向量坐标表示与运算-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

9.3.2向量坐标表示与运算

基础过关练

题组一向量的坐标表示

1.(2025湖南邵阳海谊学校月考)下列说法中不正确的有()

A.相等向量的坐标相同

B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标

C.一个坐标对应唯一的向量

D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应

2.(2025江苏徐州大许中学月考)已知乂(3「2),用5,-1),若标=就则P点的坐标为()

A.(3,2)B.(3,-l)

C.(7,0)D.(LO)

3.如图所示，单位向量ei©是平面内的一组基底，则向量a,b的坐标分别是()

A.(3,4),(2,-2)B.(2,3),(-2,-3)

C.(2,3),(2,-2)D.(3,4),(-2,-3)

4.(教材习题改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限内,OA=2,NxOA=1则向量

4

3?的坐标为.

题组二向量加、减运算的坐标表示

5.(2025江苏盐城五校联盟阶段考试)在平行四边形ABCD中,AC为对角线，若

48=(2,4)心(1,3),则。8=()

A.(3,5)B.(-2,-4)

C.(-3,-5)D.(2,4)

6.(2024四川绵阳南山中学实验学校期中)已知点A(-l,2),B(3』),向量就=(2,1),则向量

BC=()

A.(-2,2)B.(-UO)

C.(3,-DD.(4,-l)

7.(教材习题改编)已知点0(0,0),A(l,2).

⑴若点B(3t,3t),9=C?+而,则实数t为何值时，点P在x轴上?点P在y轴上?点P位于第

二象限？

⑵若B(4,5),P(l+3m,2+3m),则四边形OABP能成为平行四边形吗?若能，求出m的值;若不

能,请说明理由.

题组三向量数乘的坐标表示

8.(易错题)(2025江苏宿迁沐阳南湖高级中学开学考试)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线

AB匕日|丽=2|通厕点P的坐标为()

A.(3,l)B.(h-l)

C.(3,-l)或(-1,1)D.[3,l)或(1,-1)

9.(2024天津滨海新区田家炳中学月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=(),则

c=()

A.0,9BG，3

C(抬)D.(TT)

10.(2024重庆巴南部分学校阶段测试)如图,在矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的

三等分点，点F是线段BC的中点，则屁=()

A.：而T祀B^DF-lAC'

9999

C.-^DF+lACD-^DF^AC

9999

11.(2025江苏宿迁沐阳建陵高级中学月考)己知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若点P满足

存=万+屈入£R),则当点P在第四象限内时区的取值范围为.

题组四向量数量积的坐标表示

12.(2024重庆第八中学校月考)己知瓦?=(3,4),配=(a,2),|就1=2,则万•就(=)

A.-8B.8C.-6D.6

13.(2025江苏镇江丹阳质量检测)已知|a|=2V5,b=(21),且a在b上的投影向量的坐标为

(-2,-1),则向量a与b的夹角为()

A.120。B.60°C.45°D,30°

14.(2025江苏南京田家炳高级中学阶段测试)在菱形ABCD中,AC=2,BD=4,且施=2而，则

ZDEC的余弦值为.

15.(教材习题改编)已知点A(-4,0),B(2,-l),C(-l,3),则点C到直线AB的距离为.

16.(2025江苏苏州大学附属中学期中)如图,在梯形ABCD中,AB〃CD,AB=5,AD=2DC=4,

且配•丽=0,E是线段AB上一点，且AE=4EB,F为线段BC上一动点.

(1)求NDAB的大小；

(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M,求cosNEMF;

(3)求赤♦而的取值范围.

题组五向量垂直的坐标表示

17.(2025江苏南通月考)若向量a=(x+l,2)和向量b=(l,-l)垂直，则|a+b|=()

A.<10B.坐C.V2D.¥

18.(多选题)(2025江苏无锡第一中学期中)已知向量a=(l,3),b=(-2,x),则下列说法中正确的

是（）

人.当2_1_1）时,|a-3bl二旧

B.当x=I时，向量b在向量a上的投影向量为

C.当a与b的夹角为锐角时,x>|

D.与向量a垂直的单位向量-噜,甯

19.在△ABC中,|而=2,点A（l,l）.

