人教A版高一数学暑假预习：函数的奇偶性及函数性质综合（练）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

3.3函数的奇偶性及函数性质综合

【题型解读】

函数的奇偶性及函数性质综合

【题型一函数奇偶性的判断】

1.〔2022•河北・武安市第一中学高一期末）判断下列函数的奇偶性:

(1)/(A)=(A+1)

-x23+2x+l,x>0

(2)/(x)一

x2+2x-l,x<0

⑶f(x)=^E；

2.12022•广东中山市月考）（多选）下列函数中是偶函数，且在（Lxo）为增函数的是（）

A.f(x)=\x\B.f(x)=x2-2x-3

-x+l,.v<0

2/U)=

C.f(x)=lx-\x\-\D.x+U>0

3.（2022・山东・济南一中期中）判断下列函数的奇偶性:

丫3_21

⑴〃幻二不卜”又下⑶/O7M/*）=叱2„

4.（2022•安徽宣城市•高一期末）已知函数三，求

（1）函数/（x）的定义域；

（2）判断函数/⑴的奇偶性.

5.（2022•广西高一期末）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）

x2+l,x<0

A.=B./（x）=«0,x=O

-x"->0

c.f[x）=\-xD./（x）=--

【题型二利用函数奇偶性求值、参数】

1.12022•云南弥勒市一中高一月考）若函数/（力=（42）（X+叫为偶函数，则加=,

2.12022•浙江高一期末）已知“X）是定义在R上的奇函数，且当不4（）时,，f（x）=x2+3x+\-a,M

〃2）=（）

A.-1B.-2

C.1D.2

3.(2022.湖北十堰高一期末)已知函数/(土/+法/⑷为偶函数，则/⑸的值为.

4.(2022•河北石家庄期中)若定义域为［2。-10,3勾的函数〃刈=5丁+%〔勿+1是偶函数，则。=

,b=.

5.(2022•广西高一期末)已知"x)是定义在R上的奇函数，且当时，/("=/+依+々—］,则

/(-0=.

6.(2022•山东济南中学高一期末)若/(幻=如、版+3〃+〃是偶函数，且定义域为［。-1,加］,则。=

,b=

【题型三函数奇偶性求解析式】

1.12022•山西•怀仁市第一中学校月考)已知/(R)是定义在R上的偶函数，且当R<0时，

/(x)=2x-3,则当x〉O时,/(x)=.

2.12022•湖北襄阳五中高一月考)已知函数y=/(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2—于+3.

则/(x)在R上的表达式为.

3.(2022•北京大兴•高一期末)已知/(x)是定义在〃上的奇函数，xNO时，/(x)=f+2x,则在，

x<0上/(x)的表达式是()

A./(x)=-x2+2x-B./(.r)=-x2-2x

C./(x)=x2-2xD./(x)=x2+2.r

4.(2022.河南开封•高一期末)已知函数y=f(x),xeR,丁=〃力是奇函数,且当xNO时,

/(力=父+2'-1,则x<0时，〃x)=.

5.(2022•上海高一期末)已知函数y=/(x)是定义域为"的偶函数，当X20时/(X)=.L2'+1,则当

工<0时/(x)=.

6.(2022•南昌市新建区第一中学高一月考)若/(X)是定义在4上的奇函数，当工20时，

/■(x)=(；j—2x+〃?(“为常数)，则当x<0时，/(x)=.

【题型四函数性质的综合应用】

1.12022•河南•夏邑第一高级中学高一期末)已知函数/⑴为偶函数，当X£[0,+8)时，/(A)=X-1,

则f(x—l)<0的解集是()

A.(0,2)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(1,2)

2.12022•浙江省淳安县汾口中学高一开学考试)已知/")是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,y)上是

增函数，则下列各式一定成立的是()

A./(2)>/(-5)B./(-5)</(0)

C./(-2)</(0)D./(-5)>/(2)

3.(2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中)奇函数/")在(0，+8)内单调递减且〃2)=(),则不等式

*+1)/。)<0的解集为()

A.(-«)-2)J(-l,0)U(2,4^)-氏(-2,-11(2,也)

C.(Y,-2)J(2,E)D.(--2)J(-l,0)U(0,2)

4.(2022・安徽宣城•高一期中)设偶函数/(x)的定义域为R,当工W0，+8)・时，/(刈是增函数，则

/(-I),f⑺,/(一3)的大小关系是()

