2026人教版九年级数学上册 第1课时 几何问题 教案

2026新教材人教版九年级上册数学25.3第1课时几何问题教案

课题25.3实际问题与一课型新授课

元二次方程（课时

1几何问题）

课时1课时（45分钟）教材版本人教版

授课对象九年级学生授课时间年月

EI

教学方法情境教学法、探究教学用具多媒体课件

法、讲练结合法

一、核心素养目标

1.数学抽象

从矩形面积、围栏问题等实际情境中抽象出一元二次方程模型

理解几何问题中边长、周长、面积的代数关系

2.逻辑推理

通过审题画图一设元一列方程一解方程一检验作答的完整推理链解决问题

能辨析方程两根的几何实际意义，正确处理舍根问题

3.数学建模

掌握一元二次方程解几何问题的五步法

能针对同一问题探索多种设元方法，体会不同建模路径的优劣

4.数学运算

熟练运用因式分解法或公式法解一元二次方程

准确进行几何量的代入检验，合理取舍

二、教学重点与难点

教学重点：

1.掌握列一元二次方程解几何问题的基本步骤（审一设一列一解一验）

2.能根据矩形周长、面积关系建立一元二次方程

3.合理检验并舍去不符合实际意义的根

教学难点：

1.从几何图形中准确找出等量关系列方程

2.靠墙围栏问题中边长约束条件的处理

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3.理解两根的几何意义一一两根可能对应同一图形（长宽互换）

三、教学过程

环节一：情境导入（3-5分钟）

【教师活动】前面我们已经熟练掌握一元二次方程的解法，今天开始学习一

元二次方程在生活中的实际应用。生活中围菜园、修小路等都可以用一元二次方

程解决，本节课我们系统梳理几何类实际问题的解题思路。

【互动提问】同学们回忆一下，列方程解应用题的步骤是什么？一元二次方

程有哪些解法？

【学生活动】回顾旧知：（1）审一设一列一解一验一答；（2）因式分解法、公

式法、配方法。

【过渡语】今天我们把一元二次方程和几何图形结合起来，解决生活中的实

际问题。先看例lo

环节二：新知探究——列一元二次方程解几何问题（20-25分钟）

知识点一：列一元二次方程解几何问题的基本步骤

【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样

的三角形有多少个？

【思路分析】设三边长分别为n,n+1,n+2（n为正整数），则最长边为斜

边n+2o

【列方程】由勾股定理：n2+(n+1)2=(n+2)2

n2+(n+1)2=(n+2)2

【解方程】展开得n2+n2+2n+1=n:+4n+4,整理得n2-2n-3

=0o

n2-2n-3=0

【因式分解】因式分解：（n-3）（n+l）=0,解得n尸3,n尸-1（舍去）。

(n-3)(n+1)=0

【答案】当n=3时，三边长为3,4,5o只有一个这样的三角形。

【例2】用一根长为40nl的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如

果能围成，这样的矩形是否唯一？

【思路分析】设用形的一边长为x%则另一边长为（20-x）m（周长为40m,

半周长为20m）。

【列方程】由面积关系：x（20-x）=96

x(20-x)=96

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【解方程】整理得20x-x2=96,即x2-20x+96=0。

x2-20x+96=0

【因式分解】因式分解：（x-8）（x-12）-0?解得Xi-8,x『12°

（x-8）（x-12）二0

【答案】能围成。当x=8时，矩形为8mxi2m；当x=12时，矩形为

12mX8m0这两个矩形只是长和宽互换位置，形状大小完全相同，只能围成一种

符合条件的矩形。

【思考辨析】两根的几何意义

【互动提问】方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

【学生活动】讨论后回答：不能，二者只是长和宽互换位置，形状大小完全

相同，只能围成一种符合条件的矩形。

""口理解要点：在一元二次方程解几何问题中，茯个正根可能对应同一个图形的

不同方向摆放（长宽互换），实际意义是同一个几何图形，不是两个不同的图形。

【归纳总结】基本步骤（五步法）

①审题画图：标出图形边长、已知长度、面积

②合理设元：优先设较短边、统一单位

③找准等量：利用周长、边长、面积关系列一元二次方程

④正确解方程：优先因式分解法，其次公式法

⑤检验作答：舍去负根、不符合实际长度的根，辨析两根实际意义，规范写

答案

~~口重点强调：检验环节不可省略！必须检验：（1）根是否为负数f舍去；（2）结

果是否超出几何边界（如墙长）一舍去；（3）两根是否代表同一图形-＞辨析说明。

知识点二：同一问题的多种设元方法

对于例2,设矩形两邻边长的方法有多种，下面比较三种方法的各自特点:

