2025-2026学年福建省泉州市晋江市某中学等校高一（下）第二次质检数学试卷（含答案）

2025-2026学年福建省泉州市晋江市侨声中学等校高一（下）第二次质

检数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z（l-i）=3+i,贝收的共规复数5=（）

A.1-2iB.1+2tC.-1-2iD.-1+2i

2.设n是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若m//a,n//a,则7n//n

B.若抽〃口，mln,则Ti1a

C.若小〃。，TH1nip,则a///?

D.若a〃夕，maa,nc/?,则m〃"或zn,n是异面直线

3.如图，在正方体4BCD-&BiCiDi中，对角线41c与平面力BCD所成角的正弦值为（）

4.在△ABC中，a、b.c分别为角A、B、。的对边长，1+cosA=2黄，则三角形的形状为（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.正三角形D.直角三角形

5.已知圆铢的底面半径为C，侧面展开图的圆心角为亭，则圆锥的表面积是（）

A.2yf3nB.6cliC.87rD.127r

6.已知平面向量高石满足同=\b\=1,\a-2b\=2,则向量五一方在向量益上的投影向量为（）

3531

A.；QB-aC•—；QD.一丁Q

4444

7.在^ABC中，内角48,C的对边分别为a,b,c,已知上BAC=浮边BC上一点。使律4。=2,且乙&4。=[

Co

则G8+C的最小值为（）

A.273B.4<3C.8/3D.8

第1页，共10页

8.已知非零向量彳5与无满足+隽)•近=0,且I而一前I=2度,|而+正I=6合，点D是AABC

|力。|

的边48上的动点，则而•沆的最小值为()

7

A.-1CD.-

--|8

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是()

A.若复数z=(3+4i)•3则|z|=5

B.若复数Z[=2-i,Z2=3+4i,则复数z1+z2在复平面内对应的点在第一象限

C.b工0是复数a+bi(a,bGR)为虚数的充分不必要条件

D.若发数1+2i是关于％的实系数方程2x2+px+q=0的一个根，则p+q=6

10.在△48C中，。是8C的中点，E是线段力。上的点，过E作一直线分别与48,AC交于点M,N,设荏=人而,

AM=xAB,询=y近，其中九x,y€(0,1),则下列结论正确的是()

A.^AB=6,AC=8,Z.BAC=120°,MFC=4/2

3若48=6,AC=8,Z.BAC=120°,则40=/II

C.若％=3，y=I，则4=5

D.若2=',贝k+2y的最小值为1+6V7

11.正方体4BC。一力i/GDi的棱长为2,点Q为线段上一动点，则()

A.三棱锥B-BiCQ的体积为定值

B.直线B】C与直线48所成的角为60。

仁在(2点运动过程中，有CQlBi。

D.当Q为的一个三等分点时，平面当QD截正方体力8co-A/igDi所得

的截面面积为2/6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知两点4(3,-4),8(-9,2),若而而，则点P的坐标为.

13.在486?中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.己知48。的面积为2□，匕一c=3,cosA=-1,则。=—

14.若一个正四楼台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为争，则该台体的外接球的表面积

为一•

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第2页，共10页

15.(本小题13分)

已知向量瓦石7是同一平面内的三个向量，其中五=(1,-1).

(1)若同=44，且■?/〃，求向量而勺坐标；

(2)若了是单位向量，且/_L0+25),求五与1；的夹角以

16.(本小题15分)

在△48C中，角力，在C的对边分别为a,b,c,已知讥C=a-bcosC.

(1)求角8的大小；

(2)若。=46，再从条件⑦、条件②、条件簸三个条件中选择一个作为已知，使得△48C存在，求4C

边上的高.

条件⑦：b=C；条件②：sin(A-C)=1；条件③：瓦？•劭=24.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥中，△尸力。是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，AD//BC,乙BAD=

60S6。=1,E是P0的中点.

(1)求证：CE〃平面P4B；

(2)画出平面P4B与平面PCD的交线(保留作图痕迹)；

(3)若481PB,求证：平面PHOJ_平面？WCD.

18.(本小题17分)

如图所示，某区有一块空地△048,其中04=4km,OB=4/cn,乙力。8=120。.当地区政府规划将这块空

地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖aOMN,其中M,N都在边力8上，且/MON=60。，挖出

的泥十.堆放在△。4M地带上形成假山，剩下的408/7地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在人工湖40MN

的周围安装防护网.

第3页，共10页

(1)当4M=时，求防护网的总长度；

(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定心力0M的大小：

(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？

最小面积是多少？

19.(本小题17分)

如图所示，在直角梯形BCE/中，BF//CE,乙BCE=90。,4。分别是BF,CE上的点，^AD//BC,ED=2AF=4,

CD=t(0<t<5),BC+CD=5,将四边形ADEF沿4。向上翻折，连接BE,BF，CE,在翻折的过程中，

记二面角£一力。一。的大小为a,(0<a<7r).

(1)当。=2,以=飘，求三棱锥E-A0C的体枳;

(2)若平面FBE，平面CBE.

嫌证：BF1CEx

②求cosa的最小值.

第4页，共10页

参考答案

\.A

2.D

3.D

4.0

5.0

6.A

l.C

8.C

9.ABD

\0.BC

11.ACD

12.(-1,-2)

13.5

141552

1,4

15.解：已知向量瓦石工是同一平面内的三个向量，其中往=(1,一1).