A./(^)>/(-1)>/(-3)-B./(^)>/(-3)>/(-1)

C./(^)</(-3)</(-1)-D./W</(-1)</(-3)

5.(2022•福建高一期末)若定义在R的奇函数“X)布(―⑼单调递减，则不等式/(x)+/(x-2)20的

解集为()

A.(-oo,2]B.C.[l,+oo)D.[2,+oo)

【题型五抽象函数的性质】

1.12022•陵川县高级实验中学校月考)已知函数/(力在R•上单调递增，对于任意x,yeR都有

(1)求/⑼一

(2)判断了(力奇偶性并证明；・

(3)解不等式3/(/)—/(力>；/(3”..

2.(2022・广东•金山中学高一期中)已知函数f(x)对任意总有己x)+/(y)=f@+y>,且当x>0

9

时，/(x)<0,/(1)=--.

(1)先求/(0)的值，然后判断函数/。)的奇偶性，并加以证明；

(2)判断函数/*)在其定义域上的单调性，并加以证明；

(3)求函数/⑴在[-3,3]上的最小值.

3.(2022•浙江高一课时练习)定义在(0,+8)上的函数/。)，满足/(〃％="，")+/(〃)(％〃>0),且

当X>1时，f(x)>0.

(1)求/⑴的值.

(2)求证：.f—=f(m)-f(ri).

)

(3)求证：/(%)在(。,十s)_L是增函数.

(4)若"2)=1,解不等式/3+2)-f(2x)>2.

(5)比较［中］与/(叱/⑺的大小.

2)2

3.3函数的奇偶性及函数性质综合

【题型解读】

【题型一函数奇偶性的判断】

1.（2022・河北・武安市第一中学高一期末）判断下列函数的奇偶性:

（1）/（X）=（X+1）^^^；

-x2+2x+l.x>0

(2)f[x)=<

x2+2.r-l,j<0

⑶/⑺咛;

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数.•

【解析】（1）〃x）=a+i）后|有意义,则

—>0-.即缶"°,解得

\+x

所以函数y=/@）•的定义域为不关于原点对称,

因此函数y=是非奇非偶函数；•

（2）当x＞。•时，f（x）=-x2+2x+1,

-x<0,f(-x)=(-x)2+2x(-A)-1=x2-2x-1=-f(x)：

2

当x<0•时，f(x)=x+2x-\f

-x>0»f(~x)=-(-x)2+2x(-x)+1=-x2-2x+\=-f(A).

所以函数y=/")为奇函数；,

4-x2>0

(3)由题意可得《2:，所以一24工2且xwO,

%]HO

所以函数y=/"）•的定义域为［-2,0）（0,2］关于原点对称,

〃_(_幻2_

又了（—X）:=/"），所以函数丁=〃x）为偶函数;

(-X)-X-

2.（2022•广东中山市月考）（多选）下列函数中是偶函数，且在（1,+00）为增函数的是

()

A./(x)=|x|B.f(x)=x2-2x-3

-x+l,x<0

C.f(x)=lx2-\x\-\D.

x+l,x>0

【答案】ACD

【解析】根据题意，依次分析选项：，

对于A,偶函数，且在(1,田)为增函数，符合题意：

对于8，f(x)=x2-2x-3,不是偶函数，不符合题意：

对于C,f(x)=2.『-|x|-1,是偶函数，在(：,卡功上为增函数，故在(1,内)为增函数，符

对于小)=X+Q。,是偶函数,且在为增函数，符合题意;

故选：ACD.

3.(2022.山东.济南一中期中)判断下列函数的奇偶性：

(1)/(X)="一"；(2)f(x)=X一■y；(3)f(x)=x2-x3；(4)f(X)=\x+2\+\x-2\.

x-\X

【答案】⑴既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.⑶既不是奇函数也不是偶函数.⑷偶函数.

/-V2

【解析】⑴函数=—L的定义域为{X|X£R且XW1},定义域不关于原点对称，

x-1

・••该函数既不是奇函数也不是偶函数.

(2)/(X)=X-F的定义域是(-oo,0)U(0，y).

X

当戈£(TO,0)u(0,+<»)时，显然,te(-00,0)u(0,+CO).

11(1、1

V/(-x)=(-x)--~-=-x+—=-X一一?=-/(x),/(x)=x一一是奇函数.

(-工)-元-IX-JT

⑶/(X)=x2-x3的定义域为R.

