提优点8 数列中的放缩问题-2026年高考数学二轮复习

提优点8数列中的放缩问题

【知识拓展】

1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏

难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.

2.通项放缩常见结论

(1)>=—

〃(〃+1)n〃+1

⑵2/=:1(〃22)；

〃n—nn~1n

⑶J=❷-1〃+1)(心2)；

1

(4)2=/2<Lt一厂2〃+1]

ir4〃—1

1_加11一%22)；

〃L，川L（）

rzit•-1r

+，^<1+1+1X2+2X3

1

+・・・+<3；

(〃一1)n

12

⑺<n—1+〃)(〃22)；

〃+n二+L(-

22〃+尸-

⑻>〃+〃+1)；

〃+n〃+

12222

<

(9)1,

〃+nn~十2〃-1+2/7+1

2"I

2(-2n-l+2/1+1)；

2"2n2”

(10),<

(2”一1)2(2M-1)(2〃-1)(2"—1)(2°一2)

2G=1।(心2);

(2ZJ—1)(2H-l—1)—I2"一1

(11)=<

n3nn2(〃-1)n(〃+l)

〃+1—〃一11

(〃一1)n(/7+1)〃+1-n~1

(〃—1)〃n("+1)_•1

〃+1-n~1

i_i]ri_i'

n—1〃+l「"+1+nn—1〃+L(〃22)；

2n

122

(12)=<

n3/,〃+nn2n〃-1+(〃-1)n

22(n-n~1)22....

==—(〃22)；

(/?—])n(〃+/?-1)(/;—1)nn—1n

111222

(13)=<==一•

：H-1(1+1)W-1C2+CA+C^-1〃(〃+l)n〃+l'

12'「i11

(14)<=-(〃22).

2〃-1(2n-1-l)(2〃-1)2〃「一12〃一1

【类型突破】

类型一先求和再放缩证明不等式

I核心归纳

对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.

例1(2024・沈阳模拟)已知数列｛%｝满足m+2a2+・・・+砌尸(〃-1)•2村+2.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

⑵设।+I，证明力1+岳+…+瓦<?.

anan3

(1)解由题意可知，当〃=1时，41=2；

当时，由Qi+2a2+…+，〃〃=(〃一I)。“”+2得，

=rt

a\+2s+…+(〃一\)an-\(n-2)*2+2,

n

两式作差可得,1>2〃”一(〃-2>2"=m2",an=2f

S=2也适合该式,故〃〃=2".

(2)证明由题意知儿=[+>；+；,

unClnN—

p-JkJ

4

故61+62H------\-btl=+

,1.1

1-1~

24

=1-1+1-1X1=4-[2n+3X4nJ,

2“334”3

由于〃£N*,贝广+1>0,

2〃3X4"

故;」2〃+3X4〃k，

33

A

即用+岳+…+b〃v.

3

规律方法此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用函数

的单调性放缩.

S〃

训练1(2024・鹰潭模拟)设£为数列｛斯｝的前〃项和，己知1〃(〃+1)j是首项为:、

公差为;的等差数列.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

Q)令b〃=7；为数列协〃｝的前〃项积，证明：〃・6〃一】.

3〃

S”

(1)解因为(〃+l)i是首项为;、公差为;的等差数列，

故S"=，%—1)=〃+1

n(〃+1)2336

....n(2〃+1)(〃+1)

即S〃=〃(〃+1)=$

.厂n(2/7-1)(〃一1)

当时，Sn-\=

,,°n(2/1+1)(〃+l)n(2/?—1>(H—1)

拔Sr〃一S“_i=a“=—

66

_n(2/r+3〃+1—2tr+3〃-1)

6

当〃=1时，s=S=3X2=],符合上式,

6

2

故an=n.

(2〃+l)("+l)

⑵证明由a=n\S,,=

n6

(2/z—1)a_6(2〃-1)Ja_6(2z?—1)n

故b=n

nSn〃(2〃+1)(〃+1)(2〃+1)(〃+1)

6X1X16X3X2

则T=b\br-b=

nn3X25X3

6X5X36(2n-l)n6”

7X4(2〃+l)(〃+1)—(2〃+l)(〃+l)'

因为(2〃+l)(〃+l)23X2=6,

故

6

类型二先放缩通项再求和证明不等式

I核心归纳

若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.

例2(2024•丽水调研)设数列｛飙｝的前〃项和为S〃，f/i=l,2S〃=/+〃(〃£N").