方法设元方式方程特点

方法一设一边长为X,另一边为x(20-x)=96-*x2最贴合周氏的已知条件，

20-x（利用半周长关系）20x+96=0思路最直接，整式方程计

算门槛低，是最通用的基

础方法。

方法二设两边长分别为x和x+y=20,x/=96-*化为逻辑上双向利用了周长、

y,由周长和面积建立方x2-20x+96=0面积两个条件，列方程的

程组路径灵活。

方法三设两边长分别为（10+d）(10+d)(10-d)=96-*方程可直接用平方差公式

和（10-d）（利用平均数100-d2=96-*d2=展开，消去一次项，计算

设元）4量最小，求解最快，技巧

性强。

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□判断技巧：三种方法各有适用场景：方法一最基础通用，适合所有矩形问

题；方法二适合条件分散时有方程组思想；方法三适合周长已知且为偶数时，计算

最快但技巧性强。建议优先掌握方法一。

环节三：巩固练习（10-15分钟）

【练习1］靠墙围栏问题

【题目】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房

墙，另外三边用251n长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留

一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？

12m

/1m

【学生活动】在练习本上独立完成，同桌互查。

【教师巡堂指导】关注学生设元是否正确，检验环节是否到位。

【板书讲解】设电形猪舍垂直于住房墙的一边长为Xm,则平行于住房墙的

一边长为（25-2x+l）mo

由题意得:x（25-2x+l）=80

2

整理得x（26-2x;=80,即2x2,26x+80=0,x-13x+40=0

因式分解：（x-5;（x-8）=0,解得XF5,X2=8

当x=5时，平行墙边长=26-2X5=16>12（舍去）

当x=8时、平行墙边长二26-2X8=10<12

答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m。

解题关键：靠墙问题必须检验平行于墙的边长是否超过墙的最大长度。

仃易错提示：解题关键：靠墙问题必须检验平行于墙的边长是否超过墙的最大

长度。

【练习2］水渠宽度问题

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【题目】如图，在一块长为92nh宽为60m的矩形耕地卜.校三条水渠，水渠

的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为8851n2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

【学生活动】在练习本上独立完成，同桌互查。

【教师巡堂指导】关注学生设元是否正确，检验环节是否到位。

【板书讲解】设水渠宽为xm,将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的

矩形，长为(92-2x)m,宽为(60-x)m0

由题意得:(92-2x)(60-x)=6X885

整理得(92-2x)(60-x)=5310

展开：5520-92x-120x+2x2=5310

2x2-212x+210=0,即x2-106x+105=0

因式分解：(xT05)(xT)=0,解得Xi=105,x^l

XF105明显不符合实际情况(远大于耕地宽度60m),应舍去。

答：水渠应挖1m宽。

解题技巧：利用I图形经过移动，它的面积大小不会改变」的性质，把纵、横水

渠移动到边上，使列方程更容易。

~~口易错提示：解题技巧：利用「图形经过移动，它的面积大小不会改变」的性

质，把纵、横水渠移动到边上，使列方程更容易。________________________________

环节四：课堂练习(870分钟)

A组•基础巩固

1.如图，某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形。为便于管

理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小

道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意可列方程为(C)o

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A.35X20-35x-20x+2x2=600

B.35X20-35x-2X20x=600

C.(35-2x)(20-x)=600

D.(35-x)(20-2x)=600

【答案】C

【解析】将小道平移到边上，剩余种植区域为长方形，长为(35-2x),宽为

(20-x)o

2.客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出

发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船若同时起航，并同时到

达折线A-B-C上的某点E处，已知AB二B0200海里，ZABC=90°,客轮速度是货

轮速度的2倍。两船相遇之处E点(D)o

A.在线段AB上

B.在线段BC上

C.在线段AC上

D.可在线段AB上，也可以在线段BC上

【答案】D

【解析】建立坐标系，设货轮速度为v,客轮速度为2v,通过距离关系列方

程可得E点有两个可能位置。

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A

D

CB

客轮货轮航行路线图

3.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正

方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3,求

铁板的长和宽。

【答案】铁板的长50cm,宽25cm。

【解析】设铁板的宽为xcm,则长为2xcmo截去四角后，盒子的底面长为

(2x-10)cm,宽为(x-10)cm,高为5cm。由容积公式：5(2xT0)(x-10)=3000,

整理得2x2-30x-500=0,(x-25)(x+10)=0,解得x=25(x=T0舍去)°宽

25cm,长50cmo

环节五：课堂小结(2-3分钟)

【教师引导】今天我们学习了一元二次方程在几何问题中的应用，请同学们

回顾：基本步骤是什么？有哪些典型题型？需要注意哪些检验要点？

【课堂互动】学生回答，教师补充完善板书。

【教师总结】一元二次方程解儿何问题的核心在于：从图形中准确提取等量

关系，用代数语言转化为方程，再通过解方程和合理检验得到符合实际的几何答

案。

♦典型类型：

矩形面积问题

围栏边框问题

小路宽度问题

♦基本步骤(五步法)：

①审题画图：标出图形边长、己知长度、面积

②合理设元：优先设较短边、统一单位

③找准等量：利用周长、边长、面积关系列一元二次方程

④正确解方程：优先因式分解法，其次公式法

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