•・・/(1)=(1尸(1)3=1卜1=2,/⑴=『"=0''〃一］)*/⑴

・••/*)不是偶函数.又V/(-I)*-/(I),•••/*)不是奇函数.

/.f(x)=x2-x3既不是奇函数也不是偶函数.

(4)f(x)=|x+2|+|x-2］的定义域为凡

•.,)(-%)=|—X+21+1—A—21=|X—21+1x+21=f(x),

.•・/(x)=|x+2|+|x—2|是偶函数.

4.(2022•安徽宣城市•高一期末)己知函数”刈=纸E，求

(1)函数/(X)的定义域；

（2）判断函数/（1）的奇偶性.

【答案】⑴"1—1x41,且xxO｝；⑵奇函数

【解析】（1）由题得P一得—IKxWl且xwO,

|XH（）

所以函数的定义域为｛xl-lWxWl,且xw（））.

（2）由（1）得函数的定义域关于原点对称.

/（-x）="；=_/（x），

所以函数是奇函数.

5.（2022•广西高一期末）（多选）下列函数中，在定义域上既是奇函数，乂是减函数的

是（）

x2+l,x<0

A.f（x）=-x-xyB./（x）=-0,A=0

-x"—1/>0

z、7

c./（A-）=l-xD./3=-一

X

【答案】AB

【解析】因为/（x）=-x—『，定义域为R,且/（—x）=.r+V=—/（x）,

所以函数/(X)是奇函数，

设0<百<巧•，贝1」/(%)―/(8)=_%一耳3+巧+巧3

)3(22

=X,-X+x,-x/=X,-%)(x24-X2X}4-Xj)>0,

所以0〈玉〈/时，/(^)>/(x2),

又因为函数/(X)是奇函数，•

所以函数/M在R上单调递减，故选项A正确：

x2+l,x<0

由函数f("=，0,x=0的图像可知：函数/(x)关于原点对称且单调递减,

-x2-l,x>0

故选项B正确；

而选项中的函数〃x)=l-x是非奇非偶函数，故选项C错误；

对于函数/")=-三，定义域为{巾工0},定义域关于原点对称，

.I

/(-x)=-=-/W>所以函数”X)是奇函数,

X

设0〈芭〈出，财

X]x,x,x2

所以0<%<当时，所以函数f(x)在(0,+8)上单调递增，

乂因为函数/(x)是奇函数，，所以函数“X)在(F,0)上也单调递增，但是不满足题意.

故选：AB.

【题型二利用函数奇偶性求值、参数】

1.(2022•云南弥勒市一中高一月考)若函数f(x)=(x-2)(x+m)为偶函数,JUlJm=

【答案】2-

【解析】f(x)=(x-2)(x+m')=x2+(m-2)x-2m

因为函数,f(x)=(x2)(“।〃?)为偶函数，所以〃/2=(),解得〃尸2」

也可用/⑴=/（一），解出m=2.故答案为：2-

2.（2022•浙江高一期末）已知/"）是定义在R上的奇函数，且当xWO时,

f(x)=x2+3x+\-a,则/(2)=()

A.-1B.-2

C.1D.2

【答案】D

【解析】因为/(⑼是定义在R上的奇函数，且当xWO时，/(x)=f+3X+1--

所以"0)=1—〃=0.故当xWO时，/(x)=f+3x,所以/(2)=-4-2)=2.故选：D.

3.（2022・湖北十堰高一期末）己知函数/（力=9+瓜出£/?）为偶函数，则的值

为.

【答案】-

4

【解析】因为函数/（力=£+区（"ER）为偶函数，

故/（一x）=（—"+〃（一工）=12一故一6氏=丁+bx恒成立.故〃=0.故/（x）=.d,

则/（Q）=..故答案为：:

4.（2022•河北石家庄期中）若定义域为3-10,3司的函数/（6=5/+次-34+1是偶函

数，则。=,b=.

【答案】20

【解析】偶函数〃力的定义域为［2所103小则加一10+3。=0,解得。=2,所以

/（X）=5X2+2/?A-5,

满足/（"的对称轴关于y轴对称，所以对称轴工=一卷=0,解得力=0.

故答案为：2；0

5.（2022•广西高一期末）已知/（X）是定义在R上的奇函数，且当xNO时，

2

f（x）=x+cvc+a-\tplij/（-l）=.

