高考数学一轮复习 第八章 第5节 椭圆-含解析

第5节椭圆

9课标要求1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程2掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、

离心率).3.了解椭圆的简单应用.

一［《«««主干梳理基础落实»»»>»—-----------(

知识梳理

1.椭圆的定义

(1)定义:平面内与两个定点Fi,F2的距离的和等于口(大于IHFzl)的点的轨迹.

(2)焦点:两个定点尸I,尸2.

(3)焦距:两焦点间的距离尸尸2|；半焦距:焦距的一半.

2.椭圆的标准方程和简单几何性质

标准

W+*s>o)4+^=i(«>^>o)

11z

方程aab

图形一

J8烟"r丛x

焦点

焦点在X轴上焦点在)，轴上

的位置

——a团工

范围

且--wz>且-aWvWa

IZ]A|(o.-

顶点a,0),A?(a,0),

0),当彷,0)

5(0,力)

轴长短轴长为同lb,长轴长为0二

焦点回回

焦距丁尸2|=血」

对称性对称轴：叵］，对称中心：E3

离心率e=£(0<e<l)

a

a,b,c

/=尻+/

的关系

I常用结论与易错提醒，

椭圆中常见结论

已知产为椭圆上任意一点，尸I,尸2分别为椭圆的左、右焦点，设/尸/后二仇如图所示.

（1）当P为短轴端点时，。最大,SARPE最大；当点户为长轴端点时,0最小为0.

（2）|PF||max=^+C,\PFi\min=a-c.

（3）|PF1|•|尸产2区（四等组）2=/

222

（4）4C=|PF,|+|PF2|-2|PF|||PF2|COSB.

（5）焦点三角形的周长为23+c）.

舞翳才诊断自测蠲

1.思考辨析（正确的打“，”，错误的打"x”）

（1）平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（*）

⑵椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（x）

（3）方程〃常+可，2=1心0,〃?W〃）表示的曲线是椭圆.（）

（4）圻Q（。20）与可+券13历>0）的焦距相同.（M）

2.（人A选修一PIO9Tl改编）设椭圆身+72=1上一点P到焦点长的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的

10036

距离是（B）

A.20B.14

C.2V5D.<14

解析由椭圆的定义知|PQ|+|PBI=2"，又椭圆袅+[=1上一点P到焦点Q的距离等于6,即|PR|=6,且

10036

诉10,所以6+|PF2|=20,故|PE|=14.

3.（人A选修一P115T3改编）已知椭圆的方程为。+（=1,则该椭圆的（D）

43

A.长轴长为2B短轴长为四

C.焦距为1D.离心率为3

解析由椭圆的方程;+彳=1可知焦点在x轴上，即1=3,，=a262=1,则a=2,〃=V5,c=l,所以长轴长

为2a=4,短轴长为2n2百，焦距为2c=2,离心率为：.故选D.

a2

4.（人A选修一Pl16T12改编）若椭圆+则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为3.

43

解析由题意知4=2,b=b，所以c=l,则椭圆上的点到焦点距离为最大值为a+c=3.

-考点突破能力提升——：----------c

考点一椭圆的定义及其应用

【例1】（1）已知动圆M和圆G：（x+l）2+/=36内切，并和圆Cz：G-1）2+9=4外切，则动圆圆心M的轨迹是

(C)

A.直线B.圆

C.焦点在人轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆

解析设动圆的圆心M的坐标为（乂y）,半径为八

因为动圆M与圆G：（x+l）2+）2=36内切，且与圆。2：（片1）2+9=4外切，

可得|MGI=6-几IMC2I二什2,

所以|MG|+|A/C2|=8>|CIC2|=2,

根据桶圆的定义知，动点M的轨迹是以。1,。2为焦点的椭圆，且〃=8,2-2,

可得i7=4,c=1,则b=y/az—c2=V15,

所以动点M的轨迹方程为为+[=1,

1615

所以其轨迹为焦点在X轴上的椭圆.

⑵（2025•湖南长沙模拟）已知点。为坐标原点，椭圆1+之1的左、右焦点分别为点P在椭圆上,

设线段PFi的中点为M,且|OF2l=QM,则△PQ&的面积为（A）

A.V15B.亨

C.3V7D.4V15

解析由题意可得a=3,b=\[S,c=j9-5=2.

