2024年高考数学一轮复习（新高考版）三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图象与性质

【考试要求】1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助

图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2汨上，正切函数在（甘，图上的性质.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

⑴在正弦函数尸sinx,咐0,2汨的图象中，五个关键点是：（0,0）,卷1），（兀，0），（于，一1），

（2兀，0）.

⑵在余弦函数y=cosx,x£［0,22的图象中，五个关键点是：（0,1）,（全0）,（五,T），管,。），

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中〃£Z）

函数y=sinx)，=COSXy=tanx

<

y

_宜1_1T1

图象20巧、了r

w

定义域RR{x\x^kn-\-^}

值域L1』]LI,11R

周期性2几2nn

奇偶性奇函数偶函数奇函数

悭兀一看2E+,(hr—冷,«兀+宏)

单调递增区间[2E-7t,2内i]

12辰+看2处i1竽］

单调递减区问|~2:兀,2月兀1兀］

（痴+胃,0）

对称中心(kn,0)瞪°)

,.71

对称轴方程X2

【常用结论】

1.对称性与周期性

⑴正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是3个周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是5个周期.

⑵正切曲线相邻两对称中心之间的距离是3个周期.

2.奇偶性

若/W=4sin(ft)x+0)(A,3r0),则

(IVU)为偶函数的充要条件是8=3+E(A£Z).

(2"(x)为奇函数的充要条件是(p=kR(kS).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(l)y=cosx在第一、二象限内单调递减.(X)

(2)若非零常数T是函数人r)的周期，则47U是非零整数)也是函数7U)的周期.(J)

(3)函数)，=sinx图象的对称轴方程为x=2E+，(Z£Z).(X)

(4)函数)，=tanx在整个定义域上是增函数.(X)

【教材改编题】

1.若函数y=2sin2x-1的最小正周期为7,最大值为A,则()

A.T=兀，A=1B.T=2?i,A=1

C.T=7t,A=2D.7=2兀，A=2

答案A

2.函数产一lan(2x一引的单调递减区间为.

口案(j+予勺+引伏EZ)

解析由一提+E〈2x—苧g+E(kWZ),

得1+4%寻+枭&£Z),

所以)，=一tan(2x一引的单调递减区间为竽，竽+9)优£Z).

3.函数y=3-2cos(x+g的最大值为,此时％=.

37r

答案57+2E(%£Z)

解析函数y=3-2cos(x+；)的最大值为3+2=5,此时x+：=ir+2E(k£Z),即尸乎+

2E伏£Z).

■探究核心题型

题型一三角函数的定义域和值域

例1(1)函数尸{cOSL坐的定义域为()

「It71

A「6,6

B.[E—5，E+5jkwZ)

cl2^71—2E+2

D.R

答案C

解析由cosx—,得COSX

・・・2Ef«2E+/MZ.

(2)函数_/U)=sin(2x+岑)-3cosx的最小值为.

答案一4

解析,・\/*)=sin(2x+冬)I-3cosx=­cosZr-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=­2(cos

17

+g,—IWCOSXWI,・••当cosx=l时，.")有最小值一4.

(3)函数_y=sinx—cosx+sinxcosx的值域为

I+2啦

答案2r1

I-/2

解析设/=sinx-cosx,则pnsiMx+cosZx-2sin.tcosx,Asinxcos.r=

2，

且一

II

・•・)=—2+/+]=—*—1产+1,y[—也，y[2].

当f=l时，)，max

।1+2由

当f=一立r时，)，min=——2~

I+26；

・•・函数y的值域为2，i・

思维升华三角函数值域的不同求法

（1）把所给的三角函数式变换成），=Asin（口x+8）的形式求值域.

（2）把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值战..

（3）利用sin壮cosx和sinxcos%的关系转换成二次函数求值域.