【答案】-2

【解析】因为/（力•是定义在R上的奇函数，

所以〃0）=々-1=0,解得4=1,

2

因为当xNO・时，f(x)=x+xt

所以/(1)=2,.

〃T)=_〃1)=_2,•

故答案为：-2

6.(2022•山东济南中学高一期末)若/(幻=公2+云+3〃+6是偶函数，且定义域为

[々-124，则。=,b=

【答案】；0•

【解析】因为/(幻=。/+法+34+6是偶函数，且定义域为%],

所以4-1+勿=0,解得4=；,

且/(-x)=ax2-bx+3a+h=f(x)=ax2+bx+3a+b,

所以b=0.

故4=g,h=0.

【题型三函数奇偶性求解析式】

1.(2022•山西•怀仁市第一中学校月考)已知/(X)是定义在R上的偶函数，且当x<0

时,/(x)=2x-3,则当/>。时，/(x)=.

【答案】/(x)=-2x-3(x>0)

【解析】根据题意，设X>0,则一XV0,有/(一)x=2x(-x)-3=-2X-3,

又由f(x)为偶函数,则〃x)=/(—x)=-2x—3,BPf(x)=-2x-3,故答案为：

fM=-2x-3(x>0).

2.(2022•湖北襄阳五中高一月考)已知函数y=/(x)的图象关于原点对称，且当x>0时,

/(刈=炉-2*+3.则/(刈在R上的表达式为.

x1-2x+3,x>0

【答案】〃尤)=・0/=。

—x~~2x—3,x<0

【解析】因为/(X)是奇函数，且定义域为R，故当x=0时，/(x)=0；

则当x<0时，/(%)=-f(―%)=—(x~+21+3)=—-2工一3.故答案为:

x2-2x+3,x>0

/(x)=-0,x=0

—x^—2x—3,x<0

3.(2022•北京大兴•高一期末)已知“X)是定义在〃上的奇函数，X20时，

/(X)=X2+2A-,则在，x<0上/(力的表达式是()

A.f(x)=-x2+2x>B.f(x)=-x2-2x

C.f(x)=x2-2xD.f(x)=x1+2x

【答案】A

【解析】因为x20时，/(x)=f+2x,

设x<0,贝

所以/(—力=9一21，•

又因为/(x)是定义在〃上的奇函数，•

所以〃%)=-/(-力=-/+2%，•

故选：A.

4.(2022.河南开封•高一期末)已知函数)，=/(x),XGR,)=/(力是奇函数，且当

工20时，/(6=丁+2、-1,则“<0时，/(力=______.

【答案】丁一2-*+1「

【解析】当x<0时，-x>0,所以/(一力=(一"3+2--1=「？+27-1,

因为y=/(x)是奇函数，

所以/*)=一/(一回=一(一？+2r-1)={-2、+].

故答案为；_?一2-'+1「

5.(2022•上海高一期末)已知函数)，=/(x)是定义域为"的偶函数，当xNO时

f(x)=x-2x+\,则当x<()时/("=__________.

【答案】-x-2-4-1

【解析】设x<0,则T>0，

由xNO时，/(A)=X-2V+1,

所以K)=-X—27+1,

又函数为偶函数,即=•

所以/(X)=_X_2T+1」

故答案为：一4-2一*+「

6.(2022•南昌市新建区第一中学高一月考)若/(Q是定义在〃上的奇函数，当xND

时，/Q)=(；1-2x+”(m为常数)，则当xvO时,/(%)=_________.

12/

【答案】-21-2x+1

【解析】/(力-是定义在/\上的奇函数，则/(0)=(g-〃?=1+〃?=0，故加=7,

x<0时，_X〉0,贝"/（/）=一/（一工）=_（；）+2x-\=-2r-2x+l.

故答案为：-2r-2x+l.-

【题型四函数性质的综合应用】

1.(2022•河南•夏邑第一高级中学高一期末)已知函数/(“为偶函数，当KC[O,M)时,

/(x)=x-L则/(工一1)<0的解集是()

A.（0,2）B.（-2,0）c.（-1,0）D.（1,2）

【答案】A

【解析】当无£(—,0)时，/(x)=f(-X)=-X-l.

/x[x-1<0[x-1>0

由/(x—l<0得〈(n1八或《，।八，

解得Ovxvl或l«x<2,即0c<2.所以不等式的解集为(0,2).

故选：A.

