第十二章 定义 命题 证明（知识清单）-苏科版七年级数学下册【含答案】

第十二章定义命题证明

定义：对名称/术语的含义作出明确规定

一、定义与命题定义：判断一件事情的语句

结构：条件+结论（若…则…）

命题

只命题：成立的命题

假命题：不成立的命题（举反例即可）

基本事实：公认真命题，不需证明

二、基本事实与定理定理：经推理证实的真命题

公理、基本事实、定理都可作为推理依据

定证明：判断命题为真的推理过程

义审跄意T找条件与结论

、画图形T标字母

命三、证明证明步骤

写已知、求证

题

'写推理过程（步步有据）

证依据来源O----------------定义、基本事实、定理、已知条件

明定义：条件与结论互相交换的两个命题

原命题1逆命题

四、互逆命题

原真，逆命题不一定真

原假，逆命题不一定假

思路：先假设结论不成立

五、反证法（初步认识）

推出矛盾-假设错误-原命题成立

逐辎推理

六、本堂思想方法举反例（证低命题）

规范表达：

知识清单

1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说“给概念下足

义”.根据概念的定义，就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念.给概念下定义时要

求语营简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象.

2.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真，要么为假，二者必居其

一.3.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成.

4.真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错送的命题称为假命题.

5.互逆命题：一个命题A的条姓是另一个命题B的结论,这个命题A的结论是命题B的

条件,这样个两个命题称为互逆施题，其中一个命题称为原全题，另一个命题称为这个命题

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的逆命题.

6.证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实（加概念的定义,基本性质,真命题

等），用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命

题的过程称为证明.

7.（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1802.

（2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

（3）多边形内角和定理:，?边形的内角和等于-2）・180。

（4）多边形外角和定理：多边形的外角和等于360。.

（5）平行线的性质定理：平行于同一条直线的两条直线%i.

8.定理：一般情况下，数学中把一些基军的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明

后续命题的依据.

由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的腿.

9.反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法

叫作反证法.

用反证法证明一个命题的步骤一般为：

（1）先假设命题的结论不成立;

（2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾;

（3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立.

在说明一个命题是假命题时，常用"举反例''的方法.举反例的关键是找到一个符合命题及

住，但不符合命题结论的例子.

易错总结

一、定义概念的理解：

注意：

（1）定义是对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,这里要求语句要明确，

不能模棱两可，模糊不清，例如，不能够使用“一些”，“大概”，“差不多”等词语.否则就不

能作为一个概念的定义.

（2）定义中通常含有“叫做”“称为”等词语.通过这些词语可以很方便地判断出这句话是不

是某个概念的定义.

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二、命题的概念和构成：

注意：命题通常由条件和结论两部分构成.一般情况卜，命题的条件用“如果”，“若”等字样

引出，命题的结论用“那么”、“则”等字样引出，若命题中没有“如果……，那么……”或者

“若……，则……”，那么可以先将命题改写成“如果……，那么……”或者”若……，

则……”形式，再确定命题的条件和结论.

三、如何说明一个命题是假命题

一个命题如果是真命题，通常可以采用证明的办法证明其正确性即可.而如果一个命题如果

是假命题，•般可以采用举反例的方法来证明是错误的，也就是假命题，举的反例越简单越

好，一个反例即可.

四、互逆命题的理解

注意：互逆命题中的原命题与逆命题是一个相对的概念，例如命题A的条件是命题B的结

论：命题A的结论是命题B的条件.我们如果把命题A当作原命题,则命题B就是命题A

的逆命题；如果把命题B当作原命题，则命题A就是B的逆命题，这两个是相对的关系，

就类似于相反数的概念一样.

易错训练

知识点1训练：定义的概念与识别

1.下列语句中，属于定义的是（）

A.对顶角相等B.三角形的内角和等于180。

C.数与字母的乘积叫作亘项式D.两直线平行，内错角相等

2.下列语句中，属于定义的是.（填序号）

①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；

②只有符号不同的两个数称为互为相反数；

③你的作业做完了吗？

④天空真蓝啊！

⑤如果两个角的度数之和等于180。，那么这两个角互为补角.

3.下列语句中，是命题的是（）

A.两条直线被第三条直线所截B.两直线相交吗

C.过直线外一点作这条直线的垂线D.内错角相等

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知识点2训练：正确识别命题

4.下列语句中，属于定义的是（）

A,两直线平行，同位角相等B.同角的余角相等

C.垂线段最短D.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形

5.下列语句是命题的是（）

A.延长线段48B.垂线段最短C.作直线/D.平行线与垂线

6.下列语句，不是命题的是（）

A.两点之间线段最短B.连接48两点

C.任何一个三角形一定有直角D.等角的补角相等

知识点3训练：命题的构成

7.命题：“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等请写出这个命题的题设是.