⑴若（：（2,（））,且aABC为直角三角形，求点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点B,C,满足方•充=0?若存在，求出点B,C的坐标;若不存在，请说明理

由.

能力提升练

题组一向量线性运算的坐标表示

1.（2024河南洛阳强基联盟联考）古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来

构造无理数.已知AB=BC=CD=2,AB±BC,AC±CD,^55=x7S+|.t?C>WlJ入+N=（）

A-T

A/2+1口学

r

2.（2025江苏邳州毓秀高级中学月考）在直角△ABC中,C是直角,CA=4,CB=3qABC的内

切圆分别交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区域（不包含边界）内的一点，若济x加+y。,

则xiy的值可以是（）

仁G

EB

A.lB.2.5

C.4D.5.5

3.（2025浙江杭州高级中学月考）分别以直角三角形的三条边的长为边长作正方形，则以斜

边长为边长作出的正方形的面积正好等于以两直角边的长为边长作出的正方形的面积之

和，这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角形CDE按上.述操作作图后，得如图所示

的图形，若赤=xj^+yZ5（x,yeR）,则x-y=.

题组二向量数量积的坐标表示及其应用

4.（2025江苏无锡江阴南菁高级中学月考）△ABC中,AH为BC边上的高且明=3沅;动点P

满足力•路前）则点P的轨迹一定过△ABC的（）

A.外心B.内心

C.垂心D.重心

5.（2025江苏苏州九校联考）若^ABC的三个内角均小于120。,点M为〉ABC内一点，且满

足NAMB二NAMC=NBMO120。,则点M至必ABC三个顶点的距离之和最小，比时称点

M为^ABC的费马点.根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b,c满足b±c,

且|b|=3,|c|=V5,则|a-b|+|a.c|+|a+c|的最小值是（）

A.9B.4V3C.6D.3V3

6.（多选题）（2024江苏南京金陵中学学情调研）定义平面向量的一种运

算:aOb=|a+b|x|a-b|xsin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角，下列说法正确的是（）

A.若<a,b>=90°,则aOb=a2-»-b2

B.若|a|=|b|,贝lj(aib)O(a-b)=4ab

C.若间=|b|,则aObS21al2

D.若a=(l,2),b=(-2,2),WJ(a+b)Ob=VTo

7.（多选题）（2025江苏徐州期中）如图,△ABC是边长为2的等边三角形，以AC的中点O为

圆心」为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A•亚那十两

C.乔元的最大值为5

D.若丽=x0+y就，则当B,O,P三点共线时,x+y=9

8.（2025江苏徐州九里中学月考）在边长为2的正方形ABCD中,M,N分别是边BC,CD上

的两个动点，且BM+DN=MN,则初•病的最小值是.

9.（2024江苏无锡辅仁高级中学质量检测）已知向量a=（l,V3）,b=（cosa,sina）,设

m=a+tb（t£R）.

⑴若求当|m|取最小值时实数t的值；

（2）若aJ_b,是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为:?若存在，求出实数t的值;若

不存在，请说明理由.

10.（创新题）（2025江苏盐城五校联盟阶段性考试）对任意两个非零向量m.n,定义新运

算:m㊉n=喂淇中。为m与n的夹角.

1«1

⑴若非零向量a,b满足|a|二2|b|,且a㊉b>£,求b㊉a的取值范围；

(2)若向量a=(t,4),b=(2,。，且a㊉b=l,求正数t的值;

(3)已知非零向量a,b满足间二k|b|(k是正整数)，向量a,b的夹角0£(^^再㊉b和b㊉a都是

有理数，且(a任b>+(b㊉a)2号，求sin0.

答案与分层梯度式解析

9.3.2向量坐标表示与运算

基础过关练

1.C

2.C由题意得丽=(5-3,-1+2)=(21),设点P的坐标为(x,y),则行二(x-5,y+l),

因为和=赤,即(x-5,y+1)=(2,1),

所以院言，解得K：所以p(7，°)・

3.C由题图可知a=2ei+3e>,b=2ei-2e2,

.\a=(2,3),b=(2,-2).

4.答案(-V2,V2)

解析由NxOA=^，得cos□xOA=-y,sin□xOA=1，

VOA=2,

・•・A(-V5,V5),・••向量力的坐标为(-V5,V5).