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)设数列｛儿｝的前〃项和为。，且b〃=1，求人9；

(3)证明：1+1+1+…+1>9.

2al2a22a32(199

(1)解因为2*=/+*①

当〃22时，2*」=(〃-1)2+〃一1,②

所以①一②得到2〃〃=话+〃一(〃-1)2—(〃-1)=2%,即即=〃，

又。1=1,湎足=所以。〃=〃.

⑵解因为为=/=J=〃+L〃，

a,t+\〃+〃+1

所以私=bi+岳+…+为9=2—1+3—2+…+100-99=100~1=9.

(3)证明因为r=」>,1,=〃+1—〃，

2an2n〃+1+〃

所以।+1+…+1=1+1+…+1>2-1+3-2+…+

2m2。22。992122299

100-99=100-1=9,

即1+1+1+…+1>9.

2al22。32。99

规律方法此类题型关键是如何放缩数列的通项，需要熟悉常见的放缩技巧及结

论.

4

训练2已知数列｛斯｝满足m=4,当〃22时，an-4an-i=-.

n("-1)

(I)求数列｛〃”｝的通项公式；

⑵已知数列儿=〃飙一1,证明：!+,+~+/<：.

b\02bn9

(1)解当〃22时，a—Aan-\=—,

nn(7?—1)

两边同除4”后得7>=卜L

4242,

4342—23,

所以

aa-\_1.1

nnI9

印4厂।n—1n

上述等式累加得知一1=-1+L

4"/?

即4〃L所以斯=4

4〃nn

又〃=1时，0=4满足m=4,

n

故斯=4"(〃WN)

n

n

⑵证明由bn=na,—\=^—\,

所以儿=44厂1-1=3邛-1+4”-1一123・41,

所以

b„34门

3〃—''/?i-3<9，

当心2时，中+…+1<(+卜卜・・・+4力

blblbn3

3—I99

4

1114

综上，对任意的〃£N*,+i+-+<

b\Z)2bn9

类型三通项放缩与求值

I核心归纳

(1)通项放缩确定新数列；

(2)先放缩再求和式子的应用.

例3己知各项均为正数的数列｛m｝的前〃项和为S”且为，S〃,>为等差数列.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

2

(2)若〃?为正整数，记集合卜T一2+如"外的元素个数为品，求数列｛儿｝的前50

项和人0.

解(1)由已知得2S〃="〃+曷，

当〃=1时，有s=l,

当〃22时，有2S〃_i=a〃_i+晶_i,

2an=裙—an-1+—an-\,

(斯-a”_i)(斯+。〃_1)=原+。〃_|,

aw+aw_i>0,

••ClnCtn—V1»

，数列｛。〃｝为等差数列，・・.〃〃=〃.

(2)由“"+2・加，得〃?一m2-m2—4,显然bi=0,bi=\.

2a,,

当〃?23时，m——4W1=(〃?—1)2<m2­4=〃?>5

易证2m—1<m+m2—4<2/w,

12m—1,b〃1=2m—1,

从而｛儿｝的前50项和

八0=0+1+(5+7+・・・+99)=1+48义1°4=2497.

2

规律方法1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式；

2.先放缩再求和式子的应用，应注意考虑所得式子的性质.

训练3(2024・合肥质检)已知7；为正项数列｛〃〃｝的前〃项的乘积，且m=3,n=

必。

(1)求数列｛为｝的通项公式；

a

(2)设bn=~\数列｛儿｝的前〃项和为S〃,求旨2024](田表示不超过x的最大整数).

解(1)当〃22时，看=感+|,看」=。kI,

相除得忌=编：

・•・数列｛1｝是常数列，m=3,

1

.•・。n"=3,斯=3〃.

⑵乩=33〃一+「1一3〃2+广一J2

[1-,21[1-/1

：.Sn=[3]+lJ+132+1J+…+

[YLD+…+3：L,

小刈

14-1>/?-1,

T3〃

工2023Vs2024<2024,故[S2024]=2023.

【精准强化练】

1.记％为正项数列｛小｝的前」项积,且0=1,42=2,5+2=21+1.

(1)求数列｛访｝的通项公式;

(2)证明：71+八+…+

TiTAT2n3

⑴解由〃。心―27储可得，〃+2—2〃+I,即a*—2。用，

Tn+1TtJ

又因为ai=2a\f

所以｛〃〃｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以。“=02厂|=2〃一].

(2)证明^-'=1=2

Tinain4"

所以，++…+乙"=2C+4[+…+；J=2XJ4'

T1ATin,1