如图，因为O,M分别是和PP的中点,

所以|P”2|=2|OM=2|OBI=2C=4,

根据椭圆定义，可得IPE\=2a-\PF2\=2，又因为F2|=2C=4,

所以XPF'F?为等腰三角形，且B到PR的距离为人/PF2『一（等）=底，

故ZiPFiB的面积为g|PFikh=V15.

I思维升华〉

椭圆定义的应用技巧

（I）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

【跟踪训练1]⑴设人B为椭圆C:^+y2=l的两个焦点,点P在。上,若评；•PE=O,则|PQ|・|PEI等于

(B)

A.lB2C.4D.5

解析因为椭圆C：^+y2=1,所以。二2」尸1,c=V3,又因为西•电二0,所以丽1丽，即PF]_L,

设|PR|=〃“〃>0),|PF2|=n(n>0),

贝|J〃7+〃=4,①

且rn2+/r=(273)2,②

由①2-②得2〃〃?=4,即"〃尸2,

所以伊外|・|PEd=2.

(2)已知分别为椭圆C：^+91(4*0)的左、右焦点,A为椭圆C的上顶点，且△ARFz为等边三角

形,过Fi且垂直于AFi的直线与椭圆C交于D,E两点，则ZiAOE的周长为16.

解析由椭圆C[+4=1(4>/?>0)，得折4,

16b乙

因为AAQB为等边三角形，过吊且垂直于的直线与椭圆C交于DE两点，

所以直线OE为线段的垂直平分线，

故用二|石6|,

则AADE的周长为\AD\+\AE\+\DE\=\DF2\+\EF2\+\DFI|+|EFI|=2a+2a=4〃=4x4=16.

考点二求椭圆的标准方程

角度1待定系数法

【例2]求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为旧；

(2)经过点PC-2V3,1)，2(73,-2)两点；

(3)与椭圆[+有相同离心率,且经过点⑵-V5).

43

解(1)由已知.有｛a=2c，解得卜雷

a-c=yJ5,(c=V3,

所以户=9,所以所求椭圆的标准方程为[+?=1或9+[=1.

(2)设方程为"小+肛?=1(〃?>()，〃:>0,〃1W〃),

则有手之二"；，解得卜二*

所以所求椭圆的标准方程为、+[=1.

AOO

(3)椭圆[+<=1的离心率是

432

当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是台+3=1»>0)，

a%D

la2，

a2=8,

Ua2=b2+c

b2=6,

±+±=1

J十b2a

所以所求椭圆的标准方程为=+t=l.

86

当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为今1,

Ja2b2

(鸿，(a2T

所以小=从+*解得；5

导京=LI4

所以横圆的标准方程为卷+~Ts=1.

角度2相关点法(代入法)(考教衔接)

【例3】(2024•新课标II卷)已知曲线。:/+〉2=16()>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP；P'为垂

足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(A)

A.g-^=l(y>0)B.^+^=l(y>0)

C《++()>。)D.(+*2>0)

解析设点M(x,y),则夕'(x,0),因为M为尸P'的中点,所以。(工2)，)，又尸在曲线Y+)，2=16()，>0)上，所以

f+4户16(y>0),即立+—=1(y>0)，即点M的轨迹方程为立+^=1(v>0).故选A.

【教材原题】(人A选修一P108例2)如图，在圆/+)2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD、D为

垂足.当点P在圆上运动时，线段P0的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点。经过圆与x轴的交点时，规定

点M与点P重合.)

【点评】高考题中圆的方程与教材例题中圆的方程仅有半径天同，其他完全一致，都是考查相关点法求方

程.

思维升华〉

求椭圆标准方程的常用方法

1.定义法：根据椭圆的定义，确定抗〃的值，结合焦点位置写出椭圆方程.