5.A由题意得刀-配=Z正(1,1),

则而衣+而=方+而=(2,4)+(1,1尸(3,5).

6.A设C(x,y),则/C=(x,y>(-1,2)=(2,1),

所以｛：］二；’解得「；；所以C(1,3),

所以加=(1,3)-(31)=(-2,2).

7.解析⑴・・・0(0,0),A(1,2),B(3t,3t),

.*.O4=(l,2),dS=(3t,3t),

・•・OP=OA+OS=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t).

若点P在x轴上，则2+3t=0,At=-|.

若点P在y轴上，则l+3t=0,/.t=-1.

若点p位于第二象限，则cm.•・*«<-?.

(2)由题意得汴(1,2)历=(3・3m,3・3m).

若四边形OABP为平行四边形，则而=为，

・•・!：("二;'该方程组无解.

故四边形OABP不能成为平行四边形.

8.D由题意得刀二(2,2),

・・,点P在直线AB上，且而|=2凝

/.AB=2AP^AB=-2AP(易错点)，

・・・N=(i,i)或万二(”,/),

・・・P点坐标为(3,1)或(1,-1).

二级结论线段定比分点的坐标公式:已知Pl(Xl,yi),P2(X2,y2),P是直线PR上一点，且

印乂丽(师T),则点P的坐标为等，詈)，其中X叫作P分有向线段左耳

的比，点P叫作有向线段耳名以X为定比的定比分点.

在本题中，需将“方=2万或方=-2"”转化为“据而或据-1而”然后可套用公式求解.

9.D因为a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,

所以c=-j(a-2b)=-j(13,4)=(-

10.A解法一：建立于直直急坐瓯系酸化为坐标运至

以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.

设DC=a,DA=b,a,b>O^iJD(O,O),EQ,b),F(a,；),A(O,b),C(a,O),

设瓦:人而+入定QigeR),

则G，b)=Q(〃])+入2(a,-b),

(巾2吟,

所以解得

G“2)b=b,

故瓦［得沃.

解法二:利用生面向量基本定理求解.

依题意得历苏+；DC®,DF=5C+；DA®JC=DC-DA®,

由②③得刀二:DF-jAC^DC=I醇W，

将这两个式子代入①，得方2=：方声］%.

11.答案(-")

解析由已知可得彳2=(3,1)其二(5,7),

则据75+沆=(3,1)+(51加=(5人+3,7入+1),

设点P(x,y),则万=(x-2,y-3),

则吐流解得得皴

即点P的坐标为(5入+5,7入+4),

因为点P在第四象限内，所以｛装就解得

因此实数入的取值范围是(-1,-；).

12.B由已知得充=於一瓦J=(a・3,・2),

因为国=2,所以J(a-3)2+4=2,解得a=3(二重根)，所以就=(0,-2),又荏=-初=(-3,-4),

所以方•就二-3x0十(-4)&-2)=8.

13.A由题意得IbtJFXPf/S,

则a在b上的投影向量为法b4(2,1)=(-2,-1),故”=-1,所以ab=-5,

|t>r55

则3初心=备力=一

因为0°<<a,b><180°,!U<a,b>=120°,

所以向量a与b的夹角为120°.

14.答案等

解析设AC,BD交于点O,分别以BD,AC所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐

标系.

EC

贝I」A(0』),B(20),C(0,・l),D(2,0),

由左=2屁，知B为AE的中点，所以E(-4,-l),

则加=(6,1),比=(4,0),

EDE^6x4+0_6后

所以cosNDEC=

成1而4X-/62+12371

15.答案等

解析由已知可得荏=(6,-1)/左(3,3),

则而衣=18-3=15,港1=小2+(-1)2=收,

|^C|=A/32+32=3V2,

在•玄_15_5

所以cosNBAO

\AB\-\AC\一后x3a一旧,

所以sinZBAC=V1-cos2□BAC=117

故点C到直线AB的距离d二|^|sin]BAC=3A/5X亲二喑,

16.解析⑴连接AC,BD,由题意得方JDCjB^DC,

所以正与方的夹角和布与灰的夹角相同，设为0,0e。兀)，

则充丽=(而+就)•(亦一而)=(而+的.(Z5-|5c)=|JD|2-|J^-DC-||PC|2

----->23»>5>2

=\AD\-^\AD\\DQcose-||DQ,

由市5瓦D=0,得16Tx4X2COSgx4=0,得•COS-，又6口。兀)，所以即UDAB三.