跟踪训练1⑴（2021•北京）函数加尸cos.r-cos2t,试判断函数的奇偶性及最大值（）

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为］9D.偶函数，最大值为19

答案D

解析由题意，

.r）=cos（­X）-cos（-2r）

=cosx—cos2x=fix）1

所以该函数为偶函数，

Q

所以当cosx=w时，yu）取最大值g.

(2)函数y=lgsinxX—与的定义域为

答案x2kit<x^+2k7t,kGZ

J

sin.v>0,

1-

Icosx-2^0,

sinx>0,2E<x<兀+2E,

即々解得(代Z),

COS%W，

所以弧4q+2履，AWZ.所以函数），的定义域为x2履v%q+2E,kGZ.

题型二三角函数的周期性与对称性

例2（1）（2023・武汉模拟）已知函数於）=3sin（2i+",则下列说法正确的是（）

A.图象关于点。0）对称

B.图象关于点停0）对称

C.图象关于直线x=器对称

D.图象关于直线工=号对称

答案C

解析由题可得，设2x+/=E,&EZ,解得尸第一击」£Z,所以函数4r）的对称中心为

仔一有0）/£Z）.

设2x+1=E+^,kGZ,解得尸g+5，〃£Z,所以函数府）的对称轴为尸件+*&EZ）,

通过对比选项可知，/&）的图象关于直线工=袭对称.

（2）函数,©）=3sin（2x一冷+J+1,^e（0,兀），且於）为偶函数，则伊=,段）图象的

对称中心为.

答案?售+与,O,g

解析若/U）=3sin（2x—力+夕）+1为偶函数，

则一々+8=E+3，k^Z,

即9=系+反，kGZ、

又•.•伊仁⑴，7t）,

・

,•L6,

•\/（x）=3sin（2i+4）+1=3cos2x+1,

由2x=5+E,火£Z得4=：+竽，k£Z,

••孙）图象的对称中心为（；+冬1）,kGZ.

思维升华（I）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin或1y=4tancox

的形式，而偶函数一般可化为y=AcosGX的形式.

（2）周期的计算方法：利用函数产Asin（Q）x+w）,产Acos（s+p）（Q»（））的周期为书，函数尸

人由（5+*）（（0>0）的周期为需求解.

跟踪训练2⑴（2022.新高考全国【）记函数段）=，8+甜伏&»0）的最小正周期为工若与

<T<it,且），=/5）的图象关于点作，2）中心对称，则/《）等于（）

35

B-C-3

A.22D.

答案A

解析因为胃"力，所以矢条兀，解得2＜口＜3.

因为y=7U）的图象关于点传，2）中心对称，所以6=2,且sin6％+；）+b=2,即sin（M＞+；）

=0,所以及o+a=E（A£Z）,

rCC工八？13兀3兀兀［9兀

又2＜（。＜3,所以丁-，

所以桨°+：=4兀，解得①=|,

所以人幻=sin（|x+；）+2,

所以/0=5皿©乂5+：）+2=5111¥+2=I.故选A.

（2）（多选）（2023•苏州模拟）已知函数府）=信心一分，则下列结论止确的是（）

A.人幻的最大值为小

B.凡丫）的最小正周期为兀

C./（工一制为奇函数

D.人工）的图象关于直线X=喈对称

答案ABD

解析因为函数/（X）=小sin（2x一§,

所以7U）的最大值为小，A正确；

最小正周期7=争=兀，B正确；

/（x—强）=小sin^Q-^J—即=小sin（2x—?=一小cos为偶函数，C错误；

Kx）的对称轴满足2r—*=g+E,kGZ,当2=1时，X=当，故D正确.

题型三三角函数的单调性

命题点I求三角函数的单调区间

例3函数以尸sin停一2x）的单调递减区间为.

答案［/一去也+瑞，kWZ

解析段）=sin住一时的单调递减区间是危尸sin（2x一号的单调递增区间.

由2E—4WZv—依+百，%£Z,

Z3j

得E-盍WxWE+瑞，A£Z.

故所给函数的单调递减区间为［E—+，E+碧］,k《Z.

延伸探究若函数不变，求在［0,汨上的单调递减区间.