2.(2022•浙江省淳安县汾口中学高一开学考试.)己知j(x)是定义在R上的偶函数，且

/(X)在[0,转)上是增函数，则下列各式一定成立的是()

A./(2)>/(-5)B./(-5)</(0)

C./(-2)</(O)I)./(-5)>/(2)

【答案】D

【解析】因为/(力是R•上的偶函数，所以/(5)=/(-5),/(-2)=/(2),

且/(*•)在[0,y)上是增函数，

因为〃2)v〃5)=〃—5),所以A错误;因为〃—5)=/(5)>〃0),所以B错误;

因为/(—2)=〃2)>/(0),所以C错误；因为〃—5)=/(5)>〃2),所以1)正确.

故选：D.

3(2022•陕西•咸阳市高新一中高一期中)奇函数〃外在(0，+8>内单调递减且/(2)=0,则

不等式*+1）/（幻<0的解集为（）

A.H-2）J（-l,0）U（2,^o）-B.（―2,—l）U（2,+co）

C.（70,-2）U（2,*O）D.（7）,-2）J（T,0）U（0,2）

【答案】A

【解析】因为函数『3在(。，+8)上单调递减，八2)=0,

所以当xw(0,2)时，f(x)>0-,当xe(2,+8),f(x)<0,

又因为/“)是奇函数，图象关于原点对称，・

所以/⑴在(一8。)上单调递减，/(-2)=0,

所以当xe(-2,0)时，/(x)<0,当xe(-oo,-2)时，f(x)>0,

大致图象如下,•

故选：A.、

4.(2022•安徽宣城•高一期中)设偶函数/(x)的定义域为R,当xe[0,+oo)时，"力是增

函数，则/(一1),/(乃)，/(一3)的大小关系是()

A./(^)>/(-1)>/(-3)B./W>/(-3)>/(-1)

C./(^)</(-3)</(-1)D./M</(-l)</(-3)

【答案】B

【解析】“X)是偶函数，.・•/(-1)=〃1)，/(-3)=/(3),

•・•当x«0,+8)时，〃X)是增函数，且%>3>1,

「./•⑺•

/./(^■)>/(-3)>/(-1).■

故选：B.-

5.(2022•福建高一期末)若定义在R的奇函数在(-oo,0]单调递减，则不等式

〃工)+/(工一2”0的解集为()

A.B.C.[1,-KC)D.[2,-KO)

【答案】R

【解析】•・・，“)是奇函数,在(F,0卜上递减，则解或在也+<»)上递减,

・・・/(幻•在R上是减函数，

又由/⑴是奇函数，则不等式/(力+/(工-2)20可化为71-2)之/(r),

/.x-2<-x-,x<\.

故选：B.­

【题型五抽象函数的性质】

1.(2022•陵川县高级实验中学校月考)己知函数/(八)在RL单调递增，对于任意X,

)，wR都有/(x+)，)=/(x)+/(y).

(1)求〃。)；•

(2)判断〃x)奇偶性并证明；•

(3)解不等式.

【答案】(1)/(0)=0：(2)为奇函数，证明见解析；(3){#x>5或xvO}.

【解析】(1)任意工,丁^a都有/(x+y)=/(x)+/(y),可令x=)，=。，

则〃0)=2/(0>,即.40)=0；

(2)/(X)为奇函数，证明如下：定义城为R,

可令y=一招则〃o)=/(x)+/(r)=(),

gp/(-x)=-/(x),则f(x)为奇函数;

(3)l/(x2)-/(x)>i/(3x)-,即为4/)>2〃司+/(3刈，

由于任意x,"R•都有/(x+y)=f(x)+/(y),则2/(力二〃2%),

即+即)>/(5x),

由函数/(x)在R•上单调递增，可得一>5x,解得x>5或x<0,

则不等式的解集为卜卜>5•或大•<0}.

2.(2022・广东・金山中学高一期中)已知函数对任意总有

/(x)+/(y)=/(x+y),且当X>0时，/U)<0,/(1)=-1.

(1)先求/(0)的值，然后判断函数八幻的奇偶性，并加以证明；

(2)判断函数/*)在其定义域上的单调性，并加以证明；

(3)求函数/*)在［-3,3］上的最小值.

【答案】(1)/(0)=0；奇函数；证明见解析；(2)减函数，证明见解析；(3)-2.

【解析】⑴由已知/⑶+〃y)"(%+)，)，

令x=)，=0,得/(0)=2/(0),所以/(0)=0.

函数/(