2.待定系数法

由初」根据条件判断M的焦点是在x轴上，还是在y轴'

I诈:-上.还是在两不至标轴上都有可使

------\根据上述,断设方程:£+%=|（。>〃>0）或W+二

设方程卜在匕%W

------'=1（“>/»0）或帆「+少。=1（所>0.”>€,且zn/加

找关系赢巳知条件,建立关于a.-c或〃入〃的方程组

:I:,

[一方程卜干3―组，将一代入所设方程，珅得所求:

[提醒]当椭圆焦点位置不明确时,可设为5+?=1（〃?>0,心0,加声〃），也可设为4『+外2=1（2>0,小0且

廿⑶.

3.应用相关点法（代入法）求解.

22

【跟踪训练2】⑴（2026•辽宁抚顺月考）已知两圆G:（『4）4V=169,C2：Cv+4）+y=9,动圆在圆G内部

且和圆G相内切,和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（D）

AY-片=1B.日+q二1

64484864

cH-乃=1DY+日=1

48646448

解析设圆M的半径为r,则|MGI+|MC2|=（13-r）+（3+r）=16>8=|GG],所以M的轨迹是以G.C?为焦点的椭

圆，且2a=16,2c=8,所以a=8,c-4,b=\/a2-c2=4百,故所求动圆圆心M的轨迹方程为土+匕=1.故选D.

6448

⑵己知椭圆+合1（〃20）的离心率为Al,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若西•

网;1,则C的方程为（B）

A.U1B."=I

181698

若+[=1D.y+/=1

解析依题意得Ai（-4,0）,4（。,0）,8（0,6）,所以84产（-4,-/?）,842=（。，-〃），3必•BA；=-（『+〃=-（/-〃）=

c2=-1,故c=l,又。的离心率e=-=!=],所以々=3,/=9,/?2=/"=8,即。的方程为'+匕=1.故选B.

aa398

考点三椭圆的几何性质

角度1离心率

【例4]已知椭圆C:g+合1（心/»0）的左、右焦点分别为Q,F2,若椭圆C上一点P到焦点a的最大距

离为7,最小距离为3,则椭圆。的离心率为（B）

B.-

5

解析由题意可知曰尸|1=4+L=7,|PPi|min=a-c=3,于是可得〃=5,c=2,所以椭圆C的离心率e=-=

a5

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求椭圆离心率或其范围的方法

(I)直接求出a,c,利用离心率公式求解.

a

(2)由，与1的关系，利用变形公式e=11一3求解.

(3)构造的方程，可以不求出c的具体值，而是得出。与c的关系，从而求得e.

角度2与椭圆有关的最值、范围问题

【例5］(多选)已知椭圆Fi,6为左、右焦点,B为上顶点,P为椭圆上任一点，则(AB)

A.SMF/2的最大值为46

B.IPKI的取值范围是［4-26,4+2V3］

C.不存在点P使

D.|PM的最大值为2V5

解析对于A,依题意知a=4,b=2,c=2\f3,当尸为短轴端点时，(5“&户2)0m苫x2cxZ?=4A后，故A正确；对

于B,由椭圆的性质知|PQ|的取值范围是［GC,〃+C］,即［4-2国,4+26］，故B正确；对于C,sinZFfiO=£=~,

2a2

所以所以/尸山心号，即NQPE的最大值为学最小'直为0,所以存在点P使故C错

误；对于D,设P(xo.yo)，所以|心|=《诏+仇-2)2,

又鲁答1,所以就=16-4端

所以|P8|=J16-4需+仇-2)2

二卜3及—4yo+20=J-3(y0+f+g,

又-2Wy()W2,故当y)=1时，

,,3

IP例皿二月=苧，故口错误.

I思维升华〉

与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

【跟踪训练3］⑴(多选)已知椭圆［+\=1(0<*3)的左、右焦点分别为过点Q的直线/交椭圆

9

于A,B两点,若HB|的最小值为4,则(BD)

A.椭圆的短轴长为历

B.|A尸2|+出尸2|的最大值为8

C.离心率为白

D.椭圆上不存在点户，使得/BPBg

解析易知当A3J_x轴时，即线段A8为通径时,依用最短，・・.|A5|=字=4,解得〃=6,，椭圆方程为<+<=1.