解令4=［也一有E+1,kGZ,

8=［0,7T］,

：.AQB=0,KH号,4

；,/（幻在［0,兀］上的单调递减区间为［o,招］和［晋，兀］

命题点2根据单调性求参数

例4（1）（2022・淄博模拟）若函数，小）=cos（x—§在区间［―〃，〃］上单调递增，则实数。的最大

值为（）

.兀C兀-271c

AyB-2C・"yD.兀

答案A

解析函数/）=cos（L§的单调递增区间为［—专+2桁，三+2也卜0,而函数小）又在

一心一干

［-a,a］上单调递增，所以今aW.于是0<〃靖，即。的最大值为争

aW;

（2）（2023・晋中模拟）己知函数人r）=sins+小coscox（（o>0）,且在你守上单调递增，则满足

条件的切的最大值为.

13

答案y

解析/U）=sin①x+#coscox=2sin（cux+§（co>0）.

由2E—wWgx+wW2E+5，kGZ,得一丁Wx4十丁，A£Z,

232（ob（oMba）

..J"）的单调递增区间为［等一篇，等+含］（«ez）.

皿乙女兀兀-

由t题知，Gfit5乒匕T—B5京2kn+.菰n」，

2kit5n7t

co6to、3'

n丁.n，一~

户—+广，ke%,

,2co6QJ

・・・6左一jteZ.Va»O,・,・当女=0时，一、WTW；,

0v〃）W；；

713

当A=1时，

LJ

当k2,kRZ时，①£0,

--12

••①max-3•

思维升华（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如），=/lsin（Q）x+9）或y=Acos（Q）x+e）（其中切>0）的单调区间时，要视“cur+e”为一个整

体，通过解不等式求解.但如果S<0,可先借助诱导公式将g化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数的单调区间求参数

先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

跟踪训练3（1）（2022•北京）已知函数凡i）=cos2x-sin2x,贝ij（）

A.段）在（甘，一§上单调递减

B.府）在（一小日上单调递增

c.凡丫）在（o,上单调递减

D.以）在俘，用上单调递增

答案c

解析依题意可知flx）=COS2A—sin2x=cos2x.

对于A选项，因为x£（一：,一§,所以2（£（一兀，—J）,函数於）=cos2x在（一方一季）上

单调递增，所以A选项不正确；

对于B选项，因为x£（一：,帝），所以2x£（一全聿），函数加）=COS2A•在（一；，而上不单

调，所以B选项不正确；

对于C选项，因为x£（0,1），所以2x£（0,引，函数7U）=cos2r在（0,§上单调递减，

所以C选项正确；

对于D选项，因为八七保书），所以"任，芝），函数於）=cos2x在保⑶上不单调，

所以D选项不正确.故选C.

(2)已知函数危)=sin，ox—点)(①>0),则“函数危)在看，y上单调递增”是“0v①〈2”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析*尼,用,喙-狂3-狂失弋,

由于函数./U)在原空上单调递增，

〃兀兀、7C.八,

不切一不2一2+2反，

・•・〈2兀TT^TC...(A£Z),

不忘5+24兀，

、/>0

①2一2+12k,

解得<<oWl+3鼠(HZ),

(y>0

故」只能取O即0〈8W1,

，'函数段)在其引上单调递增”是“0<<”<2”的充分不必要条件.

课时精练

q基础保分练

1.函数_/U)=-2tan(2v+3的定义域是()

)

B.lxxW一言

C.x/E+/A£Z),

D：x/竽+物£2)，

答案D

解析由21+5工布+3，k.WZ,得xW"+筋£Z）.

2.（2023•赣州模拟）已知於）=$而，+习一/则火用是（）

A.奇函数且最小正周期为兀

B.偶函数且最小正周期为兀

C.奇函数且最小正周期为2冗

D.偶函数且最小正周期为2兀

答案A

ZX11-cos（2.r+?J

解析7（%）=$评卜+/—5=--------2------J—E=]sin2x,故7U）为奇函数，且最小正周期为7

_2n_

=2=兀.