8.命撅“对顶角相等”的条件是,结论是.

9.命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是,结论是

知识点4训练：判断命题的真假

10.下列命题是真命题的是（）

A.若小二〃二则〃?二〃B.内错角相等

C.等角的补角相等D.若直线a_Lc,blcf则。〃力

11.下列命题，是真命题的是（）

A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.相等的角是对顶角

C.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行

D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

12.下列命题是真命题的是（）

A.若N1=N2,Z2=Z3,贝ljN1=/3

B.同位角相等

C.如果/="2,那么a=6

D.如果直线"_L石，b//c,那么。〃c

知识点5训练：举例说明假命题错误

13.要说明命题“若〃?<〃，则〃?2<〃2”是假命题，能举的一个反例是（）

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A.ni=2,n=3B.//z=—1,n=2C.m=-4,〃=3D.w=0,〃=3

14.判断命题“如果〃<1,那么〃JIvO”是假命题，只需举出一个反例.反例中的〃可以为

（）

1

A.-2B.——C.0D.1

2

15.下列选项中，可以用来验证命题“若/>从,则八是假命题的反例是（）

A.a=3,b=2B.a=2♦b=3

C.6Z=-3,b=-2D.a=-2tb=-3

知识点6训练：写出一个命题的逆命题

16.”如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是.

17.命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是.

18.已知命题“若a>b,则/>〃"，写出这个命题的逆命题.

知识点7训练：证明一个命题为真命题

19.如图，点。，E,F分别是三角形力8c的边8C,CA,彳月上的点，给定以下三个条件:

@DE//BA,@^FDE=^Ax@DF//CA.请从这三个条件中选择两个作为条件（放在

已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明.

已知：,.

求证：.

证明：

20.命题：在同一平面内，垂直丁同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的

已知、求证，并证明.

21.如图，有如下四个论断:①4C〃OE：②。。〃所；③CZ）平分N8。：④E/平分NBEQ,

请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题

并证明它.

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B

知识点8训练：关于定理的说法判断

22.下列语句中，属于定理的是（）

A.在直线上取一点£

B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C.作射线48

D.同角的补角相等

23.下面关于公理和定理的说法正确的是（）

A.公理是真命题，但定理不是B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理和定理都可以作为推理论证的依据D.公理和定理都应经过证明后才能使用

24.下面关于公理和定理的说法不正确的是（）

A.公理和定理都是真命题

B.真命题可能是定理

C.公理就是定理，定理也是公理

D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

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1.c

【分析】本题考杳了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键.根据定义的概念判断即可.

【详解】解：因为A、B、D中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，

所以都不是定义，只有C是定义.

故选：C.

2.②⑤

【分析】此题考查了定义，根据相反数、补角的定义和对顶角、邻补角、三角形的外角性质

判断.

【详解】解：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不属于定义：

②只有符号不同的两个数称为互为相反数，属于定义；

③你的作业做完了吗？，不属于定义；

④天空直蓝啊！,不属干定义：

⑤如果两个角的度数之和等于180。，那么这两个角互为补角，属于定义.

故答案为：②⑤.

3.D

【分析】命题的定义：判断•件事情的语句叫做命题.

【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题.

B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题.

C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题.

D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题.

4.D

【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解.

【详解】解：A、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义；

B、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义：

C、垂线段最短是基本事实，不是定义；

D、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属

于定义.

5.B

【分析一］根据命题的定义逐一-判断各选项即可.

【详解】解：A、“延长线段是操作描述，没有对事情作出判断，不是命题：

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B、“垂线段最短”对线段长度的性质作山r判断，符合命题的定义，是命题；

c、”作直线厂是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题；

D、“平行线与垂线”是两个几何名词，没有对事情作出判断，不是命题.

6.B

【分析】命题是判断一件事情的语句，解题只需根据定义逐一判断选项即可.

【详解】解：选项A,C,D都对对应事件作出了明确为断，都属于命题：

而选项B连接48两点只是作图操作指令，没有对任何事件作出判断，不属于命题.

7.两条平行线被第三条直线所截

【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中"如果”所引出的部分是题设，“那

么”所引出的部分是结论.

【详解】解：命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等“可改写为“如果两条平行线

被第三条育线所截，那么同位角相等“，因此坡个命题的题设为两条平行线被第三条直线所

截.