⑵过点D作DOLAB,垂足为0,则AO=ADcosNDAB=2,DO=ADsinNDAB=2g,

以0为原点,AB,D0所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则A(-2,0),D(0,2V5),E(2,0),B(3,0),C(2,2V5),F(|,V3),

所以万=g,V3),DE=(2-2V3),

易知NEMF与万和屁的夹角相等，

疗瓦_学2-26x0_回

且cos<AF,DE>=，故COSUEMFY.

丽•由「百X标=益62

⑶由(2)知品=(-1,2逐),

设而=*5己九□[()[],贝I」F(3-k,2V3X),

所以书(5-儿2凤,弟(3-九2®-2途)，

月『以乔•弟(5)x(3-入)+25入x(2V51—275)=1312—20入+15=13(a-/)?+£,

贝IJ当入甘时，(左.词min=/；当X=0时,(N•协max=15,

所以万•标的取值范围为岛15.

♦IJ

17.A由a_Lb,得a-b=(x+1)x1+2x(-1)=0,解得x=l,

，a+b=(2,2)+(11)=(3,1),・•・|a+b|=V32+l2=710.

18.BC对于A,当a±b时,a・b=2+3x=0,得x=1则b=(-2。，

所以a-3b=(1,3)-(-6,2户(7,1),故|a-3bl=斤甲=5a,故A错误；

对于B,当x=l时,b=(-2』)晌量b在向量a上的投影向量为与二故B正确;

\a\1+3IU

对于C,当a与b的夹角为锐角时声由二-2+3乂＞0且1XX彳3x(-2)(易错点).解得x*,故C正确;

对干D,设与向量a垂直的单位向量c=(m?n),

3V。Hi'或(3xT。io’

事嘛得I1"-I

则博算片”

10I1()

故c=(军嘲或c=(喘制，故D错误.

19.解析⑴易得衣二(1,-1),设点B(x,y),

则福(x-1,y-1M=(x・2,y).

・・•阮IN.・・|西=J(x-2)2+产2,

A(x-2)2+y2=4.

V|7C|=V2<|^C]=2,/.NBMO。.

当NA=90。时，源.据O,；・x-y=O出|1x=y.

又•••(x-2)2+y2=4;.局或域

・••点B的坐标为(0,0)或(2,2).

当ZC=90°W,C5JC=0,・•・x-2-y=0.

卜=2-75,

XV(x-2)2+y2=4,或

・••点B的坐标为(2+VIV5)或(2-

综上所述，点B的坐标为(0,0)或(2,2)或(2+75,75)或(2-a,-夜).

⑵存在.假设存在满足条件的点B,c,依题意可设点B(b,O),C(c,O),屏c,

则荏=(b-1,—1),衣=(。1,・1).

•・・|沅|=2,而充=0,

：.\8C\=\b-c\=2,A^AC=(b-l)(c-l)+1=0,

••­OK

・•・存在满足条件的点B,C,且点B的坐标为(0,0),点C的坐标为(2,0)或点B的坐标为(2,0),

点C的坐标为(0,0).

能力提升练

1.B以C为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标

系，

由题意得AC=2V2,MA(0,2V2),B(V2,V2),C(0,0),D(-2,0),

则拔=(&,-&)巧(0,-2近),丽=(夜+2,夜).

近+2=①

因为万力=/2+函,所以

V2=-V2X-2V2g,

2=75+1,

解得所以入+|1=宁.

2.B在RtAABC中,CA=4,CB=3,则AB=5,设内切圆半径为r,则3-r+4-r=5,解得r=l,

以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设内切圆圆心为M,连接MD,ME,

则C(O,O),D(O,1),E(1,0),则瓜(0,1)存(1,0),

故万=x^+y^=x（0』）+y（1,0A（y,x）,

令x+y=t，则点P在直线y=-x+t上，

由点P是图中阴影区域（不包含边界）内的一点,得直线y=-x+t与阴影区域（不包含边界）有

公共点，

由图可知，当0<t<4且t#1时满足题意，结合选项知B正确.