396

对于A,椭圆的短轴长为26二2伤，故A错误；

对于B,于△A8B的周长为|A6|+|AF2|+|BF2HA尸1+4尸2|+田为|+|5尸2|=4。=12,且1ABimb=4,J

(IAF2I+IBF2I)max=12-|AB|mi„=8,故B正确;

对于C,；c=y/a*2*4—b2=V3,a=3,离心率e=-=g,故C错误；

对于D,易知当点;5位于短轴端点时，/吊？尸2最大，此时|尸川二尸尸2|=。=3,内尸2|=20=28，・・・8§/

QPA=吆穿空=>0,又NQPF2为三角形内角，，/丹。尸2£(0,以，・••椭圆上不存在点尸，使得/尸田外二看

故D正确.

⑵已知椭圆C[+哈=1(〃>0)的左、右焦点分别为F1,%,A为。上一动点,则鹄的取值范围是[1,3].

解析设椭圆C的半焦距为c(c>0),

则谷"为2=之瞥=笄空仔1,

42\AF2\\AF2\\AF2\

因为|AF2|e[〃-c,«+c],即HBI£L。怖a],所以系-16[p3],

即据的取值范围是L，3].

椭圆的参数方程

中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆的方程,可以采用三角换元，表示成如下两种情况：

焦点在X轴上的椭圆《+*1(4乂>0)£z葭需'(。为参数).

焦点在y轴上的椭圆，匕(8为参数).

z

，Q2b(y=asm?

以上方程为椭圆的参数方程,且方程中的参数〃£[0,2兀).

【应用】⑴设4是椭圆C：Y+?=1的上顶点，点P在C上,则IP用的最大值为(A)

A.-B.V6

2

C.V5D.2

解析・・•点尸在椭圆上，

可设点P(V5cos0,sin0).

易知点8(0,I),所以根据两点间的距离公式得

2

2222

\PB\=(V5COS6)+(sin6-1)=4cos^-2sin夕+2=-4sin%-2sin%6=-4|'sin8+2)+—.

\4/4

易知当sin夕€=0,即sin小二时,IPS/取得最大值二所以|P81gx这

4442

⑵若PG,)，)为曲线上的动点,求点P到直线/:4x-3)M2=()的距离d的最大值和最小值.

解・,・f+)，2=1的参数方程为=:方&(。为参数)，，可设P(2cos"sinO),

4■(y=sine/

则8cos0-3sin0+12|

二回答…(tag)

・•・”的最大值为誓3,最小值为胃亘.

课时作业

［基础巩固］

一、单项选择题

1.若椭圆的焦点在X轴上且经过点1-4,0),焦距为6,则该椭圆的标准方程为(B)

A.过一二=1+

168167

C.^+^=lD.次+廿=1

816716

解析由题意得a=4,2c=6,则c=3,b2=a2-c2=l,所以该椭圆的标准方程为靠+三二1.

2.已知椭圆C：［+Y=l的一个焦点为(0,2),则仁(D)

oK

A.4B,8C.10D.12

解析由题意得,d=4,a2=k,/=8,所以k=4+8=12.

3.(2026•浙江台州月考)椭圆后：=+［=1与椭圆反：二+二=1(0＜々＜4)的(D)

949-K4-fc

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

解析对于椭圆Ei：a*=9,必=4,c＞5,对于椭圆反：堵=9-k,屈=4-攵,或=5,所以它们的长轴长不相等，短轴长

不相等，离心率不相等，焦距相等.故选D.

4.(2025•山东威海一模)设直线/:x=-4,点F,(-2,0),F2(2,0),已知点4到)的距离与它到Q的距离之比为

V2,ffl(D)

A.||PFI|-|PF2||=I6B.||PQ|-|PB||二8四

C.\PFMPF2\=\6D」PR|+|PRd=4四

解析设点P(x,y),则点P到I的距离仁|x+4|,|PA|=J(x+2)2+y2,由高=弋=收得,=+T=1，

|HriIyj(X+2)£+y£o4

，点P的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，其中a=2y/2，根据椭圆定义得，|PQ|+|PF?|=2a=4及.故

选D.