3.若函数产43（25—习3>0）两对称中心间的最小距离为参则①等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析因为函数产于cos[2s-g（30）两对称中心间的最小距离为去

所以苧=],所以7=冗，所以7=焉=兀，解得①=1.

4.（2023・广州模拟）如果函数4i）=sin（2x+。）的图象关J点（一争称，则网的最小值是

（）

〜兀八〜兀

.re-57r4

A.TOB.T3C.7O"D.3f

答案B

解析根据题意，sin（—2乂争+0=0,

47r

即一百~~\-（p~kny/6Z,

47r

解得夕=E+7，k£Z,

当）=-1时,Ml取得最小值全

5.（多选）（2022•海口模拟）已知函数7U）=sinx-cosx,则下列结论中正确的是（）

A.7U）的最大值为也

B.段）在区间［o,用|上单调递增

C.段）的图象关于点传0）对称

D.yu）的最小正周期为兀

答案AB

解析y（x）=sinx—cosx=^siii（x—£）,

对于A,/U）max=6，A正确;

对于B,当武0,竽］时,L权［-今,司,

由正弦函数在［一；,手上些调递增可知府）在［。，用上单调递增，B正确；

对于C,当x=竽时，工一；=看则於）关于直线尸华成轴对称，C错误：

对于D,凡r）的最小正周期丁=2兀，D错误.

6.（多选）（2023•汕头模拟）对于函数以）=|sinH+cos2x,下列结论正确的是（）

9一

曲-

X,

A.8

一

B.府）在［o,外上单调递增

C.火幻的图象不关于直线对称

D.兀是/U）的一个周期

答案ACD

解析fi_x+7t）=|sin（x+n）|4-cos2（x4-7t）=|sinx|+cos2x=fi_x）,

所以九是函数Kt）的一个周期，故D正确；

对于A,因为7U）的一个周期为兀，令x£［0,兀］,此时s:nx20,

所以y（x）=sinx+1—2sin2A,

令/=sinx,g（/）=—2尸+/+1=—2（L可知其值域为0,g,故A正确;

对于B,由A可知，刎在［（）,小单调递增，在Q,l］上单调递减，

因为f=sinx,ft［0,1］,

所以在［o,胃上不单调，故B不正确；

对于C,因为人0）=1,/g）=0,

所以人0）司（舒,

所以7U）的图象不关于直线对称，故c正确.

7.（2022•汕头模拟）请写出一个最小正周期为兀，且在（0,1）上单调递增的函数加）=.

答案tanx（答案不唯一）

解析根据函数最小正周期为兀，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在（0,1）上

单调递增，构造即可，

如/U）=tanx满足题意.

8.（2023・吉林模拟）已知函数以尸sin&+Q）（0W好兀）在他，上单调递减，则少的取值范

围是•

答案卜卢兀

解析当不£（去兀）时，5+勿£（8+；,9+勺，

又函数外）=sin（；x+,（0W0W兀）在住八）上单调递减，

所以5+°£（9+/

所以解得卜少，.

3+产亏,

9.已知函数y（x）=*\/§cosAsinx+sin2x.

（I）求函数/U）的最小正周期和单调递增区问；

（2）求函数/（幻在区间［一堂，田上的最大值和最小值.

解（1孙）=V5cosxsinx4-sin2x=^sin2x—^cos2x+T=sin（2x一5）+；,

・•・函数•/U）的最小正周期为2号7r=兀，

令一£+2EW2X—kGZ,则一/与+履，kGZ,

・•・函数."x）的单调递增区间为［一袁+既，W+e］，kGZ.

入、..「兀兀］.人兀「兀兀

⑵・xQ—亍2补•⑵,一胪［-E3，6J5

则sin（2x—5）£［—1,1］,・\"）£—|,

・•・函数府）在区间［一季!上的最大值为子3最小值为一点1

10.(2022•北京模拟)已知函数yu)=sin(s+9)(c0>o,|冰号，再从条件①，条件②，条件③

这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使7U)的解析式唯一确定.