3.答案

解析如图，以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系，

//

■y

设正方形ABCD的边长为2a,a>0,则正方形DEHI的边长为Via,正方形EFGC的边长为a,

可知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(V3+l)a,

则XF=(V3+1)a-cos30o,yp=(V3+1)a-sin300+2a,即

5LAF=xAB^yAD,

••(等a,竽a)=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),

f2ar=—^a,r：

即15+百即2ax-2ay=—a

(2^=-y-a,

化简得x-y=

4.A以H为原点，灰，南的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,

设BC=4a(a>0),AH=b，则BH=3a,HC=a,

则H(0,0),B(-3a,0),C(a,0),A(0,b),

所以品=(4a,0),设P(x,y),则据(x,y-b),

1

-所以

因为,4P8C=-4,94ax=-：x(4a)2,所以x--a,即点P的轨迹方程为x--a,

4

而直线x-a垂直平分线段BC,即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，

根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过△ABC的外心.

5.C设0为坐标原点,3J=a,而=b,瓜c,A(x,y),B(3,0),C(0,6),D(0,-V5),

则a-b=Q4-08=(x-3,y),a-c=O4-0C=(x,y-V5),a+c=Q4-0C=(x,y+V5),

所以|a-b|+|a-c|+|a+c|=J(x・3尸十y2十十十J/十①刊3)2=|豆彳田日彳田万前,

若要使|反?|+|B|+QR取最小值，则A'为&ABC的费马点，

易知△BCD为等边三角形，所以△BCD的费马点为△BCD的中心,

此时I历1|+|。|+|。4|=；|。8区3=6.

所以|a-b|+|a-c|+|a+c|的最小值为6.

6.AC对于A,若<a,b>=90。,则|a+b|=|a-b|,a-b=O,

贝ijaOb=|a+b|x|a-b|xsin9(r=|a+bF=a2+b2+2a-b=a2+b2,故A正确;

对于B,若|a|二|b|,则|aF=|bF,(a+b)JL(a-b),

则a+b与a-b的夹角为90。，

则(a+b)O(a-b)=|(a+b)+(a-b)|x|(a+b)-(a-b)|xsin900二4|a||b|,而4a-b=4|a||b|cos<a,b>»,£们不一定

相等，故B错误；

对于C,若|a|二|b|,则aOb<|a+b|x|a-b|<a2+b2=2|a|2,SfcC正确;

对于D,若a=(l,2),b=(・2,2),则a+b=(-l,4),a+2b=(-3,6),

则—a端一小10皿5.

又va+b,b>£[0,兀],

所以sinva+b,b>jl-忌)、意,

贝ij(a+b)。b=|a+2b|x|a|xsin<a+b,b>=3V5xV5x-^==-^=D错误.

V34V34

.-,.■■■►■■■1■>>,■>i>>i1,">)i,,>i>..,._

7.ACD对于A,BO=BC+CO=8C+；CA=BC+1(BA-BQ=A正确;

对于B,由A知瓦瓦圮，

则褶初=而Q~BA+^BC)=-^AB+\ABBC

二-；刀2-;胡•正二一；x4-；x2x2xcos60。=-2-1=-3,故B错误；

对于C,以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则B(0,0),C(2,0),A(l,V3),og,y),

设PG+COSJ,9+S喇力□[!,"

所以加反5=2(|Icos〃)=312cos0,

当0=0时/PNC取得最大值，为5,故C正确;

对于D,当B,O,P三点共线时而|=6,|而|=1,瓦而，

所以济南+而=(?+1)而，

又砂沟+；那所以而=?而+?元

落］91(-广

所以x二牙,丫=三，所以x+y=f+1=?，故D正确.

8.答案8(V2-1)

解析以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

设点M(2,m),N(n,2),其中m,n>0,

则而=(2,m)乔(n,2),

所以4M4N=(2,m>(n,2)=2m+2n,

由BM+DN=MN,得m+n=J(2-w)2+(n-2)2,

整理得2(m+n)+mn-4=0,

易知2(m+n)+mn-402(m+n)+(W)-4,当且