8.两个角是对顶角这两个角相等

【分析】根据命题的概念，命题可改写为“如果…那么…”的形式，“如果''引出的部分是条件,

“那么'’引出的部分是结论，据此拆分即可得到结果.

【详解】解：命题“对顶角相等”可改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.其中

条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等.

9.两个相等的角这两个角是平行线的内错隹

【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论.

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.该命题可

以改写成“如果…那么…''的形式，从而确定题设和结论.

【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们

是平行线的内错角”，

所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角

故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角.

10.C

【分析】根据相关数学定义，性质逐一判断各选项即可.

【详解】解：时，可得〃?="或"=一〃，例如鹿=2,〃=-2满足/=吊但加工〃，

••.A是假命题，不符合题怠：

答案第2页，共8页

•••只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题缺少“两直线平行”的前

提条件，

••.B是假命题，不符合题意；

设两个相等的角为。它们的补角分别为180。-。和180。一6，

,:a=B、

.-.180o-a=180°-/?,即等角的补角相等,

・•.C是真命题，符合题意；

•••命题未说明在同一平面内，不在同一平面时，直线。得不到。〃力，

••.D是假命题，不符合题意.

11.C

【分析】根据对•顶角定义，平行公理，平行线的判定与性质，逐个判断各选项命题的真假即

可.

【详解】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上,

不存在与已知直线平行的直线，故A是假命题，不符合要求；

B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶

角，故B是假命题，不符合要求；

C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是90。，根据同

位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故C是真命题，符合要求；

D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论,

故D是假命题，不符合要求.

12.A

【分析】根据等量代换，平行线的性质，平方的性质，逐一判断各命题真假，即可得出结论.

【详解】解：A、若Nl=/2,/2=/3,则N1=N3,原命题是真命题，符合题意；

B、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题是假命题，不符合题意：

C、如果白2=/,则a=b或。=-8，原命题是假命题，不符合题意；

D、如果直线］_L%,b//c,那么。_Lc,原命题是假命题，不符合题意：

13.C

【详解】解：选项A：〃?=2,〃=3,满足2<3,且”=4<9=32，满足结论，不是反例；

选项B："7=-1,〃=2,满足-1<2,且（-1『=1<4=2?,满足结论，不是反例：

答案第3页，共8页

选项C：〃?=-4,〃=3,满足-4<3,但(-4)2=16>9=3。不满足结论，是符合要求的反

例；

选项D：加=0,〃=3,满足0<3,且0，=0<9=32，满足结论，不是反例.

14.A

【分析】本题考查了举反例解题，准确从条件;结论两个角度去判断解题是解题的关键.先

比较大小，确定满足条件的数，再代入计算判断即可.

【详解】解：当〃=一2时，满足一2<1,但是n2-l=3>0,

故A符合题意；

117

当〃=一7时，满足一7VI,但是〃2-1=一;<0,

224

故B不符合题意；

当〃=0时，满足0<1,但是〃2-l=-]O,

故C不符合题意；

,•,1不符合条件〃<1,

••.D不符合题意；

故选A.

15.C

【分析】本题考查命题与定理.反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出

正确的选项.

【详解】解:能说明命题“若/>〃，则口>6”是假命题的只有。=-3,b=-2,此时解>从,

但a<6,

故选：C.

16.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题.

【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等''的逆命题是“如果两个数的绝对值

相等，那么这两个数相等”.

17.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线I：

【分析】交换原命题的题设与结论，即可得到原命题的逆命题.

【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等“中，

题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等“，

答案第4页，共8页

交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线匕

18.若则a>6

【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题.

【详解】解：原命题是“若则根据逆命题的定义，将条件和结论

22

“《2>从”互换,得到逆命题“若a>bt则a>b”.

故答案为：若/>/,则“〉方

19.见解析

【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一

个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题.

【详解】解：（答案不唯一）己知：DE//BA,DF//CA,

求证："DE=N4.

讦明：•/DE//BA.

:"FDE=/BFD（两直线平行，内错角相等）.

•••DF//CA,

:Z=NBFD（两直线平行，同位角相等），

/.ZFDE=4.

已知：。£〃历1,/FDE=/A,

求证：DF//CA.

证明：DE//BA,

:.NFDE=/BFD（两直线平行，内错角相等）.

•••4FDE=ZJ,

:Z=NBFD（等量代换）.

DF//CA（同位角相等，两直线平行）.

已知：DF〃CA,N尸短

求证：DE//BA.

证明：DF//CA,

:.^A=^BFD（两直线平行，同位角相等）.

•「ZFDE=NA,

：./FDE=/BFD（等量代