31x35x2-iX3^x25=-+-x3扛3/x244=+1=-.

(2)由Q+QT=3,得(Q+QT)2=9,即02+Q-2+2=9,

则有a?+a~2=7,得(M+a~2Y=49,即a4+a-4+2=49,

所以小+。-4=47.

【变式5.2】(23-24高一上•江苏无锡・期中)(1)计算：(3-'——2尸_(习]x诉+(-3)。.

(2)若Q+QT=3,求下列式子的值：

①位-a~2

②2+a4

【解题思路】(1)利用分数指数尿与根式的关系化简求值即可；

(2)①：由(标一=a+aT—2求解：

②：由(凝+。-5)=a+a-1+2,结合隐含的条件a>0即可求解.

【解答过程】(1)原式=4：-2(2-V3)-x84-1=2-4+2V3-2V3+1=-1；

(2)①：(成—=a+a-1-2=3—2=1,所以成一。一5=±1；

②：(Q£+Q-5)=a+a-1+2=34-2=5,由题意知Q>0,所以成+。一2二遍.

【变式5-3](23-24高一上•浙江,课后作业)(1)已知％=。-3+6-2,化简/二五*

、221£2122

(2)设加+匕彳=4,X=Q+3Q动彳，y=8+3a动石，求(％+y)§+(%—y*的值.

【解题思路】(1)由已知得％-。-3=匕-2,结合指数运算法则化简；

(2)令加=力，反=B,结合因式分解可得力+y=(4+8)3,x-y=(A-fi)3,则(％+y)5+(X—y)§=

2(〃+勿)，结合已知即可求值.

【解答过程】(1)由x=a-3+夕2,得力_k3二夕2,

V%2—2a~3x+a~6=\!(x—a-3)2=V(Z?-2)2=亦

(2)令就=A,=B,则

X=A3+3AB2,y=B3+3A2B,

x^y=A3+3AB2+3A2B+炉=(A+,

x-y=A3+3A32-3A2B-B3=(A-B)3.

A(x+y)3+(%-y)5=(A+8)2+(4-B)2=2(A2+”)=2(J+向=8.

【题型6指数塞等式及塞的方程问题】

[例6](24-25高一上•全国•课后作业)方程3年一】=前勺解是()

A.-V2B.-yC.V2D.y

【解题思路】先将方程化为同底数哥的形式后，再求解即可.

【解答过程】由3、麻-1=£得3应XT=3-2,

所以—1=—2,V2x=—1,

解得x=-日.

故选：B.

【变式6-1](23-24高一・江苏•课后作业)方程4%-2'-2=0的解为()

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】设亡=2工>0,转化为求一元二次方程的正实数根，先求出t的值，进而得出方程的解.

【解答过程】设亡=2、>0.即转化为求方程M-t-2=0的正实数根由/一七一2=0得t=2或亡=一1(舍)

所以t=2X=2,则％=1

故选：B.

【变式6-2](23-24高一上•浙江台州•开学考试)若%>1,y>0,且满足xy=仪，^=%3^,则x+y的值

为()

A.1B,2C-D.3

【解题思路】由已知可得解得y=%再代I可已知等式求出刈可得x+y的值.

【解答过程】由%y="y,=x3y,得•1=%y•/匕即/=/匕解得>=£

把y=：代入xy=%，，得3%=翥，即％=24，两边平方得/=4%,由x>1得3=4,

则无+y=4+：=g.

故选：c.

【变式6・3】（2024高一.全国・专题练习）方程5XT-1O3X=8X的解集是（）

A.{1,41B.尚C.{1$D,{4.1}

【解题思路】根据题意，先把103X转化为53X.23X,且8*=23巴然后再化简求值即可.

【解答过程】原方程可化为：5"1,53X.23X=23X,即54Al=1,解得：%=；.

4

故选：B.

【题型7指数塞等式的证明】

zoxmn

【例7】（2024高一•全国•专题练习）已知。＞0且（2a）m=a,（3a）m=2a,求证：=2n.

【解题思路】根据题意，由群二千=2,得到（|广=2,即可得到证明.

【解答过程】证明：＞0且a土1,（2a）m=a,（3a）m=2a,

・（3a）m_2a_./3\m_

__-2,-2?,

【变式7-1】（2024高一•全国・专题练习）已知理吗需王^=容求证：3炉+2=2/.

【解题思路】由幽嘤笋生=/，化为2|剂项+2-m2=2+3总两边平方整理利用完全平方公式即

可得出.

_渔

【解答过程】