(1)求人工)的解析式;

(2)设函数.)=%)+4+5)，求g(x)在区间［(),即上的最大值.

条件①：7U)的最小正周期为m

条件②：7U)为奇函数：

条件③：风。图象的一条对称轴为直线工号

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)选择条件①©:

由条件①及已知得7=评小所以①=2.

由条件②«0)=0,即sin8=0,解得o=E(&£Z).

因为1夕1崎，所以8=0,所以7U)=sin2x.经检验8=0符合题意.

选择条件①③：

由条件①及已知得7=产=兀，所以。=2.

co

由条件③得2X：+e=E+品£Z),解得*=E(A£Z).

因为1初4，所以。=0.所以7U)=sin2v.

(2)由题意得g(x)=sin2x+sin(2x+W),

化简得^(x)=|sin2丫+坐cos2『小sin(2r+。.因为044，所以狂2丫十狂看，

所以当法+5=会

即尸焉时，g(x)取最大值币.

,综合提升练

11.函数./U)=sin(sx+°)(G>0,一/)<。在区间(0,1)上不可能()

A.单调递增B.单调递减

C.有最大值D.有最小值

答案B

解析当工£(0,1)时，因为3>0,所以

因为甘〈同，所以一匆戊+冶+①，

令cox-\~（p=ty所以尸sin｛一声诏+①），

当一畀2EWf/+2E,£Z时，尸sin，单调递增，

乙乙

故人丫）在（0,1）上不可能单调递减.

12.（多选）（2022・新高考全国H）已知函数/U）=sinOr+s）（0<s<2的图象关于点得，0）中心对

称，贝iJ（）

A.府）在区间（0,招）上单调递减

B.人幻在区间（一自，母）上有两个极值点

c直线.『卷是曲线），=/）的对称轴

D.直线y=^—x是曲线y=/（x）的切线

答案AD

解析因为函数人外的图象关于点俘，0）中心对称，所以sin（2X牛+3）=0,可得竽+少=

E（%EZ）,结合0<夕<兀，得夕=专，所以y（x）=sin（2x+专）

对于A,当x£（（）,招）时，2r+ye（y,y）,所以函数人x）在区间（0,招）上单调递减，故

A正确；

对于B,当（一冷片）时，2x+yG^,为，所以函数府）在区间（一古，岩）上只有一

个极值点，故B不正确；

对于C,因为/（第）=5布（2乂,+号）=4113兀=0,所以直线,丫=器不是曲线），=/（好的对称轴，

故C不正确；

对于D,因为/'（x）=2co（2%+亨），若直线y=^—x为曲线y=/U）的切线，

则由2cos（2x+竽）=—1,得2x+号=2版+竽或2x+牛=2E+与优WZ）,

所以x=kn或x=女兀+界£2）.

当x=E（正Z）时，,"）=乎，

则由节=与—E（A£Z）,解得2=0；

当尸时，府）=一坐

方程一坐=坐一E一界WZ）无解.

综上所述，直线丫=坐一/为曲线y=/（x）的切线，故D正确.

13.（2023•福州模拟）已知三角函数人幻满足：①/（3—x）=-/U）；②/U）=/U—x）；③函数/U）

在（o,§上单调递减.写巴一个同时具有上述性质①②③的函数yu）=.

答案2sin&+歆答案不唯一）

解析对于①，若,43—x）=—/U）,则於）的图象关于点g0）中心对称；

对于②，若人幻=人1一工），则次＞）的图象关于直线对称；

设府）=2sin（3+°）,贝』7=4X0—）=4,a）=^,

又«x）的图象关于直线x=；对称，且函数应丫）在（0,，上单调递减，

则与+w=U+2E,kWZ,得夕=芳+22兀，kSZ.

NN”

所以可令人x）=2sin&+弟，答案不唯一.