(1)设？=(x,y),由回=4门，且Z/伍，

flxy-(-l)xx=0

+y2=48，

x=~2%或x=2-/6

所以

y=y=—2，^'

板=(-2V6,2源)或？=(2x/6,-2V6)；

(2)若b是单位向量，a=(1,-1),

则同=l,|a|=<2,又五10+2办，

所以五•(3+2万)=0,即五2+2有5=0,

所以五1=_萼=_1,

根据两向量的夹角公式可得cos。=就=-a=-苧

因为夹角6£[0,网，所以N与加勺夹角”掌

16.解：(1)因为V3bsiTiC=a-bcosC,

第5页，共10页

由正弦定理得：\p3sinBsinC=sinA—sinBcosC,

因为sin4=sin[7i—为+0]=sin(F+C)=sinBcosC+sinCcosB,

所以CsinBsinC=cosBsinC,

因为C£(0,7T),所以sinCh0,可得：>/~3sinB=cosB,

所以也钻=黑=苧,

因为8W(0,TT),所以8=*

(2)选择条件①：b=>/~3,且3=看，又a=4\/3,

由弦定理急=焉'可得sE4=^=今哇=2,

因为si7M=2>l,所以这样的△48。不存在；

选择条件②，因为力+B+C=7r,且8=3

O

所以4+。=兀一户手则力=,—C,由sin(4—C)=l,可得sin/一2C)=1,

因为4€(0,兀)，CG(0.TT),所以一-2c=%解得C=1所以4=名，

。4OO

由正弦定理，可得匕_asinB_4_xsi错_4、.xg

W儿〃、正往siM」,由a叫何0一7M—SE红一0%

3~

因为4=B=C=S可得b=c,

5o

设4C边上的高为九，可得面积为5=1acslnB=；bh,所以九=

LLb

ll-4V3x4si暇.—

所以八二--~S=2g

4

选择条件③：由瓦？•近=24,

根据向量的数量积的公式，可得瓦？•瓦:=|瓦?||前|cosB,所以accosB=24,

因为8且Q=4，^,所以46・cx半=24,解得c=4,

由余弦定理〃2=a2+c2—ZaccosB,

可得尼=(4/3)2+42-2x4/3x4x苧=16,所以b=4,

设4c边上的高为九，可得面积为S=Jacsi7i8=：bh,所以八=竺警，

zZb

“-4/3x4sinJ,—

所以八二一7~~-=2/3.

4

第6页，共10页

17.解：(1)证明：在四棱锥P-ABC。中，取PA中点心连接EF,BF,

由E是PZ)的中点，^EF//AD,EF=^AD=1,

R

BC

又因为AD//8C,BC=1,所以EF//8C,EF=BC,

所以四边形是平行四边形，

所以CE//B凡又CEC平面/MB,8/u平面P4B,

所以CE〃平面P4B.

(;2)在四棱锥P-/8CD中，延长4B,DC交于M,连接PM,则PM是平面P4B与平面PCD的交线.

M

理由如下：因为ABCCD=M,所以MEABu平面PAB,

同理MeCDu平面PCD,所以ME平面24B0平面PCD,

又因为P€平面248n平面PCD,所以平面248n平面PC。=PM,

因此PM是平面/MB与平面PCD的交线.

(3)证明：在等腰梯形4BCD中，AD//BC,过点B作BGJ.40交4D于点G,

第7页，共10页

rtlZD=2,BC=1,Z-BAD=60°,所以4G=-8。)=J，

在直角三角形ABG中，AG=^,^BAD=60°,得AB=1.

在△48。中，由余弦定理得BD=J22+12—2x2x1x3=4,

所以4屏=4B2+B“2,所以48,8。，

又因为力BJLPB,PBCBD=B,PB,BOu平面尸8。，

因此481平面PBD,

而4Bu平面4BCD,

所以平面PBD1平面4BCD.

18.解：(1)易知NQ4B=乙34=30。,

OM2=OA2+AM2-2OA-AMcosZ.OAM=16+拶-16=学，解得OM=婴,

则，。48=ZA0M=30°,所以NOMN=60°,

则aOMN为正三角形，周长为3乂手=4/1,所以防护网的总长度为44女侬

(2)设41OM=8(0。<3<60°),

S4QMN=OS&OAM，则*ON•OMsin600=30AoMsin。,解得°N=8sE。，

ON_OA_4

sin300=sin(0+6O°+3O0)=cosd'

解得。N=总，即8si〃”焉，

根据三角恒德变换可得s出2。=

乂0。<6<60。，所以0°<20<120°,

则20=30°,则6=15°,Z-AOM=15°；

(3)设乙4OM=8(0。<0<60°),

OM_。4—2

sin30°-sin(0+3O0)*解付0M-sine+30。)'

1V3V3

S^QMN=50M-ON-sin60°=

sin(。+30°)cos。一.八1八、八

(smO+2cos8)cos。

、

=-=-----2--/-3-------="=------4--/-3---------=-------4--G-------->-4-/-3-♦

v3sin0cos0+cos20yf3sin20+cos2O+l2sE(2J+30°)+l-3

当且仅当2。+30。=90。，即8=30。时，/XOMN面积取最小值为警km?.

第8页，共10页

19.解：(1MD1DC,AD1DE,且DCnDE=Z),则AD1面EOC,

因为上EOC为二面角£一AO-C的平面角，所以4