5.(2025•浙江宁波一模)已知椭圆C的左、右焦点分别为吊，G过上顶点A作直线A国交椭圆于另一点8

若忸8|二尸山|,则椭圆C的离心率为(C)

CT

解析如图,

因为AABF1的周长为4a,|AFi|=|AF2|=fl,|AB|=|FiB|,

所以|A5|二|尸同二去,恰尸2吟

2

又COS/ABH+COSNBBFLO,所以£+―弋产-㈤==>3c=a2n£=g=e,所以椭圆c的离心率为g.

a2x-x2c0a33

故选c.

6.已知椭圆C:?+?=l的右焦点为F,尸为椭圆C上任意一点，点A的坐标为（一则俨A|+|PF|的最大值

为（B）

A.gB.5

「28

CT瑶

解析如图，设椭圆。的左焦点为吊（・1,0）,

因为旦+@-=卷＜1,所以点4在椭圆内部.由椭圆定义可得|PQ=4-|PQ|,所以『川+|叩=4+|PA卜

4375

|PE|W4+|AFi|=4+.故上川+|9］的最大值为5.

二、多项选择题

7.如图，椭圆C亮+蓄口（〃＞。）的焦点为人，心上顶点为4直线AQ与C的另一个交点为民若N

则（ABD）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为2遮

C.C的离心率为中D/AOG的周长为8

解析由于NQg4所以NQAOuNOgW，故cosN/MO=cos?=器;=-F===-=^,因此勺=

366\AFx\vc2+b2a2a2

.2222

(V)=生，故病=3,所以椭圆。：号+91"2,/尸百,片1.对于人，焦距为2c=2,故A正确；对于B,短轴

长为2/?=2A/3,故B正确；对于C,离心率为e=-二*,故C错误；对于D,AABB的周长为4〃=8,故D正确.故选

a2

ABD.

&设椭圆C[+[=l的左、右焦点分别为a,是C上的动点，则下列结论正确的是(AC)

N516

A.椭圆C的离心率右|

B.|FFI|+|PF2|=5

CZPRB面积的最大值为12

DJPRI的最小值为当

解析对于A,由椭圆方程得。=54=4,所以C=X/Q2—垓=3,所以离心率为e=|,故A正确；

对于B,由椭圆定义可知|PFi\+\PF2\=2a=10,故B错误；

对于C,当尸位于椭圆的上顶点或二顶点时，△PFiB面积最大，最大值为：x2cx/尸机=12,故C正确；

对于D,a-cW|PFi|Wa+c,所以|PFi|的最小值为a-c=2,故D错误.故选AC.

三、填空题

9.已知椭圆?+9=1的左、右焦点分别为F,,过B作直线交椭圆于A,B两点,若B为线段AB的中点，则

△AFiB的面积为亘.

解析由题意可知产(唐,0),因为点B为线段A8的中点，所以AB_LRF2,所以HB|=平二1,所以

S-F$=}|A8|・|FIF2|=V1

10.已知F(2,()),B(2,0)是椭圆C的焦点,过&且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,8两点,且|A8|=6,则椭

圆C的方程为1+1=1.

解析由题意设椭圆方程为京+方1(〃＞比＞0),则«2-/?2=(^=4,由|A8|=6,得%3,所以b2=3a，所以a2-3a-4=0,

解得＜7=4或〃=-1(舍去)，所以从=12,所以椭圆C的方程为；+3=1.

四、解答题

11.(2026•吉林长春月考)如图，己知椭圆马+*1(g»0),八凡分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上

顶点，直线AB交椭圆于另一点注

(1)若/产小区=90。，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2,且丽=2可,求椭圆的方程.

解(1)若NB48=90°,

则AAOB为等腰直角三角形,

所以有|。4|二|0项,即h=c.

所以a=y[2c,故e=-=—.

a2

(2)由题意知4(0,b),B(l,0),

设8(x,y),由丽=20,

XX

I=

解得

得Z,

/7,y

代入今+金=1，得白+%1，

a2b24a24

解得办3.

所以b2=a2-c2=3-1=2,

所以椭圆的方程为彳■+^-=1.

12.已知椭圆C:^+券1(a>b>0),焦点尸(c,0),B(c,0),左顶点为A,点